滬科版八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期考試滿分全攻略第02講二次根式的運算(2大考點6種解題方法)(原卷版+解析)

第02講二次根式的運算（2大考點6種解題方法）考點考向考點考向1.二次根式的運算2.分母有理化考點精講考點精講一、二次根式的加減法1.計算：=.2.計算:3．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）計算：13二．二次根式的乘除法（共7小題）1．（2021秋?浦東新區(qū)期中）化簡：8a2．（2021秋?金山區(qū)校級期中）化簡：8x2xy÷12x33．（2021秋?松江區(qū)期中）計算：12a三．分母有理化（共6小題）1．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）x?3的有理化因式是2．（2022春?徐匯區(qū)校級月考）計算：12?1=3．（2021秋?松江區(qū)期末）不等式3x?1＜2x的解集是4．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）已知：x=3?23+2，y=3+四．二次根式的混合運算（共2小題）1．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）計算：232．（2021春?徐匯區(qū)期中）6?3五．二次根式的化簡求值（共2小題）1．（2021秋?金山區(qū)校級期中）已知x＝2?2，那么（x﹣2）2﹣x的值為六．二次根式的應(yīng)用（共4小題）1．（2021秋?普陀區(qū)期中）不等式3x﹣1＞2x的解集是．2．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知方程組2x?3y=24x?9y=12，那么2x3．（2022春?靜安區(qū)期中）如圖，在面積為2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以邊BC為直徑的半圓，則剩下的木料的面積為多少平方米？（π≈3.14，結(jié)果精確到0.1）4.化簡求值：．5.若等式成立，化簡：．6.的值．鞏固提升鞏固提升一、填空題1．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┯嬎悖?___________．2．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┯嬎悖海絖________．3．（2022·上海·八年級期末）化簡：=________．4．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎?，則___________5．（2022·上海·八年級期末）已知求的值=_____.6．（2022·上?！ぐ四昙壠谀懗龅囊粋€有理化因式___________．7．（2022·上海市南洋模范中學(xué)八年級期末）分母有理化_______．8．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯嬎?_________．9．（2022·上海·八年級期末）已知，是實數(shù)，且，問，之間有怎樣的關(guān)系：________________．10．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎瑒t__________11．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎猘、b是正整數(shù)，如果有序數(shù)對(a,b)能使得2的值也是整數(shù)，那么稱（a,b）是2的一個“理想數(shù)對”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想數(shù)對”，請你再寫出一個2的“理想數(shù)對”：___________.12．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤魧崝?shù)滿足，則的值是_________13．（2022·上海松江·八年級期末）不等式的解集是___________．14．（2022·上海·八年級期末）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，則該三角形的面積為S=．現(xiàn)已知△ABC的三邊長分別為1，2，，則△ABC的面積為______．二、解答題15．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯嬎悖?6．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯嬎悖海?7．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┯嬎悖海?8．（2022·上海·八年級期末）計算：．19．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┯嬎悖海?0．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┙獠坏仁剑?1．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯嬎悖?1)﹣+（3﹣）（1+）(2)3÷（3﹣2）22．（2022·上海·八年級期末）已知x=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985．試求正整數(shù)n．23．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┡袛嘞旅娓魇绞欠癯闪ⅲ?）

（2）

