新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)第八節(jié)函數(shù)與方程練習(xí)含解析文

PAGEPAGE16第八節(jié)函數(shù)與方程學(xué)習(xí)要求:1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,推斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).2.依據(jù)詳細(xì)函數(shù)的圖象,能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.1.函數(shù)零點(diǎn)的定義(1)對于函數(shù)y=f(x),把使①f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

(2)方程f(x)=0有實(shí)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與②x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有③零點(diǎn).

2.函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)一般地,假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線,并且有④f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間⑤(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得⑥f(c)=0,這個(gè)⑦c也就是方程f(x)=0的根.我們把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存在性定理.

?提示(1)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn),是方程f(x)=0的實(shí)根.(2)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理只能推斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號零點(diǎn),而不能推斷函數(shù)的不變號零點(diǎn),而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)⑧(x1,0),(x2,0)

⑨(x1,0)

無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)⑩兩個(gè)

一個(gè)

無

4.用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟第一步,確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε.

其次步,求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)x1.第三步,計(jì)算f(x1):

(i)若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)的零點(diǎn);

(ii)若f(a)·f(x1)<0,則令b=x1(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,x1));

(iii)若f(x1)·f(b)<0,則令a=x1(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(x1,b)).

第四步,推斷是否達(dá)到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點(diǎn)近似值a(或b);否則,重復(fù)其次、三、四步.學(xué)問拓展(1)若連綿不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2)圖象連綿不斷的函數(shù),其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的全部函數(shù)值保持同號.(3)連綿不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值可能變號,也可能不變號.(4)在區(qū)間D上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).(5)若周期函數(shù)存在零點(diǎn),則必有無窮個(gè)零點(diǎn).1.推斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“?”).(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn). ()(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連綿不斷),則f(a)·f(b)<0. ()(3)只要函數(shù)有零點(diǎn),我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值. ()(4)若函數(shù)f(x)在(a,b)上的圖象是連續(xù)的,且函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào),且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn). ()(5)對于隨意的a∈R,函數(shù)f(x)=ex+a肯定有零點(diǎn). ()(6)對于隨意的a∈R,函數(shù)f(x)=lnx+a肯定有零點(diǎn).()答案(1)?(2)?(3)?(4)√(5)?(6)√2.(2024湖北荊州中學(xué)高三模擬)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 ()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案C3.若函數(shù)f(x)=2ax2-x-1在(0,1)內(nèi)恰有1個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-1,1)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案C4.(2024浙江效實(shí)中學(xué)高三模擬)若函數(shù)f(x)=ax+1在區(qū)間(-1,1)上存在1個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(-∞,-1)∪(1,+∞)5.函數(shù)f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零點(diǎn)為.

答案-2,26.函數(shù)f(x)=ex+12x-2的零點(diǎn)有個(gè)答案1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的推斷典例1(1)設(shè)函數(shù)f(x)=13x-lnx,則函數(shù)y=f(x)(A.在區(qū)間1e,B.在區(qū)間1e,C.在區(qū)間1e,1內(nèi)有零點(diǎn),D.在區(qū)間1e,1內(nèi)無零點(diǎn),(2)已知函數(shù)y=12x-2的圖象與函數(shù)y=x3的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則x0A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案(1)D(2)B方法技巧確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法(1)解方程法:當(dāng)對應(yīng)方程f(x)=0易解時(shí),可先解方程,然后看求得的根是否落在給定區(qū)間上.(2)圖象法:把方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù),看兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)所在區(qū)間.(3)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(4)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,視察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn).1.(2024河北冀州中學(xué)模擬)函數(shù)f(x)=lnx-2x2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 (A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B易知f(x)=lnx-2x2在定義域(0,+∞)上是增函數(shù)因?yàn)閒(1)=-2<0,f(2)=ln2-12>0所以依據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知,函數(shù)f(x)=lnx-2x2有唯一零點(diǎn),且在區(qū)間(1,2)故選B.2.(2024山西忻州一中模擬)若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間 ()A.(a,b)和(b,c)內(nèi)B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi)D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)答案A∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知,在區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi)分別存在零點(diǎn).又函數(shù)f(x)是二次函數(shù),∴最多有兩個(gè)零點(diǎn),∴函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi),故選A.3.若x0是方程12x=x13的解,則A.2C.1答案C令g(x)=12x,f(x)=x則g(0)=1>f(0)=0,g12g13∴13確定函數(shù)的零點(diǎn)角度一推斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)典例2(1)函數(shù)f(x)=3sinπ2x-log1A.2B.3C.4D.5(2)若a滿意x+lgx=4,b滿意x+10x=4,函數(shù)f(x)=x2+(a+b)x+2,x≤0A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)C角度二求零點(diǎn)典例3已知函數(shù)f(x)=ex-1-1,x<2A.1,2B.1,-2C.2,-2D.1,2,-2答案A方法技巧確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)干脆求零點(diǎn),令f(x)=0,有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在性定理,要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是連綿不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出兩函數(shù)的圖象,視察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù).1.函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A.1B.2C.3D.4答案B易知函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?方程|log0.5x|=12x=12x的根的個(gè)數(shù)?函數(shù)y1=|log0.5x|的圖象與函數(shù)y2=12x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).2.已知函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,log2x,x>0A.4B.3C.2D.1答案A由f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1,由f(-2)=f12若f(x)=-2,則x=-3或x=14若f(x)=12綜上,函數(shù)y=f(f(x))+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4.故選A.3.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,15,5分)函數(shù)f(x)=cos3x+π6在答案3解析令f(x)=0,得cos3x+π6=0,解得x=kπ3+π9(k∈Z).當(dāng)k=0時(shí),x4.已知f(x)=xlnx,答案1,-1解析當(dāng)x>0時(shí),由f(x)=0,即xlnx=0得lnx=0,解得x=1;當(dāng)x≤0時(shí),由f(x)=0,即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2(舍去).綜上,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1,-1.函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用典例4(1)若函數(shù)f(x)=2x-2x-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(2)若函數(shù)f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi),則m的取值范圍是.

