6.3 平面向量基本定理及坐標表示（原卷版）（人教A版2019必修第二冊）-人教版高中數(shù)學精講精練必修二

6.3平面向量基本定理及坐標表示考法一平面向量基底的辨析【例1】（2023·高一課時練習）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【一隅三反】1．（2023·黑龍江）設是平面內所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2023·湖南）設為平面內的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（2023北京）設是平面內所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和考法二平面向量的基本定理【例2-1】（2024·云南大理）已知在中，點在邊上，且，則（

）A． B． C． D．【例2-2】（2023·河南?。┤鐖D，在中，，是上一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【例2-3】（2023安徽）已知AD，BE分別為的邊BC，AC上的中線，設，則（）

A． B．C． D．【例2-4】（2023·江西宜春）如圖所示，已知點G是的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點（點N與點C不重合），設，則的值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【一隅三反】1．（2024·全國·模擬預測）已知在平行四邊形中，，，，，則（

）A． B．C． D．2．（2023湖北）如圖所示，在中，，，若，，則（）A． B．C． D．3．（2023·陜西西安）在中，點滿足，點滿足，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西商洛）如圖，在中，滿足條件，若，則（

）A．8 B．4 C．2 D．考法三線性運算的坐標表示【例3-1】（2023·四川綿陽）已知向量，若，則實數(shù)m等于（

）A． B．0 C．1 D．【例3-2】（2023·浙江金華）己知向量，且與共線，則（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023·湖南永州）已知向量，且，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【一隅三反】1．（2023·山東鄒城）已知向量，，則（）A． B．5 C．7 D．252．（2023·全國·模擬預測）已知向量．若非零實數(shù)滿足，則（

）A．3 B． C． D．3．（2023·云南?。┮阎c，，三點共線，則（）A．0 B．1 C． D．4．（2023·廣東·）（多選）已知，，下列計算正確的是（）A． B．C． D．5．（2023·湖南）（多選）已知向量，，則（）A．若與垂直，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與的夾角為考法四平面向量數(shù)量積的坐標表示【例4-1】（2023·浙江）（多選）已知平面向量，，下列敘述正確的是（

）A．與的夾角為 B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【例4-2】（2023·海南）（多選）已知向量，則（

）A．若，則B．在方向上的投影向量為C．存在，使得在方向上投影向量的模為1D．的取值范圍為【一隅三反】1．（2024·湖南邵陽）已知向量.若與的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·甘肅蘭州）已知向量，，若與反向共線，則的值為（

）A．0 B． C． D．3．（2024上·河北）已知向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（2023上·河北滄州）已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考法五巧建坐標解平面向量【例5-1】（2023·安徽）如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.【例5-2】（2024陜西）如圖，邊長為1的等邊△ABC中，AD為邊BC上的高，P為線段AD上的動點，則的取值范圍是（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0]【一隅三反】1.（2023福建）如圖，在中，已知，，，D為線段BC中點，E為線段AD中點.（1）求的值；（2）求，夾角的余弦值.2．（2023山東濟南市·）在中，，，為所在平面上任意一點，則的最小值為（）A．1 B． C．－1 D．-23．（2023·河北）如圖所示，梯形中，，且，點P在線段上運動，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．考法六奔馳定理【例6-1】（2023·安徽）平面上有及其內一點O，構成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結論稱為“奔馳定理”．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【例6-2】（2023湖南）點是所在平面上一點，若，則與的面積之比是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023河北）已知為內一點，且有，則和的面積之比為（）A． B． C． D．2．（2023江西）內有一點，滿足，則與的面積之比為（）A． B． C． D．3．（2023河南）已知點在正所確定的平面上，且滿足，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．4．（2023·遼寧·）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論.奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián).它的具體內容是：已知是內一點，的面積分別為，且.以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則單選題1．（2023·寧夏石嘴山）設向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)（

）．A． B． C． D．2．（2024上·北京石景山）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東佛山）已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（）A．1 B． C． D．4．（2023下·寧夏石嘴山）已知平面向量，，若是直角三角形，則的取值是（

）A．2 B． C．2或7 D．2或55．（2023上·重慶渝北）如圖，在邊長為2的等邊三角形中，點為中線的三等分點靠近點，點為的中點，則（

）

A． B． C． D．6．（2023·全國·模擬預測）在平行四邊形中，點是上靠近的四等分點，與交于點，則（

）A． B．C． D．7．（2023上·天津南開）是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若，，且，則（

）.A． B． C． D．8．（2023·北京）如圖，在中，M，N分別為AB，AC邊上的中點，P是線段MN上的一個動點（不含端點），CP與AB交于點D，BP與AC交于點E，，，則的最小值為（

）

A．2 B．4 C．6 D．8多選題9．（2024·貴州）已知，，則下列結論正確的是（

）A．B．C．與的夾角為D．在方向上的投影向量是10．（2023上·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學?？计谀┮阎?，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為2D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為11．（2024上·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）如圖，在直角梯形中，，，，是線段的中點，線段與線段交于，則（

）A．B．C．D．12．（2023·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）下列結論正確的是（

）A．一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底B．若，是單位向量)，則C．向量與共線存在不全為零的實數(shù)使D．已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若則填空題13．（2022·全國·模擬預測）已知向量，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是．14．（2023上·上海浦東新）若向量，則在方向上的投影的坐標為.15．（2023上·天津河北）設，，，其中，，為坐標原點，若，，三點共線，則，的最小值為.16（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）如圖．在直角梯形中．，點P是腰上的動點，則的最小值為．解答題17．（2023上·遼寧沈陽）給定三個平面向量．(1)求的大小；(2)若向量與向量共線，求實數(shù)的值．18．（2023·廣東惠州）已知平面直角坐標系中，向量.(1)若，且，求向量的坐標；(2)若與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.19．（2023·遼寧）如圖，在中，是邊上的中線．(1)取的中點，試用和表示；(2)若G是上一點，且，直線過點G，交交于點E，交于點F．若，，求的最小值．2