遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析）

遼寧省名校聯(lián)盟2024年高二9月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念計(jì)算即可【詳解】易知，所以，虛部為．故選：A．2.已知向量，，，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列出方程求解即可.【詳解】由，又，則，解得．故選：B．3.用斜二測(cè)畫法畫出水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的，已知，則的面積為（）A. B. C.8 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直觀圖和原圖的面積關(guān)系，即可求解【詳解】因，所以是直角三角形且，可得，所以的面積，則的面積．故選：A4.已知，則的值是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用誘導(dǎo)公式求出，再利用二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系，對(duì)齊次化處理，然后分子分母同時(shí)除以，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則．故選：D．5.已知，，，則a，b，c大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷各數(shù)的范圍以及大小關(guān)系，即得答案.【詳解】由于，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，故.故選：D6.2024年7月，第17屆歐洲杯足球賽落下帷幕，西班牙國(guó)家隊(duì)以7戰(zhàn)全勝的成績(jī)獲得冠軍，隊(duì)中出生于2007年，不滿17歲就參加歐洲杯的天才少年拉明·亞馬爾獲得1個(gè)進(jìn)球，4個(gè)助攻的優(yōu)秀數(shù)據(jù)，打破了歐洲杯歷史上的“最年輕的參賽球員”“最年輕的進(jìn)球球員”等多項(xiàng)記錄．據(jù)記者報(bào)道，由于他還是個(gè)高中生，在歐洲杯期間每天的訓(xùn)練和比賽后，還要完成自己的家庭作業(yè)．如圖，已知足球比賽的球門寬度AB大約為7米，D在場(chǎng)地的底線上，與點(diǎn)B距離5米，CD與底線垂直，CD長(zhǎng)為15米，若在訓(xùn)練中，球員亞馬爾從點(diǎn)C開始帶球沿直線向點(diǎn)D奔跑并選擇一點(diǎn)P處射門，要想獲得最大的射門角度（∠APB），則他需要帶球的距離CP大約是（參考數(shù)據(jù)：）（）A.3.6米 B.3.9米 C.7.2米 D.7.8米【答案】C【解析】【分析】設(shè)，得出，，由正切函數(shù)單調(diào)性，兩角差的正切公式及基本不等式即可求解．【詳解】設(shè)，，，同理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)．故選：C．7.已知關(guān)于x的方程在內(nèi)恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，根據(jù)方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，由，可得，因?yàn)榉匠逃?個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以由正弦函數(shù)的圖像可得，解得，所以的取值范圍．故選：B．8.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱AD，上的動(dòng)點(diǎn)，若正方體的外接球的球心是，三棱錐的外接球的球心是，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意找出球心和的位置，再根據(jù)線面垂直性質(zhì)得出當(dāng)，，G三點(diǎn)共線時(shí)，的最大值為.【詳解】如下圖所示：設(shè)BC的中點(diǎn)為G，的中點(diǎn)為H，的外接圓圓心為M，的外接圓圓心為N，易得，，過M，N分別作平面，平面ABCD的垂線，交點(diǎn)即為，又為GH的中點(diǎn)，所以當(dāng)MG和NG最小時(shí)，取得最大值．設(shè)，，由，可得，整理得，故當(dāng)，即F為的中點(diǎn)時(shí)，MG取得最小值，同理可得NG的最小值也是，此時(shí)，，G三點(diǎn)共線，．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列冪函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義判斷奇偶性，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，因，故函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，不合題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿足，故函數(shù)為奇函數(shù)，且，故函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，故B符合題意；對(duì)于C，因函數(shù)的定義域是，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，即函數(shù)沒有奇偶性，不合題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿足，故函數(shù)為奇函數(shù)，且，故函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，故D符合題意.故選：BD．10.在中，，，是有一個(gè)角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，則DC的長(zhǎng)可以是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分類討論的大小，然后根據(jù)幾何關(guān)系求DC的長(zhǎng)即可.【詳解】如圖①，當(dāng)且時(shí)，二面角是直二面角，故平面平面,且平面平面,平面，故平面ABC，所以，因?yàn)?，所以，故C正確；同理可得，當(dāng)且時(shí)，平面ABC，所以，因?yàn)?，所以，故D正確；當(dāng)且時(shí)，如圖②，過點(diǎn)D作，垂足為E，連接CE，因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,平面，故平面ABC,所以，此時(shí),,，所以,故A正確；當(dāng)且時(shí)，同理可得，，.故選：ACD．11.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，，則c可能為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用正弦定理、正弦的和角公式先判定，再利用三角換元設(shè)，根據(jù)余弦定理及三角恒等變換得出，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域即可.【詳解】由已知及正弦定理可得，即，易知，所以，故，由，可得．設(shè)，，則，其中，，因?yàn)?，所以，又，所以，可得，則．