4.3 等比數(shù)列（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】4.3等比數(shù)列（精練）1等比數(shù)列基本量的運(yùn)算1．（2022高二下·平谷期末）已知等比數(shù)列滿足，則等于（）A．±32 B．-32 C．±64 D．-64【答案】D【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，，則有，解得，故.故答案為：D.2．（2022高二下·鎮(zhèn)江期末）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前四項(xiàng)和的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)是首項(xiàng)為2、公比為的等比數(shù)列，即，所以.故答案為：C3．（2022高二下·昆明期末）在等比數(shù)列中，，，則（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】在等比數(shù)列中，由得，所以，，所以。故答案為：D.4．（2022焦作開學(xué)考）已知等比數(shù)列中，，，則（）A．27 B．9 C．±9 D．+27【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，可得；因?yàn)?，所以，，，所?故答案為：A.5．（2022遵義開學(xué)考）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A．80 B．81 C．243 D．242【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列公比是，則，由，因，故解得，所以．故答案為：D．6．（2022高二下·邢臺期末）設(shè)單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，，則公比（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以，則，又單調(diào)遞增，所以，解得：，，則，因?yàn)?，所以．故答案為：A7．（2022高二下·營口期末）等比數(shù)列中，已知：，，則公比（）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，故，故答案為：B8．（2022·內(nèi)江模擬）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為．若，，則（）A．3 B．2 C．-3 D．-2【答案】A【解析】將等式與作差得，，因此，該等比數(shù)列的公比，故答案為：A.9．（2021高二上·深圳期末）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S，若，且，則S3等于（）A．28 B．26 C．28或-12 D．26或-10【答案】C【解析】由可得，即，所以，又因?yàn)?，解得，所以，即，?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以。故答案為：C10．（2022湖州）已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），由題意得，且，即，，因?yàn)椋?，，故答案為：D11．（2022武漢開學(xué)考）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q（q>0），則由得，即，即，即，解得（舍去）.由得，即，將代入得，解得，則。故答案為：A.12．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求q和；(2)已知，，求和；(3)已知，，求q和.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，；(2)，；(3)當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.【解析】(1)解：，解得：，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.(2)解：,解得：，所以(3)解：，解得：或，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.2等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)及應(yīng)用1．（2022·黑龍江）數(shù)列在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，對任意的，，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，則.因此，.故選：C.2．（2022·甘肅）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．2 B．±2 C．2或 D．【答案】A【解析】設(shè)的公比為q，由，則，解得（舍去），故，所以，.故選：A.3．（2022·四川）若a，b，c為實(shí)數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，則b的值為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，解得.故選：B4．（2022·廣東）在等差數(shù)列中，若，，則和的等比中項(xiàng)為（

）.A． B．6 C． D．36【答案】C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若則可得，所以，所以和的等比中項(xiàng)為.故選：C.5．（2022·江蘇）三個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，首項(xiàng)是，若將第二項(xiàng)加、第三項(xiàng)加可使得這三個(gè)數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列，則的所有取值中的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)原來的三個(gè)數(shù)為、、，由題意可知，，，，且，所以，，即，解得或.則的所有取值中的最小值是.故選：D.6．（2022·陜西）已知等差數(shù)列的公差是，若，，成等比數(shù)列，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，故選：A7.（2022·云南）數(shù)列為等比數(shù)列，，，命題，命題是、的等比中項(xiàng)，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，，若，則，則是、的等比中項(xiàng)，即；若是、的等比中項(xiàng)，設(shè)的公比為，則，因?yàn)椋?，?因此，是的充要條件.故選：A.3等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．（2022·河南）在等比數(shù)列中，已知前n項(xiàng)和，則a的值為（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【解析】，由于是等比數(shù)列，所以，即.故選：B2．（2022·安徽省）已知等比數(shù)列的前2項(xiàng)和為2，前4項(xiàng)和為8，則它的前6項(xiàng)和為（

