四川省成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年新高一數(shù)學(xué)入學(xué)測(cè)試測(cè)試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一，單項(xiàng)選擇題.（每題5分，共40分）1.在平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線（）時(shí)候垂直？A.斜率之積為-1時(shí)B.兩條直線有1個(gè)公共點(diǎn)的時(shí)候C.兩條直線分別與坐標(biāo)軸垂直的時(shí)候D.以上答案均不正確【答案】A【解析】【分析】由兩直線垂直的定義逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)于A：斜率之積為-1時(shí)，兩直線垂直，正確對(duì)于B：兩條直線有1個(gè)公共點(diǎn)的時(shí)候，可能相交但不垂直，錯(cuò)誤對(duì)于C：兩條直線分別與坐標(biāo)軸垂直的時(shí)候，如果是同一坐標(biāo)軸，那么平行，錯(cuò)誤對(duì)于D：錯(cuò)誤故選：A2.關(guān)于數(shù)的分類，以下說(shuō)法正確的是（）A.無(wú)理數(shù)相加不可能是有理數(shù)B.是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)C.0不屬于自然數(shù)集D.若拋物線的系數(shù)均不是整數(shù)，那它的對(duì)稱軸，也不是整數(shù)【答案】B【解析】【分析】由，可判斷A；是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)可判斷B；0屬于自然數(shù)集可判斷C；由，求得對(duì)稱軸判斷D.【詳解】對(duì)于A：由，故兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和可能是有理數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，故B正確；對(duì)于C：0屬于自然數(shù)集，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：拋物線的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，故D錯(cuò)誤.故選：B.3.下面說(shuō)法正確的是（）A.兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，三個(gè)不同的點(diǎn)確定一條曲線B.如果只知道拋物線的一個(gè)點(diǎn)，那么在某些情況也是可以確定它的解析式的C.函數(shù)的對(duì)稱軸只有一條D.反比例函數(shù)上的三個(gè)不同的點(diǎn)可能在某些情況是共線的【答案】B【解析】【分析】舉例說(shuō)明三個(gè)不同的點(diǎn)不能確定一條曲線，判斷A，舉例說(shuō)明在特殊條件下，已知拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，可以求其解析式，判斷B，取，函數(shù)沒有對(duì)稱軸，判斷C；設(shè)反比例函數(shù)上存在三個(gè)點(diǎn)共線，聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式與直線方程，化簡(jiǎn)推出矛盾，判斷D.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)都在拋物線上，點(diǎn)也都在反比例函數(shù)的圖象上，所以三個(gè)不同的點(diǎn)不能確定一條曲線，A錯(cuò)誤；若拋物線的解析式為，且拋物線過點(diǎn)，則，此時(shí)拋物線的解析式為，故如果只知道拋物線的一個(gè)點(diǎn)，那么在某些情況也是可以確定它的解析式的，B正確；當(dāng)，函數(shù)的解析式可化為，該函數(shù)的圖象沒有對(duì)稱軸，C錯(cuò)誤；設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，設(shè)函數(shù)的圖象上存在三個(gè)不同的點(diǎn)共線，則該直線方程不可能為，設(shè)其解析式為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)榉匠讨炼嘀挥袀€(gè)解，所以方程組至多只有組解，矛盾，D錯(cuò)誤故選：B.4.下面說(shuō)法正確的是（）A.借助兩點(diǎn)間距離公式，可以知道甲地到乙地的路程B.兩點(diǎn)間距離公式是通過勾股定理推導(dǎo)出來(lái)的C.滿足這樣軌跡方程的一定是圓，因?yàn)閳A的有一個(gè)定義是，點(diǎn)到定點(diǎn)距離為定值的軌跡，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，將這個(gè)轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就是D.以上選項(xiàng)均不正確【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式、圓等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，兩點(diǎn)間的距離是兩點(diǎn)間的直線距離，甲乙兩地的道路不一定是直線，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，兩點(diǎn)間距離公式可以通過勾股定理來(lái)推導(dǎo)，也可以通過向量法、解析幾何法、坐標(biāo)變換法、微積分等方法來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)，即點(diǎn)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D5.老師們常常給我們說(shuō)，“努力學(xué)習(xí)不一定有好結(jié)果，但是不努力學(xué)習(xí)一定沒有好結(jié)果”，對(duì)于這句話，正確的理解是（）A任何時(shí)候不管努力學(xué)習(xí)，或者不努力學(xué)習(xí)，都不一定有好結(jié)果B.不努力學(xué)習(xí)也可能有好結(jié)果C.努力學(xué)習(xí)一定有好結(jié)果D.如果沒有取得好結(jié)果，那么一定沒有努力【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的語(yǔ)句的正確性，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，由給定的語(yǔ)句知，努力學(xué)習(xí)，或者不努力學(xué)習(xí)，都不一定有好結(jié)果，A正確.