浙江省湖州市德清縣第六中學(xué)高一下學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試卷（三）

20232024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷（三）一、單選題1．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．62．設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，若向量()與向量共線，則(

)A． B． C． D．3．向量，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．4．在中，，若，則的值為（

）A． B． C． D．5．如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．為定值16 B．為定值10 C．最大值為8 D．與的位置有關(guān)6．已知是邊長(zhǎng)為正三角形，為線段上一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為（

）A．B．C． D．7．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB為圓O的直徑，AB＝5，BC＝3，CD⊥平面ABC，E為AD的中點(diǎn)，且異面直線BE與AC所成角為60°，則點(diǎn)A到平面BCE的距離為（

）A． B． C． D．8．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知是單位向量，且，則（

）A．B．與垂直C．與的夾角為D．10．設(shè)向量，滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．11．如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為的中點(diǎn)，則結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．12．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若面，則Q的軌跡是一條線段B．三棱錐的體積為C．平面與的夾角的正弦值的取值范圍為D．若，則Q的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題12..在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為_(kāi)__________13．在平行四邊形中，，垂足為P，若，則_________．正四棱錐的底面積為3，外接球的表面積為，則正四棱錐的體積為_(kāi)_________.解答題15．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足．(1)求角(2)若，求面積的最大值16．已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，且.(1)求角(2)已知是中點(diǎn)，,求面積的最大值17.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若4sinA－bsinB＝csin(A－B)(1)求a的值(2)若△ABC的面積為eq\f(\r(3)b2＋c2－a2,4)，求△ABC周長(zhǎng)的最大值18在銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C對(duì)邊，bcosC＋ccosB＝2，bsinA＝eq\r(3)(1)求角B(2)求△ABC面積的取值范圍19．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．求：(1)(2)的取值范圍20232024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷（三）答案一、單選題1．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．6【答案】A【詳解】因?yàn)?，，，所以，解?故選：A.2．設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，若向量()與向量共線，則(

)A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵是兩個(gè)不共線的向量，且∥，故存在實(shí)數(shù)λ，使得．故選：A．3．向量，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，所以在上的投影向量?故選：C4．在中，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以為上靠近點(diǎn)的三等份點(diǎn)，所以,因?yàn)?，所以，所以，故選：A5．如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．為定值16 B．為定值10 C．最大值為8 D．與的位置有關(guān)【答案】A【詳解】，設(shè)，，.故選：A6．已知是邊長(zhǎng)為正三角形，為線段上一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為（

）A．B．C． D．【答案】A【詳解】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的取值范圍為.故選：A.7．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB為圓O的直徑，AB＝5，BC＝3，CD⊥平面ABC，E為AD的中點(diǎn)，且異面直線BE與AC所成角為60°，則點(diǎn)A到平面BCE的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】AB為圓O的直徑，AB＝5，BC＝3，∴，，CD⊥平面ABC，平面ABC，有，又∵，平面，∴平面，∵，平面，∴平面，為中點(diǎn)，連接，如圖所示，E為AD的中點(diǎn)，，，平面，平面，，異面直線BE與AC所成角為，∴，，∴，，，，，到平面的距離為，∴，，，設(shè)點(diǎn)A到平面BCE的距離為，由，∴.故選：C8．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，因?yàn)?，所以為的外心，則（為的外接圓半徑），則，所以，,設(shè)為球心，為球的半徑，則，因?yàn)?，解得，所以球的體積為.故選：C.所以過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的取值范圍為.二、多選題9．已知是單位向量，且，則（

）A．B．與垂直C．與的夾角為D．【答案】BC【詳解】，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槭菃挝幌蛄?，且，得，與垂直，故B正確；，，故D錯(cuò)誤；，所以與的夾角為，故C正確．故選：BC10．設(shè)向量，滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．【答案】CD【詳解】解：，；；；；又；．故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D正確.故選：CD．11．如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為的中點(diǎn)，則結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】對(duì)于A，四邊形為梯形，，，為中點(diǎn)，即有，則四邊形為平行四邊形，，A正確；對(duì)于B，為中點(diǎn)，，B正確；對(duì)于C，為的中點(diǎn)，，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，，，D不正確.故選：ABC11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若面，則Q的軌跡是一條線段B．三棱錐的體積為C．平面與的夾角的正弦值的取值范圍為D．若，則Q的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【詳解】