）A．12 B．22 C．26 D．32【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q,則,則，而，故，所以數(shù)列前6項(xiàng)和為，故選：C.3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前5項(xiàng)和為3，前15項(xiàng)和為39，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A． B． C．12 D．15【答案】C【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得也為等比數(shù)列，又，故可得即，解得或，因?yàn)榈缺葦?shù)列各項(xiàng)為正，所以，故選：C4．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，已知，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且也成等比?shù)列，因?yàn)?，，所以，所?，-1，S9-S6成等比數(shù)列，所以8(S9-S6)=1，即，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.5．（2022·四川省內(nèi)江市第二中學(xué)高二開學(xué)考試（文））等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比為q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，則S9＝（）A．50 B．100 C．146 D．128【答案】C【解析】根據(jù)題意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，則S6﹣S3＝18﹣2＝16，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6構(gòu)成等比數(shù)列，故，即S9﹣S6＝128，故S9＝S6+128＝146，故選：C．6．（2022·寧夏·平羅中學(xué)）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榍覟榈缺葦?shù)列，故為等比數(shù)列，故，解得，故選：B.7．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，所以，，因?yàn)?，可得，因此?故選：C.8．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為______．【答案】450【解析】在等比數(shù)列中，公比，則有，而，于是得，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和．故答案為：4509．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列共有項(xiàng)，它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的倍，則公比______.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則，由，得，因?yàn)?，所以，所以?故答案為：.10．（2022廣東）已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為341，偶數(shù)項(xiàng)之和為682，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_________【答案】10【解析】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，公比為，則，，由，解得，因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，則，即，解得，故答案為:10.4等比數(shù)列的證明或判斷1．（2022·福建省福州屏東中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；【答案】證明見解析【解析】因?yàn)椋?所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列；2.（2022·廣東）已知數(shù)列滿足，設(shè)，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】見解析【解析】證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列3.（2022·寧夏）在數(shù)列中，，，，求證：是等比數(shù)列；【答案】證明見解析【解析】由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.4．（2022·江西·瑞金市第三中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列中，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）得，，所以，，．5．（2022·北京豐臺·高二期中）已知數(shù)列滿足，，.(1)請寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)，，，，；(2)證明見解析；(3).【解析】(1)解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，.所以，，，，所以數(shù)列的前5項(xiàng)為：，，，，；(2)解：，，因此，數(shù)列是等比數(shù)列；(3)解：由于，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，因此，.6．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高二階段練習(xí)）在數(shù)列中，表示其前項(xiàng)和，滿足，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】證明見解析；；【解析】，，，整理可得：，，又當(dāng)時(shí)，，解得：，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；7（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，證明：數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】證明見解析【解析】證明：當(dāng)時(shí)，，則.因?yàn)?，①所以，②由②①得，化簡可得，，所以?shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列.8．（2022·上?！とA師大二附中高二階段練習(xí)）數(shù)列滿足，數(shù)列，數(shù)列(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析；(2)，.【解析】(1)由題設(shè)，且，即且，而，所以且，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得證.(2)由（1）可得：，故，則，所以.則的通項(xiàng)公式為.5等比數(shù)列的單調(diào)性1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）關(guān)于遞增等比數(shù)列，下列說法正確的是（

）．A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．【答案】AC【解析】A．當(dāng)，時(shí)，從第二項(xiàng)起，數(shù)列的每一項(xiàng)都大于前一項(xiàng)，所以數(shù)列遞增，正確；B．當(dāng)，時(shí)，為擺動數(shù)列，故錯誤；C．當(dāng)，時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，故正確；D．，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，故錯誤故選AC．2．（2022高二下·西城期末）在等比數(shù)列{}中，．記，則數(shù)列{}（）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列為q，則等比數(shù)列的公比，所以，則其通項(xiàng)公式為：，所以，令，所以當(dāng)或時(shí)，t有最大值，無最小值，即有最大值，無最小值，結(jié)合前面，當(dāng)為正數(shù)時(shí)，為正數(shù)，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最小項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有最大項(xiàng).故答案為：A.3．（2022·北京·清華附中高二階段練習(xí)）已知數(shù)列是無窮項(xiàng)等比數(shù)列，“”是“單調(diào)遞增”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，所以必要性成立；因?yàn)閿?shù)列是無窮項(xiàng)等比數(shù)列，且，所以，當(dāng)時(shí)，則解得，此時(shí)，所以，即；當(dāng)時(shí)，則解得，此時(shí)，所以，即，綜上所述，即單調(diào)遞增，所以充分性成立，則“”是“單調(diào)遞增”的充分必要條件，故選：C4（2022·湖南）（多選）等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件，，．給出下列結(jié)論其中正確的結(jié)論是（