（3）探究：①你判斷完上面各題后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？并猜想：②用含有n的代數(shù)式將規(guī)律表示出來，說明n的取值范圍，并給出證明24．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎獙崝?shù)滿足求代數(shù)式的值．25．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┫然啠?，再求當(dāng)時的值.26．（2022·上海·八年級期末）已知三角形三邊之長能求出三角形的面積嗎？海倫公式告訴你計算的方法是：，其中表示三角形的面積，分別表示三邊之長，表示周長之半，即．我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”與這個公式基本一致，所以這個公式也叫“海倫-秦九韶公式”．請你利用公式解答下列問題．（1）在中，已知，，，求的面積；（2）計算（1）中的邊上的高．27．（2022·上?！ぐ四昙壠谀╅喿x材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)若，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=，b=；(2)若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；(3)化簡：．28．（2022·上?！ぐ四昙壠谀╅喿x，并回答下列問題：公元3世紀(jì)，我國古代數(shù)學(xué)家劉徵就能利用近似公式得到的近似值.（1）他的算法是：先將看成，利用近似公式得到，再將看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值會越來越精確.（2）按照上述取近似值的方法，當(dāng)取近似值時，求近似公式中的和的值.29.（2019上外10月考26）我們知道：任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零．由此可得：如果ax+b＝0，其中a、b為有理數(shù)，x為無理數(shù)，那么a＝0且b＝0．運用上述知識，解決下列問題：（1）如果，其中a、b為有理數(shù)，那么a＝，b＝；（2）如果，其中a、b為有理數(shù)，求a+2b的值．第02講二次根式的運算（2大考點6種解題方法）考點考向考點考向1.二次根式的運算2.分母有理化考點精講考點精講一、二次根式的加減法1.計算：=.【答案】；【解析】解：原式=.2.計算:【答案】；【解析】解：原式===.3．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）計算：13【分析】各式化簡為最簡二次根式，合并即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=13?6x+2?12＝2x+x=?【點評】此題考查了二次根式的加減法，以及二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．二．二次根式的乘除法（共7小題）1．（2021秋?浦東新區(qū)期中）化簡：8a【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行解答即可．【解答】解：8a2b【點評】此題考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?金山區(qū)校級期中）化簡：8x2xy÷12x3【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和x的取值范圍，確定y的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和乘除法的法則進(jìn)行計算即可．【解答】解：∵x＞0，xy有意義，∴y＞0，∴原式＝8x2xy=2xy＝2y2x．【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性質(zhì)和乘除法的計算法則是正確計算的前提．3．（2021秋?松江區(qū)期中）計算：12a【分析】根據(jù)二次根式的乘除運算法則，從左往右依次計算．【解答】解：12=3a=3b=3b=3a＝3ab．【點評】本題主要考查二次根式的乘除運算、二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的乘除運算法則、二次根式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．三．分母有理化（共6小題）1．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）x?3的有理化因式是x【分析】找出已知二次根式的有理化因式即可．【解答】解：x?3的有理化因式是故答案為：x?【點評】此題考查了分母有理化，弄清有理化因式的找法是解本題的關(guān)鍵．2．（2022春?徐匯區(qū)校級月考）計算：12?1=【分析】直接利用分母有理化將原式化簡即可．【解答】解：12故答案為：2+【點評】本題主要考查分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式．3．（2021秋?松江區(qū)期末）不等式3x?1＜2x的解集是x【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，將不等式兩邊先移項再合并同類項，不等式兩邊同乘以（3+【解答】解：移項、合并同類項得，（3?2）不等式兩邊同乘以（3+2）得，x【點評】解不等式應(yīng)依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，確定未知數(shù)系數(shù)的有理化因式．4．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）已知：x=3?23+2，y=3+【分析】直接利用分母有理化將原式化簡，再將多項式變形進(jìn)而代入得出答案．【解答】解：∵x=3?23+2=y=3+23?2=∴原式＝20x2+40xy+20y2+15xy＝20（x2+2xy+y2）+15xy＝20（x+y）2+15xy＝20×（5﹣26+5+26）2+15×（5﹣26）（5+26＝20×102+15×（25﹣24）＝2000+15＝2015．【點評】此題主要考查了分母有理化，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．