A：取E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，連接，由∥∥，且，知四邊形是平行四邊形，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，同理∥平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面平面，則Q的軌跡為線段，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)槠矫?，平面，所?又，平面，平面，，所以平面.又平面，所以.同理可得，.又平面，平面，，所以平面，故平面與的夾角的正弦值等于與的夾角的余弦值，當(dāng)Q在（或）上時(shí)，與的夾角的余弦值為，當(dāng)Q位于上時(shí)，與的夾角的余弦值為，根據(jù)對(duì)稱性，平面與的夾角的正弦值的取值范圍為，故C正確；D：因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，解得，即Q得軌跡是以為圓心，半徑為，圓心角為的圓弧，所以Q的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確.故選：ACD三、填空題1..在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為_(kāi)__________【答案】【解析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)辄c(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，所以且，所以且，四邊形為平行四邊形，所以，連接、，交點(diǎn)記為點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，所以所以直線與直線所成的角，即直線與直線所成的角，即為或其補(bǔ)角，在中，，，，所以，所以直線與直線所成角的余弦值為.2．在平行四邊形中，，垂足為P，若，則_________．【答案】【詳解】平行四邊形中，，因?yàn)?，所以，根?jù)向量的幾何意義可知，解得：.故答案為：3.正四棱錐的底面積為3，外接球的表面積為，則正四棱錐的體積為_(kāi)_________.解：設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球球心為，顯然球心在直線上，由四棱錐的外接球的表面積為，得球半徑，由正方形面積為3，得球心到面的距離為，正方形的外接圓半徑，于是，即，解得或，所以或，解答題11．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足．(1)求角(2)若，求面積的最大值．【解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?、，則，可得，，故.（2）解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，因此，面積的最大值為.12．已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，且.(1)求角；(2)已知是中點(diǎn)，,求面積的最大值.【解】（1）由題知，，因?yàn)椋?，得：，所以：，，在中，，且，得：，得?故：.（2）由題知，，則：，又：，所以：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以：，故：面積的最大值為.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若4sinA－bsinB＝csin(A－B)(1)求a的值；(2)若△ABC的面積為eq\f(\r(3)b2＋c2－a2,4)，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．【解】(1)設(shè)4＝at，t>0，在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，c＝2R·sinC，代入已知化簡(jiǎn)得tsin2A－sin2B＝sinCsin(A－B)，又在△ABC中有sinC＝sin(A＋B)，即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，因?yàn)閟in(A＋B)sin(A－B)＝(sinAcosB＋cosAsinB)(sinAcosB－cosAsinB)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，即tsin2A－sin2B＝sin2A－sin2B，所以t＝1，所以a＝4.(2)在△ABC中有S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3)b2＋c2－a2,4)，則sinA＝eq\f(\r(3)b2＋c2－a2,2bc)＝eq\r(3)cosA，即tanA＝eq\r(3)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(4,sin\f(π,3))＝eq\f(8,\r(3))，故b＝eq\f(8,\r(3))·sinB，c＝eq\f(8,\r(3))·sinC，b＋c＝eq\f(8,\r(3))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinB＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))))＝eq\f(8,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinB＋\f(\r(3),2)cosB＋\f(1,2)sinB))＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，因?yàn)樵凇鰽BC中，A＝eq\f(π,3)，0<B<eq\f(2π,3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))≤1，所以b＋c≤8，當(dāng)A＝B＝C時(shí)，等號(hào)成立，△ABC周長(zhǎng)取得最大值12.14.在銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C對(duì)邊，bcosC＋ccosB＝2，bsinA＝eq\r(3)(1)求角B；(2)求△ABC面積的取值范圍【解】(1)由bcosC＋ccosB＝2，可得b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2，化簡(jiǎn)得a＝2，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可知sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3),2)，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以B＝eq\f(π,3).(2)由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),2)c.由正弦定理得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2sinA＋B,sinA)＝eq\f(2sinAcosB＋cosAsinB,sinA)＝1＋eq\f(\r(3),tanA)，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2)，,0<C＝\f(2π,3)－A<\f(π,2)，))解得eq\f(π,6)<A<eq\f(π,2)，則tanA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，c＝eq\f(\r(3),tanA)＋1∈(1,4)，故eq\f(\r(3),2)<S△ABC<2eq\r(3)，即△ABC面積的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，2\r(3))).15．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范圍．【解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，，因?yàn)?（2）由正弦定理，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的取值范圍?16．在