故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域是______．【答案】，【解析】【分析】直接根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及余弦函數(shù)的圖象求解即可．【詳解】由題意可得，即，所以，，故答案為：，．13.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則______【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義及，可得在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到和的距離相等，所以Z在線段OA的垂直平分線上，即，同理，由，可得，所以，故．故答案為：14.在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，E是棱PA的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱BC上，滿足，G在棱PB上，滿足D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，則的值為______．【答案】##0.75【解析】【分析】通過延長(zhǎng)DF，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，先證明點(diǎn)G即EQ與PB的交點(diǎn)，利用及相似三角形，證得，由得到，，推出即得.【詳解】如圖，延長(zhǎng)DF，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接EQ，EQ與PB的交點(diǎn)即為G.理由如下：設(shè)D，E，F(xiàn)共面，因，則平面，又因平面，故三點(diǎn)共線，即.取AB的中點(diǎn)M，連接EM，因，由可得,因,則,又E是棱PA的中點(diǎn)，則,則得,故有，又，所以，故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查通過四點(diǎn)共面確定點(diǎn)的位置的方法，屬于較難題.解題的關(guān)鍵在于先由，通過兩個(gè)平面的相交，證明點(diǎn)在交線上，從而確定點(diǎn)的位置.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓錐的底面半徑為2，高為4，D是母線PA的中點(diǎn)，C在底面圓周上，．（1）求圓錐的表面積和體積；（2）求DC與平面ABC所成角的正弦值．【答案】（1）表面積，體積（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓錐體積與表面積公式代入計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）利用線面角的定義作出DC與平面ABC所成角的平面角，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】圓錐的母線，則圓錐的表面積，圓錐的體積【小問2詳解】取AO的中點(diǎn)E，連接DE，CE，因?yàn)镈，E分別是PA，OA的中點(diǎn)，所以，所以平面ABC，所以CE是DC在平面ABC內(nèi)的射影，所以是DC與平面ABC所成角，又，，所以，可得，即DC與平面ABC所成角的正弦值是．16.已知向量，．（1）若，，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求圖像的對(duì)稱中心坐標(biāo)，并寫出的圖像經(jīng)過怎樣的平移變換，可以得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像（寫出一種變換方式即可）．【答案】（1）（2），，答案見解析【解析】【分析】（1）由，利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，倍角公式求的值；（2）由向量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出解析式，由降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，整體代入法求對(duì)稱中心，取其中一個(gè)對(duì)稱中心平移到原點(diǎn)，可知得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像的平移變換.【小問1詳解】由，可得，整理得，即，因?yàn)?，所以，所以，則．【小問2詳解】，令，，解得，．所以圖像對(duì)稱中心坐標(biāo)是，，令，可得的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)是，所以將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像．17.在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，．（1）求和的長(zhǎng)；（2）若，的平分線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）結(jié)合平面向量基本定理，用表示出已知條件，聯(lián)立方程即可求解；（2）設(shè)，，結(jié)合向量的數(shù)量積，利用余弦定理和面積公式，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】，同理可得，則，解得.【小問2詳解】設(shè)，，由，得，故，由余弦定理得，解得．由，可得，整理得．18.已知在四棱錐中，底面ABCD是梯形，，，，，M是棱PD的中點(diǎn)．（1）求證：平面PBC；（2）在棱BC上是否存在點(diǎn)N，滿足且?若存在，確定點(diǎn)N的位置并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若，求點(diǎn)D到平面PBC距離．【答案】（1）證明見解析（2）存在BC的中點(diǎn)N，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取PC的中點(diǎn)E，連接ME，BE，借助中位線性質(zhì)，得到四邊形是平行四邊形，再用線面平行的判定即可證明；（2）存在的中點(diǎn)N，滿足且．連接借助等腰三角形性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到平面，再用線面垂直性質(zhì)得到線線垂直；（3）過點(diǎn)D作，垂足為Q，先證明平面平面PDN，得到線面垂直，得到線段的長(zhǎng)度就是點(diǎn)D到平面的距離，再用余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系和銳角三角函數(shù)可解.【小問1詳解】證明：取PC的中點(diǎn)E，連接ME，BE，因?yàn)镸，E分別是PD，PC的中點(diǎn)，所以，．又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．【小?詳解】存在的中點(diǎn)N，滿足且．證明如下：連接運(yùn)用勾股定理，直角梯形性質(zhì)，得到,則和為等邊三角形，則可以求出高，因?yàn)?，M是的中點(diǎn)，所以，又，，N是的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，即且．【小?詳解】過點(diǎn)D作，垂足為Q，由（2）得平面PDN，因?yàn)槠矫?，所以平面平面PDN，又平面平面，面，所以平面，故線段的長(zhǎng)度就是點(diǎn)D到平面的距離，在中，，則，所以．19.通過兩角和的