四．二次根式的混合運算（共2小題）1．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）計算：23【分析】根據(jù)二次根式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案．【解答】解：原式=25=5【點評】本題考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（2021春?徐匯區(qū)期中）6?3【分析】根據(jù)二次根式的乘除運算法則以及平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式=(＝2﹣3＝﹣1．【點評】本題考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵熟練運用二次根式的乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．五．二次根式的化簡求值（共2小題）1．（2021秋?金山區(qū)校級期中）已知x＝2?2，那么（x﹣2）2﹣x的值為2【分析】先把x的值代入（x﹣2）2﹣x中，然后利用二次根式的性質(zhì)計算．【解答】解：∵x＝2?2∴（x﹣2）2﹣x＝（2?2?2）2﹣（2＝2﹣2+=2故答案為2．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，根據(jù)已知條件的特點，把x的值直接代入計算比較簡便．六．二次根式的應(yīng)用（共4小題）1．（2021秋?普陀區(qū)期中）不等式3x﹣1＞2x的解集是x＜?3【分析】按照解一元一次不等式的步驟計算即可．【解答】解：3x﹣1＞2x，（3?2）xx＜1x＜?【點評】本題考查二次根式的計算，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題關(guān)鍵．2．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知方程組2x?3y=24x?9y=12，那么2x【分析】把第二個方程左邊因式分解得到（2x+3y）（2x?3【解答】解：2x由②得（2x+3y）（2x?3y）＝12把①代入③得2（2x+3y∴（2x+3y故答案為：6．【點評】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用和解二元一次方程組，把第二個方程左邊因式分解得到（2x+3y）（2x?33．（2022春?靜安區(qū)期中）如圖，在面積為2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以邊BC為直徑的半圓，則剩下的木料的面積為多少平方米？（π≈3.14，結(jié)果精確到0.1）【分析】先求出正方形的邊長，進(jìn)一步得到半圓的半徑，再用正方形的面積減去半圓的面積即可求解．【解答】解：由題意得，正方形的邊長為2米，則半圓的半徑為r=2則剩下的木料的面積＝2?12πr2≈2?12×答：剩下的木料的面積約為1.2平方米．【點評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握正方形和圓的面積公式．4.化簡求值：．【難度】★★★【答案】．【解析】原式===；把代入，得：原式=．【總結(jié)】本題主要考查了二次根式的化簡和分母有理化．5.若等式成立，化簡：．【難度】★★★【答案】．【解析】由題意得：，解得：．∴原式===．【總結(jié)】本題主要考查二次根式的概念、化簡以及求值．6.的值．【難度】★★★【答案】．【解析】∵， ∴．∴原式===．【總結(jié)】本題綜合性較強，一方面考查了二次根式的化簡求值運算，另一方面考查了利用將次思想以及整體代入思想進(jìn)行求值．鞏固提升鞏固提升一、填空題1．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┯嬎悖?___________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的除法法則，即可求解．【詳解】原式=故答案是：．【點睛】本題主要考查二次根式的除法運算，熟練掌握二次根式的除法法則，是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┯嬎悖海絖________．【答案】20【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的乘法法則，熟練掌握二次根式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┗啠?________．【答案】【詳解】根據(jù)二次根式的化簡的性質(zhì)可知：===.故答案為：考點：二次根式的化簡4．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎瑒t___________【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)知，則，代入求出y的值，即可求解.【詳解】根據(jù)二次根式的性質(zhì)知，則，代入得，則.【點睛】本題是對二次根式計算的考查，熟練掌握二次根式的非負(fù)性和二次根式化簡是解決本題的關(guān)鍵.5．（2022·上海·八年級期末）已知求的值=_____.【答案】26【分析】先把兩等式相乘和相加可得ab＝240，ab（a＋b）＝8160，則可計算出a＋b＝34，再根據(jù)完全平方公式變形得到＝，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵a2b＝2400，ab2＝5760，∴a3b3＝2400×57600＝2403，a2b＋ab2＝2400＋5760，∴ab＝240，ab（a＋b）＝8160，∴a＋b＝＝34，∴＝＝故填：26.【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形及整式的運算法則.6．（2022·上?！ぐ四昙壠谀懗龅囊粋€有理化因式___________．