專題8.4 空間向量與立體幾何（原卷版）

專題8.4空間向量與立體幾何題型一空間向量及其運算題型二空間共面向量定理題型三求平面的法向量題型四利用空間向量證明平行，垂直題型五求空間角題型六已知夾角求其他量題型七求異面直線，點到面或者面到面的距離題型八求點到線的距離題型九點的存在性問題題型一 空間向量及其運算例1．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，設，，．

(1)用，，表示；(2)求AC1的長．例2．（2022·全國·高二專題練習）已知向量，，且，則（

）A． B．2 C． D．3練習1．（2023春·高二課時練習）如圖所示，已知正四面體OABC的棱長為1，點E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．求下列向量的數(shù)量積：(1)(2)(3)練習2．（2022·高三課時練習）已知：，∥，⊥，求：(1)，，；(2)與所成角的余弦值.練習3．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，是的中點，設，，，用，，表示，則（

）

A． B． C． D．練習4．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預測）定義兩個向量與的向量積是一個向量，它的模，它的方向與和同時垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則（

）A． B．4 C． D．練習5．（2022·高三單元測試）（多選）已知空間中三點A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），則正確的有（）A．與是共線向量B．的單位向量是（1，1，0）C．與夾角的余弦值是D．平面ABC的一個法向量是（1，﹣1，3）題型二 空間共面向量定理例3．（2022·高二課時練習）（多選）若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，例4．（2023春·江蘇宿遷·高三?？茧A段練習）已知向量，不共線，，，，則（

）A．與共線 B．與共線C．，，，四點不共面 D．，，，四點共面練習6．（2023春·河南安陽·高三安陽一中校聯(lián)考開學考試）在空間直角坐標系中，已知點，若四點共面，則__________.練習7．（2023春·高三課時練習）設空間任意一點和不共線的三點，，，若點滿足向量關系（其中），試問：，，，四點是否共面？練習8．（2023·高二?？颊n時練習）已知是空間的一組基底，則可以與向量，構成基底的向量是（

）A． B． C． D．練習9．（2022·北京·高三強基計劃）（多選）如圖，已知正三棱錐的側棱長為l，過其底面中心O作動平面，交線段于點S，交的延長線于M，N兩點．則下列說法中正確的是（

）A．是定值 B．不是定值C． D．練習10．（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期末）（多選）若構成空間的一個基底，則下列說法中正確的是（

）A．存在，使得B．也構成空間的一個基底C．若，則直線與異面D．若，則，，，四點共面題型三 求平面的法向量例5．（2023·全國·高三專題練習）設向量是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則（

）A． B．或 C． D．例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知，，，則平面ABC的一個法向量可以是（

）A． B． C． D．練習11．（2023春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知點在平面內(nèi)，是平面的一個法向量，則下列點中，在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．練習12．（2023春·高三課時練習）已知，則平面的一個單位法向量是（

）A． B．C． D．練習13．（2023春·高三課時練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面PCD的一個法向量.練習14．（2023春·高二課時練習）已知在正方體中，E，F(xiàn)分別是BB1，DC的中點，求證：是平面A1D1F的一個法向量．練習15．（2023春·高三課時練習）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：(1)平面的一個法向量；(2)平面的一個法向量.題型四 利用空間向量證明平行，垂直例7．（2022·全國·高二專題練習）如圖，設P為長方形ABCD所在平面外一點，M在PD上，N在AC上，若，用向量法證明：直線MN∥平面PAB.

例8．（2022·高二課時練習）如圖，在正方體中，

求證：(1)求AC與所成角的大??；(2)平面平面；(3)平面．練習16．（2023春·高三課時練習）如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.練習17．（2023春·高三課時練習）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求證：平面DEA⊥平面ECA.練習18．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.練習19．（2022·全國·高三專題練習）四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，.(1)求證：PA⊥底面ABCD；(2)求PC的長.練習20．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點.

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.題型五 求空間角例9．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱柱中，側面為正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分別為，AC的中點．

(1)求證：平面；(2)從條件①：AB⊥MN，條件②：BM＝MN中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．例10．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）如圖，四邊形為菱形，，平面，，．

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值．練習21．（2022春·湖南株洲·高三統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦.練習22．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．

(1)求證：平面平面PCD；(2)求二面角P－EF－O的正弦值．練習23．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，在長方體中，，，，交于點E.(1)證明：直線平面；(2)求AD與平面所成角的正弦值.練習24．（2023·天津河西·天津市新華中學校考模擬預測）如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，四邊形為矩形，，且平面平面.

