7.2 離散型隨機(jī)變量及分布列（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】7.2離散型隨機(jī)變量及分布列（精練）1離散型隨機(jī)變量的辨析1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X；②某通信公司官方客服一天內(nèi)接聽電話的總次數(shù)為X；③一天之內(nèi)的溫度為X；④一射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射擊中的得分.上述問題中的X是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】①大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)是可一一列舉，②客服一天內(nèi)接聽電話的總次數(shù)是可一一列舉，③一天之內(nèi)的溫度是連續(xù)型變量，④一次射擊中的得分是可一一列舉，由離散隨機(jī)變量的定義知：①②④.故選：B2．（2022春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列X是離散型隨機(jī)變量的是（

）①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X；②在一段時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)放出的α粒子數(shù)η；③一天之內(nèi)的溫度X；④一射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分.A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一個(gè)范圍.不能一一列舉出來，故選：B.3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量；②一個(gè)沿直線y＝x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置η是一個(gè)隨機(jī)變量；③某無線尋呼臺1分鐘內(nèi)接到的尋呼次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量；④1天內(nèi)的溫度η是一個(gè)隨機(jī)變量.其中是離散型隨機(jī)變量的為（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】①中經(jīng)過的車輛數(shù)和③中尋呼次數(shù)都能列舉出來，而②④中都不能列舉出來，所以①③中的ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.故選：C.4．（2022春·河北唐山·高二?？计谥校┙o出下列各量：①某機(jī)場候機(jī)室中一天的游客數(shù)量；②某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；③某同學(xué)離開自己學(xué)校的距離；④將要舉行的繪畫比賽中某同學(xué)獲得的名次；⑤體積為8的正方體的棱長.其中是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④【答案】A【解析】由題意，①②④是離散型隨機(jī)變量，③是連續(xù)型隨機(jī)變量，⑤中體積為8的正方體的棱長是一個(gè)常量，不是隨機(jī)變量.故選：A.5．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知下列隨機(jī)變量：①10件產(chǎn)品中有2件次品，從中任選3件，取到次品的件數(shù)；②一位射擊手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，該射擊手在一次射擊中的得分；③一天內(nèi)的溫度；④在體育彩票的抽獎(jiǎng)中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)．其中是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④【答案】B【解析】①：可能取值為，所以是離散型隨機(jī)變量；②：可能取值為，所以是離散型隨機(jī)變量；③：一天的溫度變化是連續(xù)的，所以不是離散型隨機(jī)變量；④：在體育彩票的抽獎(jiǎng)中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)是離散的，所以是離散型隨機(jī)變量故選：B6．（2021·全國·高二專題練習(xí)）一個(gè)袋子中有除顏色外其他都相同的紅、黃、綠、白四種小球各若干個(gè)，一次倒出3個(gè)小球，下列變量是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．小球滾出的最大距離 B．倒出小球所需的時(shí)間C．倒出的3個(gè)小球的質(zhì)量之和 D．倒出的3個(gè)小球的顏色的種數(shù)【答案】D【解析】對于A，小球滾出的最大距離不是離散型隨機(jī)變量，因?yàn)闈L出的最大距離不能一一列出；對于B，倒出小球所需的時(shí)間不是離散型隨機(jī)變量，因?yàn)樗璧臅r(shí)間不能一一列出；對于C，3個(gè)小球的質(zhì)量之和是一個(gè)定值，不是隨機(jī)變量；對于D，倒出的3個(gè)小球的顏色的種數(shù)可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量．故選：D7．（2021·全國·高二專題練習(xí)）下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．?dāng)S5次硬幣正面向上的次數(shù)MB．從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個(gè)小球中任取2個(gè)小球，這2個(gè)小球上所標(biāo)的數(shù)字之和YC．某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時(shí)間TD．將一個(gè)骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和X【答案】C【解析】在A中，擲5次硬幣，正面向上的次數(shù)M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故M是離散型隨機(jī)變量在B中，從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個(gè)小球中任取2個(gè)小球，這2個(gè)小球上所標(biāo)的數(shù)字之和Y可能取的值，可以按一定次序一一列出，故Y是離散型隨機(jī)變量在C中，某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時(shí)間T可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法一一列出，故T不是離散型隨機(jī)變量在D中，將一個(gè)骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是離散型隨機(jī)變量故選：C8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】因?yàn)榧?、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．9．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列隨機(jī)變量中，不是離散型隨機(jī)變量的是（

）．A．從10張已編好號碼的卡片（1號到10號）中任取一張，被取出的卡片的號碼B．一個(gè)袋子中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，其中所含白球的個(gè)數(shù)C．某林場的樹木最高可達(dá)30m，從此林場中任選一棵樹，所選樹木的高度D．從某加工廠加工的某種銅管中任選一根，所選銅管的外徑尺寸與規(guī)定的外徑尺寸之差【答案】CD【解析】對于A，被取出的卡片的號碼是1，2，3，…，10，共有10個(gè)值，是隨機(jī)變化的，符合離散型隨機(jī)變量的定義；對于B，從10個(gè)球中取3個(gè)球，所含白球的個(gè)數(shù)有0，1，2，3，共有4個(gè)值，是隨機(jī)變化的，符合離散型隨機(jī)變量的定義；對于C，所選樹木的高度是隨機(jī)變化的，它可以取內(nèi)的一切值，無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量；對于D，實(shí)際測量值與規(guī)定值之間的差值是隨機(jī)變化的，它充滿了某個(gè)區(qū)間，無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量.故選：CD10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）下列變量中，是離散型隨機(jī)變量的是（