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式，即可得到答案．【詳解】∵，∴是的一個有理化因式，故答案是：．【點睛】本題主要考查二次根式的有理化，熟練掌握平方差公式，是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上海市南洋模范中學(xué)八年級期末）分母有理化_______．【答案】【分析】分子，分母同乘以，利用平方差公式化簡解題．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查分母有理化，涉及平方差公式，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯嬎?_________．【答案】【分析】先把二次根式有理化，再計算即可．【詳解】解：======故答案為：．【點睛】此題考查了二次根式的除法，解題的關(guān)鍵是把分母有理化，注意平方差公式．9．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎?，是實數(shù)，且，問，之間有怎樣的關(guān)系：________________．【答案】【分析】找每一個括號部分的有理化因式，兩邊相乘，得出兩個等式，把兩式相加即可．【詳解】a、b之間的關(guān)系是：a+b=0．理由：原等式兩邊乘以，得=，原等式兩邊乘以，得=，兩式相加，得a+b=-a-b，故a=-b．故答案為a=-b．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值的運用，關(guān)鍵點是每一個括號部分的有理化因式與它互為倒數(shù)．10．（2022·上海·八年級期末）已知，則__________【答案】【分析】根據(jù)題意可知a＞0，b＞0，整理得出a，b的關(guān)系，代入即可求出.【詳解】根據(jù)題意可知a＞0，b＞0，∵，∴即，則，顯然，則，即a=4b，將a=4b代入中，∴原式====【點睛】本題是對二次根式的綜合考查，熟練掌握二次根式化簡運算是解決本題的關(guān)鍵，難度相對較大.11．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎猘、b是正整數(shù)，如果有序數(shù)對(a,b)能使得2的值也是整數(shù)，那么稱（a,b）是2的一個“理想數(shù)對”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想數(shù)對”，請你再寫出一個2的“理想數(shù)對”：___________.【答案】（1，4）（此題答案不唯一，見詳解）【分析】因為2的值也是整數(shù)，所以要使、開的盡，所以a、b必須是一個整數(shù)的平方，因為2的值也是整數(shù)，的化簡結(jié)果應(yīng)無分母或者分母為2.【詳解】當(dāng)a=1，b=4時，2故成立，所以答案可以是：（1，4）.此題答案也可以為（4，1）.【點睛】此題考查的是材料題，需要讀懂材料在解決問題.12．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤魧崝?shù)滿足，則的值是_________【答案】【分析】把已知條件化為兩個完全平方式，可知兩個非負(fù)數(shù)相加為0，則每個式子都為0，從而列方程求出x和y，代入即可解答．【詳解】解：∵∴∴∴∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及二次根式的混合運算，兩非負(fù)數(shù)之和等于0，則兩數(shù)均為0，求得x、y值．本題中把變形得是解題的關(guān)鍵．13．（2022·上海松江·八年級期末）不等式的解集是___________．【答案】【分析】按照解不等式的步驟，先移項，再合并同類項，系數(shù)化為1，最后對結(jié)果進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：，，，，∴．故答案為．【點睛】本題考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，根據(jù)不等式的性質(zhì)，確定未知系數(shù)的有理化因式是解題的關(guān)鍵．14．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┪覈纤沃麛?shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，則該三角形的面積為S=．現(xiàn)已知△ABC的三邊長分別為1，2，，則△ABC的面積為______．【答案】1【分析】把題中的三角形三邊長代入公式求解.【詳解】∵S=，∴△ABC的三邊長分別為1，2，，則△ABC的面積為：S==1，故答案為1．【點睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中的面積公式解答．二、解答題15．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯嬎悖骸敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)二次根式混合運算的法則計算即可【詳解】解：原式=【點睛】本題考查了次根式的混合運算，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵16．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥糠謩e根據(jù)分母有理化、二次根式的乘法和二次根式的性質(zhì)化簡與計算，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：==．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．17．（2022·上海·八年級期末）計算：．【答案】．【分析】先去括號和分母，再進(jìn)行二次根式的加減運算即可．【詳解】原式．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是計算本題的關(guān)鍵．