(1)求與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面夾角大??；(3)若在線段上存在點，使得平面，求點到平面的距離.練習25．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學?？寄M預測）如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點，交于點．(1)證明：；(2)求異面直線與所成角的余弦值．題型六 已知夾角求其他量例11．（2023·上海長寧·上海市延安中學?？既＃┮阎退诘钠矫婊ハ啻怪?，，，，，是線段的中點，.(1)求證：；(2)設，在線段上是否存在點（異于點），使得二面角的大小為.例12．（2023·廣東深圳·深圳中學?？寄M預測）如圖，且，，且，且.平面，.

(1)求平面與平面的夾角的正弦值；(2)若點在線段上，且直線與平面所成的角為，求線段的長.練習26．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）如圖，正三棱柱的所有棱長均為為的中點，為上一點，(1)若，證明：平面；(2)當直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.練習27．（2023春·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考期中）如圖，在正三棱柱A?B?C?-ABC中，D為AB的中點，.(1)若證明:DE⊥平面A?B?E；(2)若直線BC?與平面A?B?E所成角為求λ的值.練習28．（2023春·江蘇泰州·高三泰州中學?？计谥校┤鐖D，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，.平面，，.(1)已知點G為AF上一點，且，試判斷是否與平面平行，并說明理由；(2)已知直線與平面所成角的正弦值為，求該多面體的體積.練習29．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）如圖，直角三角形和等邊三角形所在平面互相垂直，，是線段上一點.(1)設為的中點，求證：；(2)若直線和平面所成角的正弦值為，求的值.練習30．（河北省2023屆高三模擬（六）數(shù)學試題）在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，.

(1)求證：平面平面；(2)設，，試確定的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.題型七 求異面直線，點到面或者面到面的距離例13．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學?？寄M預測）在直角梯形中，，，，現(xiàn)將沿著對角線折起，使點D到達點P位置，此時二面角為．

(1)求異面直線，所成角的余弦值；(2)求點A到平面的距離．例14．（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．練習31．（2022·全國·高三專題練習）在如圖所示的五面體ABCDFE中，面ABCD是邊長為2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，且DFAE＝1，N為BE的中點.

(1)求證：FN∥平面ABCD；(2)求二面角N﹣MF﹣D的余弦值；(3)求點A到平面MNF的距離.練習32．（2023·高一課時練習）如圖所示，在空間四邊形中，，，，．(1)求證：；(2)求異面直線與的距離；(3)求二面角的大小．練習33．（2021秋·上海浦東新·高三上海市實驗學校?？计谥校┤鐖D是一棱長為的正方體，則異面直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．練習34．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點，求證：直線平面；(2)若點在棱上且，求點C到平面的距離．練習35．（2023·北京豐臺·北京豐臺二中?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點，點在上，且.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)若棱上一點，滿足，求點到平面的距離.題型八 求點到線的距離例15．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是______．例16．（2023·全國·高三專題練習）如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，點P，M分別為，上靠近的三等分點．(1)求點M到直線的距離；(2)求直線PD與平面所成角的正弦值.練習36．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知點，若，兩點在直線l上，則點A到直線l的距離為______.練習37．（2023秋·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，是棱上一點，且.(1)求點到直線的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.練習38．（2023春·高二課時練習）如圖，正方形的中心為O，四邊形為矩形，平面平面，點G為的中點，.(1)求證：平面；(2)求點D到直線的距離.練習39．（2022秋·陜西西安·高二?？茧A段練習）在長方體中，，，，是的中點，建立空間直角坐標系，用向量方法解下列問題：(1)求直線與所成的角的余弦值；(2)求點到直線的距離．練習40．（2022秋·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在幾何體中，，平面，則點E到直線的距離為_________、直線與平面所成角的正弦值為_______________．題型九 點的存在性問題例17．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，，，，，為線段上一點，點在邊上且.(1)若為的中點，求四面體的體積；(2)在線段上是否存在點，使得與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.例18．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上動點.(1)證明：平面.(2)線段上是否存在點，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.練習41．（2023·全國·高三對口