）．A．某機(jī)場明年5月1日運(yùn)送乘客的數(shù)量B．某辦公室一天中接到電話的次數(shù)C．某地警方明年5月1日到10月1日期間查處酒駕司機(jī)的人數(shù)D．一瓶凈含量為的果汁的容量【答案】ABC【解析】某機(jī)場明年5月1日運(yùn)送乘客的數(shù)量可能為0，1，2，3，…，是隨機(jī)變化的，而且可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量，故A正確；某辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0，1，2，3，…，是隨機(jī)變化的，而且可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量，故B正確；某地警方明年5月1日到10月1日期間查處酒駕司機(jī)的人數(shù)可能為0，1，2，3，…，是隨機(jī)變化的，而且可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量，故C正確；果汁的容量在498mL～502mL之間波動(dòng)，雖然是隨機(jī)變量，但不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．2離散型隨機(jī)變量的分布列1．（2022春·山西長治·高二山西省長治市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）甲乙參加英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行考試，至少答對2道題才算合格．(1)若一次考試中甲答對的題數(shù)是，求的概率分布列，并求甲合格的概率；(2)若答對1題得5分，答錯(cuò)1題扣5分，記為乙所得分?jǐn)?shù)，求的概率分布列．【答案】(1)分布列見解析，；(2)分布列見解析.【解析】（1）依題意，的可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列：0123所以甲合格的概率.（2）依題意，乙答3題，答對題數(shù)可能為1，2，3，則的可能取值為-5，5，15，，，，的分布列：-55152．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對A，B兩個(gè)公司的掃碼支付情況進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從國內(nèi)（）個(gè)人口超過1000萬的超大城市和8個(gè)人口低于100萬的小城市隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為．(1)求的值；(2)若一次抽取4個(gè)城市，（i）假設(shè)抽取出的小城市的個(gè)數(shù)為，求的概率分布列；（ii）若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，求全為超大城市的概率．【答案】(1)7(2)（i）01234（ii）【解析】(1)（1）從個(gè)城市中一次抽取2個(gè)城市，有種情況，其中全是小城市的有種情況，則全是小城市的概率為，解得(2)（i）由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，則的概率分布列為01234（ii）若抽取的4個(gè)城市全是超大城市，共有種情況；若抽取的4個(gè)城市全是小城市，共有種情況，所以若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，則全為超大城市的概率為．3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）隨著國家對體育、美育的高度重視，不少省份已經(jīng)宣布將體育、美育納入中考范疇．某學(xué)校為了提升學(xué)生的體育水平，決定本學(xué)期開設(shè)足球課，某次體育課上，體育器材室的袋子里有大小、形狀相同的2個(gè)黃色足球和3個(gè)白色足球，現(xiàn)從袋子里依次隨機(jī)取球．（1）若連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，求取出1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球的概率；（2）若無放回地取3次，每次取1個(gè)球，取出黃色足球得1分，取出白色足球不得分，求總得分X的分布列．【答案】（1）；（2）分布列見解析.【解析】（1）從袋子里連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，設(shè)事件A為“取出1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球”，則．（連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，求取出1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球的概率問題可轉(zhuǎn)化為從5個(gè)足球中選出3個(gè)足球，其中有1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球的概率問題）（2）X的取值范圍為，則，，．所以總得分X的分布列為：X012P4．（2022春·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得分）．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立．（1）若第一次擊鼓出現(xiàn)音樂，求該盤游戲獲得分的概率；（2）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列；（3）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率為多少？【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）．【解析】】（1）若第一次擊鼓出現(xiàn)音樂，則該盤游戲獲得分的概率為：；（2）可能的取值為，，，．根據(jù)題意，有，，，．所以的分布列為：（3）設(shè)“第盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件（，則．所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為：．因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是．5．（2022春·湖南衡陽·高二衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.（1）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；（2）記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）記“當(dāng)天商品銷售量為0件”為事件A，“當(dāng)天商品銷售量為1件”為事件B，“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”為事件C，則；（2）由題意知，X的可能取值為2，3.P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝；P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為3件)＝，故X的分布列為：X23P6．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋中有形狀大小完全相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球.（1）從中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，求X的分布列；（2）從中任意摸出兩個(gè)球，用0表示兩個(gè)球全是白球，用1表示兩個(gè)球不全是白球，求X的分布列.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】（1）X的分布列為X01P（2）∵P(X＝0)＝＝，∴X的分布列為X01P3分布列的性質(zhì)1．（2022秋·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下：則的值為__________．【答案】【解析】由隨機(jī)變量的分布列可知，所以，故答案為：2．（2022春·全國·高二期末）隨機(jī)變量X的分布列為XP若，，成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意知，，∴，∴．又，∴，∴．同理，由，，∴，∴，即公差的取值范圍是故答案為：3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知服從兩點(diǎn)分布，且，則______．【答案】0.7【解析】因?yàn)榉膬牲c(diǎn)分布，所以．故答案為：0.74．（2022春·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2＋b2的最小值為________．【答案】【解析】由分布列的性質(zhì)，知，即.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以的最小值為.故答案為：4兩點(diǎn)分布1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量