對(duì)于B，由給定的語(yǔ)句知，不努力學(xué)習(xí)一定沒有好結(jié)果，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由給定的語(yǔ)句知，努力學(xué)習(xí)不一定有好結(jié)果，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，命題“如果沒有取得好結(jié)果，那么一定沒有努力”，等價(jià)于：如果努力，就能取得好結(jié)果，D錯(cuò)誤.故選：A6.拋物線與圓相交形成交點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)相加之和為0B.可能有3個(gè)C.將交點(diǎn)連接后，其形狀可能是等腰梯形或一條直線D.以上說(shuō)法均不正確【答案】B【解析】【分析】由拋物線與圓有三個(gè)交點(diǎn)可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性.【詳解】若拋物線方程為，圓的方程為，聯(lián)立方程組解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，故此時(shí)拋物線與圓有三個(gè)交點(diǎn)，故B正確；故橫坐標(biāo)之和不為0，故A錯(cuò)誤；連接交點(diǎn)可得一個(gè)三角形，故C錯(cuò)誤.故選：B.7.請(qǐng)結(jié)合計(jì)算和畫圖，判斷（）A.1 B.2 C.3 D.無(wú)法確定【答案】A【解析】【分析】作出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義計(jì)算判斷即可.【詳解】在中，令銳角的對(duì)邊為，鄰邊為，斜邊為，則，，所以.故選：A8.已知，則直線恒過定點(diǎn)（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)椋?，由，可得，所以，?dāng)時(shí)，所以對(duì)為任意實(shí)數(shù)均成立,故直線過定點(diǎn).故選：A.二.不定項(xiàng)選擇題.（每題6分，共18分）9.當(dāng)二次函數(shù)自變量有范圍限制的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)（）情況A.若限制范圍包含頂點(diǎn)，那么最小值或最大值是不變的B.若限制范圍不包含頂點(diǎn)，那么一定存在最小值或者最大值C.若限制范圍不包含頂點(diǎn)，那么一定存在最小值和最大值D.若限制范圍為確定的值，而不是一個(gè)區(qū)間，那么它的最小值和最大值相等【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，限制范圍包含頂點(diǎn)，若二次函數(shù)圖象開口向上，則頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)值為二次函數(shù)最小值；若二次函數(shù)圖象開口向下，則頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)值為二次函數(shù)最大值，因此最小值或最大值不變，A正確；對(duì)于BC，限制范圍不包含頂點(diǎn)，當(dāng)限制范圍的端點(diǎn)值不能被取到時(shí)，該函數(shù)可能沒有最小值和最大值，BC錯(cuò)誤；對(duì)于D，限制范圍為確定的值，而不是一個(gè)區(qū)間，該函數(shù)只有一個(gè)函數(shù)值，其最小值和最大值相等，D正確.故選：AD10.下面圖形是矩形的是（）A.長(zhǎng)方形 B.正方形C菱形 D.直角梯形【答案】AB【解析】【分析】由矩形的定義可得結(jié)論.【詳解】由矩形的定義可得是矩形的有長(zhǎng)方形，正方形.故選：AB.11.一個(gè)直角三角形，直角邊分別是，那么下面說(shuō)法正確的是（）A.斜邊長(zhǎng)度為B.斜邊長(zhǎng)度最小值是2C.將其繞其直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，那么其斜邊上任何一個(gè)點(diǎn)（包含端點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)軌跡都是圓D.這個(gè)直角三角形可能是等腰直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由直角三角形勾股定理得斜邊長(zhǎng)度為，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直角三角形斜邊上一點(diǎn)與直角頂點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)的軌跡是圓，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，該直角三角形是等腰直角三角形，D正確.故選：ACD三.填空題：（每題5分，共15分）12.若集合A有3個(gè)元素，集合B有4個(gè)元素，那么集合A和集合B的交集可能有_________個(gè)元素.【答案】0或1或2或3【解析】【分析】利用集合公共元素個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】集合A有3個(gè)元素，集合B有4個(gè)元素，則集合的公共元素個(gè)數(shù)最多為3個(gè)，所以集合A和集合B的交集可能有0或1或2或3.故答案為：0或1或2或313.已知一元二次方程的兩根分別為，那么_________.【答案】【解析】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)橐辉畏匠痰膬筛謩e為，所以.故答案為：.14.函數(shù)（為確定的實(shí)數(shù)）的因變量取值范圍是__________.【答案】當(dāng)時(shí)，因變量的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，因變量的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，因變量的取值范圍是.【解析】【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)，則頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，當(dāng)時(shí)，因變量的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，因變量的取值范圍是.故答案為：當(dāng)時(shí)，因變量的取值范圍是R；當(dāng)時(shí)，因變量的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，因變量的取值范圍是.四．解答題：（15題13分，16題～17題每題15分，18～19題每題17分，共77分）15.已知，請(qǐng)作出，，的圖象，并說(shuō)說(shuō)你是怎么作出的.【答案】作圖見解析.【解析】【分析】利用函數(shù)利用變換法作出圖象，并敘述作圖過程.