答案(1)C(2)14方法技巧依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的狀況求參數(shù)的三種常用方法(1)干脆法:干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的范圍.(2)分別參數(shù)法:先將參數(shù)分別,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題求解.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.1.已知函數(shù)f(x)=4x+a·2x+1+4沒有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(-2,+∞)解析設(shè)2x=t(t>0),則t2+2at+4=0在(0,+∞)上無解,分別參數(shù)得a=-4-t22t=-2t+t2,2.(1)m為何值時(shí),函數(shù)f(x)=x2+2mx+3m+4在(-1,3)上有兩個(gè)零點(diǎn).(2)m為何值時(shí),函數(shù)f(x)=x2+2mx+3m+4有兩個(gè)零點(diǎn)且均比-1大.解析(1)-1<-3<m<1,(2)設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2,由題意得-m>-1,f(-微專題——利用圖象優(yōu)化函數(shù)零點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算函數(shù)零點(diǎn)問題是高考函數(shù)、導(dǎo)數(shù)考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),要求學(xué)生駕馭函數(shù)零點(diǎn)的定義,能將不同類型函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解以及函數(shù)圖象的交點(diǎn)建立聯(lián)系,能對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想正確解題,有時(shí)運(yùn)用函數(shù)的圖象來解決一些小題,往往可以避開煩瑣的探討與計(jì)算.典例1已知函數(shù)f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是 ()A.(22,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案C(1)此類問題假如f(x)的圖象易于作出,可先作圖以便于視察函數(shù)的特點(diǎn).(2)本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),一個(gè)是引入?yún)f(xié)助變量t,從而用t表示出a,b,達(dá)到消元效果,但是要留意t是有范圍的(通過數(shù)形結(jié)合y=t的圖象與y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn));一個(gè)是通過圖象推斷出a,b的范圍,從而去掉肯定值.典例2已知函數(shù)f(x)=kx+2,x≤0,lnx,x>0(k∈R),若函數(shù)y=|f(A.k≤2B.-1<k<0C.-2≤k<-1D.k≤-2答案D(1)本題體現(xiàn)了三類問題之間的聯(lián)系:函數(shù)的零點(diǎn)?方程的根?函數(shù)圖象的交點(diǎn),運(yùn)用方程可進(jìn)行等式的變形,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,解決這類問題要選擇合適的函數(shù),以便于作圖和求出參數(shù)的取值范圍.(2)本題所求k一方面確定f(x)左側(cè)直線的傾斜角,另一方面確定水平線的位置與x軸的關(guān)系,所以在作圖時(shí)要兼顧這兩方面,進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.典例3已知函數(shù)f(x)滿意f(x)=f(3x),當(dāng)x∈[1,3)時(shí),f(x)=lnx,若在區(qū)間[1,9)內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)-ax有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.ln33C.ln3答案B(1)利用f(x)=fx3,求當(dāng)x∈[1,3)時(shí),f(x)的解析式,及當(dāng)x∈[3,9)時(shí),f(x)的解析式(2)參數(shù)a是直線y=ax的斜率,進(jìn)行數(shù)形結(jié)合求a的取值范圍.1.已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,若在區(qū)間(-1,3)內(nèi),關(guān)于x的方程f(x)=kx+k(k∈R)有4個(gè)根,則k的取值范圍是 ()A.0<k≤14或k=3C.0<k<1答案B依據(jù)周期性和對稱性可作出f(x)的圖象,直線y=kx+k(k∈R)過定點(diǎn)(-1,0),結(jié)合圖象,若(-1,3)內(nèi)有四個(gè)交點(diǎn),可知k∈0,14.若直線y=kx+k與曲線y=f(x)在(2,3)上相切,聯(lián)立方程y=x-2,2.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=log12(x+1),x∈[0,1),1-|x-3|,x∈[A.2a-1B.1-2aC.2-a-1D.1-2-a答案Bf(x)為奇函數(shù),所以先作出正半軸的圖象,再作出負(fù)半軸的圖象,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)圖象由兩部分構(gòu)成,分別作出各部分圖象.函數(shù)F(x)的零點(diǎn)即為方程f(x)-a=0的根,即y=f(x)的圖象與直線y=a的交點(diǎn).視察圖象可得有5個(gè)交點(diǎn),x1,x2關(guān)于直線x=-3對稱,x1+x2=-6,x3<0且滿意方程f(x3)=a?-f(x3)=-a?f(-x3)=-a,即log12(-x3+1)=-a,解得x3=1-2a,x4,x5關(guān)于直線x=3對稱,∴x4+x5=6∴x1+x2+x3+x4+x5=1-2a.3.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),-1<x<1,f(2-x)+a-1,1<x<3(a>0,a≠1),若xA.