18．（2022·上海·八年級期末）計算：．【答案】5【分析】先逐項化簡，再算加減即可．【詳解】解：原式===5．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則以及零指數(shù)冪、立方根的意義是解答本題的關(guān)鍵．19．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥坑善椒讲罟?、以及積的乘方的逆運算進(jìn)行化簡，即可求出答案．【詳解】解：，=，=，=【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式、以及積的乘方的逆運算進(jìn)行化簡．20．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┙獠坏仁剑骸敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)解不等式的步驟解不等式即可．【詳解】解：去括號，得，移項、合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，即．【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法和分母有理化，本題的易錯點是易忽略．21．（2021·上海·八年級期中）計算：(1)﹣+（3﹣）（1+）(2)3÷（3﹣2）【答案】(1)-5，(2)-6【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式計算，然后化簡后合并即可；（2）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后把括號內(nèi)合并后進(jìn)行二次根式的除法運算．(1)解：原式=4﹣（4+4+3）+（-1）?=4﹣7﹣4+3﹣1=﹣5(2)原式=6÷（﹣2）=6÷（﹣）=﹣6．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．22．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎獂=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985．試求正整數(shù)n．【答案】2試題分析：首先化簡x與y，可得：x=（）2=2n+1-2，y=2n+1+2，所以x+y=4n+2，xy=1；將所得結(jié)果看作整體代入方程，化簡即可求得．試題解析：化簡x與y得：x=（）2，y=（）2，∴x+y=4n+2，xy=1，∴將xy=1代入方程，化簡得：x2+y2=98，∴（x+y）2=x2+y2+2xy=98+2×1=100，∴x+y=10．∴4n+2=10，解得n=2．23．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┡袛嘞旅娓魇绞欠癯闪ⅲ?）

（2）

（3）探究：①你判斷完上面各題后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？并猜想：②用含有n的代數(shù)式將規(guī)律表示出來，說明n的取值范圍，并給出證明【答案】都正確①②，證明見解析．【分析】（1）①利用已知即可得出命題正確，同理即可得出其他正確性，猜想可得出；②利用①的方法，可以得出規(guī)律，并加以證明即可．【詳解】解：①上面三題都正確，，==；，==；，==；∴；②上面規(guī)律：，證明：=.【點睛】此題主要考查了平方根的性質(zhì)，利用已知得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．24．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎獙崝?shù)滿足求代數(shù)式的值．【答案】【分析】首先化簡已知條件的等式，得出，代入所求代數(shù)式中即可得解.【詳解】解：由已知條件，等式可化為，即為解得，（舍去）將其代入，即得原式=，故答案為.【點睛】此題主要考查二次根式的化簡求值，熟練運用即可解題.25．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┫然啠?，再求當(dāng)時的值.【答案】xy；1【分析】分子中先提出公因式進(jìn)行因式分解，分子分母約去公因式后再利用二次根式乘法進(jìn)行化簡，然后代入數(shù)值進(jìn)行求解即可.【詳解】===，當(dāng)時，原式==1.【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，正確確定運算順序以及運算方法是解題的關(guān)鍵.26．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎切稳呏L能求出三角形的面積嗎？海倫公式告訴你計算的方法是：，其中表示三角形的面積，分別表示三邊之長，表示周長之半，即．我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”與這個公式基本一致，所以這個公式也叫“海倫-秦九韶公式”．請你利用公式解答下列問題．（1）在中，已知，，，求的面積；（2）計算（1）中的邊上的高．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)公式求得p=9，然后將AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；（2）根據(jù)三角形面積公式，且已知BC的長和三角形的面積，代入即可求解．【詳解】解：（1），所以，答：的面積是．（2）邊上的高，答：邊的高是．故答案為（1）；（2）．【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，二次根式的乘法運算，屬于新定義題型，重點是掌握題目中給出的公式，代入相應(yīng)值．27．（2022·上海·八年級期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．這樣小明就找到了一種把類似的式子化