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的圖象為函數(shù)圖象在軸及右側(cè)圖象，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的圖象為函數(shù)在軸右側(cè)圖象關(guān)于軸對(duì)稱而得，函數(shù)的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的圖象為函數(shù)圖象在軸及上方圖象，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的圖象為函數(shù)在軸下方圖象關(guān)于對(duì)稱而得，函數(shù)的圖象，如圖：函數(shù)的圖象是將函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位而得，如圖.16.請(qǐng)利用種方法證明勾股定理.并說(shuō)出一例勾股定理在生活中的運(yùn)用.【答案】證明見解析，舉例見解析.【解析】【分析】方法一：過作，垂足為，證明，由此可得，同理可得，由此證明結(jié)論；方法二：以為邊作正方形，過點(diǎn)作垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，證明，再證明四邊形為正方形，結(jié)合面積關(guān)系證明結(jié)論；方法三：以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，分別交和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明為圓的切線，結(jié)合切割線定理證明結(jié)論.再舉例說(shuō)明勾股定理在生活中的應(yīng)用.【詳解】如圖，在直角三角形中，，求證：.方法一：過作，垂足為，則，，故，又，所以，所以，即，同理：，所以，所以.方法二：如圖，以為邊作正方形，過點(diǎn)作垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由已知，，所以，故，因?yàn)椋?所以，又，，所以,同理可證，，所以，，所以，又，所以四邊形為正方形，設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，的面積為，則，所以，所以.方法三：以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，分別交和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，因?yàn)?，點(diǎn)在圓上，所以為圓的切線，所以，所以.家裝時(shí)，工人為了判斷一個(gè)墻角是否標(biāo)準(zhǔn)直角，可以分別在墻角向兩個(gè)墻面量出，并標(biāo)記在一個(gè)點(diǎn)，然后量這兩點(diǎn)間距離是否是，如果超出一定誤差，則說(shuō)明墻角不是直角.17.請(qǐng)討論方程解的個(gè)數(shù).【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)的不同取值分類討論，結(jié)合一元二次方程性質(zhì)判斷解的個(gè)數(shù)，即可得到答案.【詳解】當(dāng)，即或時(shí)，方程為一元一次方程，有一個(gè)解；當(dāng)，即且時(shí)，方程為一元二次方程，，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，，方程有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解，當(dāng)且或且時(shí)，，方程有兩個(gè)解，綜上，當(dāng)或或時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，當(dāng)當(dāng)且或且時(shí)，方程有兩個(gè)解.18.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求它向左平移3個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位后的解析式；（2）當(dāng)m，n是方程的兩根的時(shí)候，求拋物線C的解析式；（3）求經(jīng)過的切線方程，并說(shuō)明這樣的切線有幾條.【答案】（1）；（2）或；（3），1條.【解析】【分析】（1）求出拋物線的解析式，利用平移變換求出解析式.（2）求出，再分類求出解析式.（3）求出過點(diǎn)的切線方程，再與拋物線方程聯(lián)立即可求解即得.【小問1詳解】依題意，設(shè)拋物線的解析式為，則，解得，因此拋物線的解析式為，將拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位后的解析式為.【小問2詳解】解方程，得，當(dāng)時(shí)，拋物線對(duì)應(yīng)的解析式為，當(dāng)時(shí)，拋物線對(duì)應(yīng)的解析式為，所以拋物線的解析式為或.小問3詳解】設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，則，解得，即切線方程為，由消去得，，解得，所以經(jīng)過的拋物線切線方程為，這樣的切線方程只有一條.19.在初中的時(shí)候，我們知道三角形是有穩(wěn)定性的，那為什么它有穩(wěn)定性，而平行四邊形沒有穩(wěn)定性呢？GGbond數(shù)學(xué)研究小組對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了探究，上網(wǎng)查閱了資料，了解了一個(gè)公式，已知三角形三邊長(zhǎng)度為a，b，c，三個(gè)角為A，B，C，那么，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)公式，來(lái)思考這個(gè)問題，并回答：（1）請(qǐng)利用這個(gè)公式說(shuō)明邊長(zhǎng)為3，3，7的三角形是不存在的；（2）證明這個(gè)公式；（3）若一個(gè)平行四邊形四邊長(zhǎng)為1，1，2，2，請(qǐng)說(shuō)明這樣的平行四邊形有幾個(gè)，請(qǐng)直接寫出你的答案；（4）請(qǐng)利用這個(gè)公式，闡述為什么三角形有穩(wěn)定性，而平行四邊形沒有穩(wěn)定性.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）無(wú)數(shù)個(gè)；（4）見解析.【解析】【分析】（1）由題意求出，即可判斷；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由兩點(diǎn)間的距離公式即可證明.（3）如圖，設(shè)，由題意可得，當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，也會(huì)變化，所以說(shuō)明這樣的平行四邊形有無(wú)數(shù)個(gè).（4）三角形的三邊長(zhǎng)是固定的，由題意可知三個(gè)角的余弦值也是固定的，所以三角形有穩(wěn)