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.與a相關(guān)答案B設(shè)f(x1)=f(x2)=t,不妨設(shè)-1<x1<1<x2<3,則-1<2-x2<1,∴l(xiāng)oga(x1+1)=t?x1=at-1,loga(3-x2)+a-1=t?x2=3-at+1-a,∴x1+x2=2+at-at+1-a,若0<a<1,則y=ax為減函數(shù),且t<t+1-a?at>at+1-a,∴x1+x2>2,若a>1,則y=ax為增函數(shù),且t>t+1-a?at>at+1-a,∴x1+x2>2,∴x1+x2的值恒大于2.A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)旁邊的函數(shù)值用二分法計(jì)算,其參考數(shù)據(jù)如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一個(gè)近似根(精確到0.1)為 ()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5答案C2.(2024北京師范高校試驗(yàn)中學(xué)期中)函數(shù)y=ln(x+1)的圖象與函數(shù)y=1x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為 (A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B3.(2024河北唐山一中期末)若函數(shù)f(x)唯一的零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間(0,4),(0,2),(1,2),1,32內(nèi),則與f(0)符號相同的是A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f3答案C4.(2024山西高校附中期中)若f(x)是奇函數(shù),且x0是y=f(x)+ex的一個(gè)零點(diǎn),則-x0肯定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn) ()A.y=f(-x)ex-1B.y=f(x)e-x+1C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+1答案C5.已知函數(shù)f(x)=15x-log3x,若x0是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),且0<x1<x0,則f(x1)的值 (A.恒為正B.等于0C.恒為負(fù)D.不大于0答案A6.已知函數(shù)f(x)=6x-log2x,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 (A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)答案C7.函數(shù)f(x)=1-xlog2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 ()A.1C.(1,2)D.(2,3)答案C8.函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()A.0B.1C.2D.3答案C9.設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若實(shí)數(shù)a,b滿意f(a)=0,g(b)=0,則 ()A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0答案A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex+x-2在R上單調(diào)遞增,且f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,所以f(a)=0時(shí),a∈(0,1).又g(x)=lnx+x2-3在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0.又g(2)=ln2+1>0,所以g(b)=0時(shí),b∈(1,2),又f(1)=e-1>0,所以f(b)>0.綜上可知,g(a)<0<f(b).B組實(shí)力拔高10.已知函數(shù)f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2x·log2x-1的零點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c答案D令f(x)=2x+log2x=0,則log2x=-2x.令g(x)=2-x+log2x=0,則log2x=-2-x.令h(x)=2xlog2x-1=0,則2xlog2x=1,log2x=12x=2-所以函數(shù)f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2xlog2x-1的零點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=log2x的圖象與函數(shù)y=-2x,y=-2-x,y=2-x的圖象的交點(diǎn)問題,作出函數(shù)y=log2x的圖象與函數(shù)y=-2x,y=-2-x,y=2-x的圖象,如圖所示.由圖可知,0<a<b<1,c>1,所以a<b<c.故選D.11.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,則函數(shù)y=f(x)-log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.8B.4C.3D.2答案B由題意知f(x)是周期為2的偶函數(shù).在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)的大致圖象與函數(shù)y=log3|x|的大致圖象,如圖所示.視察圖象可以發(fā)覺它們有4個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)y=f(x)-log3|x|有4個(gè)零點(diǎn).12.方程2x+3x=k的解在[1,2)內(nèi),則k的取值范圍是.

答案[5,10)解析令f(x)=2x+3x-k,則f(x)在R上是增函數(shù).當(dāng)方程2x+3x=k的解在(1,2)內(nèi)時(shí),f(1)·f(2)<0,即(5-k)·(10-k)<0,解得5<k<10.當(dāng)f(1)=0時(shí),k=5.綜上,k的取值范圍是[5,10).C組思維