）A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的【答案】ABD【解析】對于A，，，即，，又，又，，且，，故A正確；對于B，，，即，故B正確；對于C，由于，而，故有，故C錯誤；對于D，由題可知，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，∴T99的值是Tn中最大的，故D正確.故選：.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，最小C．當(dāng)時(shí)，最小 D．存在，使得【答案】AC【解析】對A，∵，，∴，又，，∴，故A正確；對B，C，由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故，，，∴，∵，，，∴，，∴，故當(dāng)時(shí)，最小，B錯誤，C正確；對D，當(dāng)時(shí)，，故，故D錯誤.故選：AC．6等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用1．（2022沈陽月考）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人最后一天走的路程為（）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里【答案】A【解析】記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得：，.故答案為：A．2．（2022·四川）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔仔細(xì)算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”.則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【答案】D【解析】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，則，故，解得，則，故，該人第五天走的路程為12里，A錯誤；，該人第三天走的路程為48里，B錯誤；，該人前三天共走的路程為里，C錯誤；由（里），可知該人最后三天共走的路程為42里，D正確，故選：D3．（2022·河南濮陽·高二期末（理））5G是第五代移動通信技術(shù)的簡稱，其意義在于萬物互聯(lián)，即所有人和物都將存在于有機(jī)的數(shù)字生態(tài)系統(tǒng)中，它把以人為中心的通信擴(kuò)展到同時(shí)以人與物為中心的通信，將會為社會生活與生產(chǎn)方式帶來巨大的變化．目前我國最高的5G基站海拔6500米．從全國范圍看，中國5G發(fā)展進(jìn)入了全面加速階段，基站建設(shè)進(jìn)度超過預(yù)期．現(xiàn)有8個(gè)工程隊(duì)共承建10萬個(gè)基站，從第二個(gè)工程隊(duì)開始，每個(gè)工程隊(duì)所建的基站數(shù)都比前一個(gè)工程隊(duì)少，則第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)（單位：萬）約為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，8個(gè)工程隊(duì)所建的基站數(shù)依次成等比數(shù)列，比為，記第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)為（萬），則，．故選：B．4．（2022·北京順義·高二期末）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛?馬?羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬?”馬主曰：“我馬食半牛，”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛，馬，羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？試問：該問題中牛主人應(yīng)償還（

）斗粟A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)牛主人應(yīng)償還x斗粟，則馬主人應(yīng)償還斗粟，羊主人應(yīng)償還斗粟，所以，解得：.故選：B5．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).初始感染者傳染個(gè)人，為第一輪傳染，這個(gè)人中每人再傳染個(gè)人，為第二輪傳染，…….一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.注射新冠疫苗后可以使身體對新冠病毒產(chǎn)生抗體，但是正常情況下不能提高人體免疫力，據(jù)統(tǒng)計(jì)最新一輪的奧密克戎新冠變異株的基本傳染數(shù)，感染周期為4天，設(shè)從一位感染者開始，傳播若干輪后感染的總?cè)藬?shù)超過7200人，需要的天數(shù)至少為（

）A．4 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】依題意，每輪感染人數(shù)依次組成公比為9的等比數(shù)列，經(jīng)過n輪傳播感染人數(shù)之和為：，得，顯然是遞增數(shù)列，而，則，而每輪感染周期為4天，所以需要的天數(shù)至少為16.故選：C6．（2022·陜西·漢臺中學(xué)模擬預(yù)測（文））我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人最后一天走的路程是（

）A．192里 B．96里 C．12里 D．6里【答案】D【解析】設(shè)第天走的路程為，，所以此人每天走的路程可構(gòu)成等比數(shù)列，依題可知，公比為，所以，解得，．所以（里）故選：D．7．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測（理））直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前受到了廣大消費(fèi)者的追捧，針對這種現(xiàn)狀，某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為萬元，并在此基礎(chǔ)上，以后每年的資金投入均比上一年增長，則該公司需經(jīng)過（

）年其投入資金開始超過萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)該公司經(jīng)過年投入的資金為萬元，則，由題意可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，由可得，因此，該公司需經(jīng)過年其投入資金開始超過萬元.故選：C.8．（2022·福建莆田）芝諾是古希臘著名的哲學(xué)家，他曾提出一個(gè)著名的悖論，史稱芝諾悖論．芝諾悖論的大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)母傎愔?，他的速度為烏龜?shù)氖?，烏龜在他前?00米爬，他在后面追，但他不可能追上烏龜．原因是在競賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏龜已經(jīng)向前爬了10米．于是一個(gè)新的起點(diǎn)產(chǎn)生了；阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追完烏龜爬的這10米時(shí)，烏龜又向前爬了1米，阿喀琉斯只