專題07導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（五大題型重難點(diǎn)突破）

專題07導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)一：單調(diào)性基礎(chǔ)問題1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．知識(shí)點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【解題方法總結(jié)】1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性．注：①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的．例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù)．②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立．因?yàn)?，即或，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立．這說明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減．重難點(diǎn)題型一：求單調(diào)區(qū)間例1、（2122高三上·廣東珠?！て谀┖瘮?shù)的遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】，由，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，故選：C例2、（2324高二下·江蘇·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】（或）【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為（或）.故答案為：（或）例3、（2223高二下·河南省直轄縣級(jí)單位·期末）的單調(diào)增區(qū)間為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解．【詳解】函數(shù)定義域是，由已知，由得，所以遞增區(qū)間為.故答案為：．變式訓(xùn)練1、（2223高二下·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）設(shè)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．和【答案】D【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系即可得.【詳解】由，得，令，得或，，的變化情況如下表所示.單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和.故選：D.變式訓(xùn)練2、（2223高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)，則其單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的定義域和導(dǎo)數(shù)，解不等式結(jié)合定義域即可求解.【詳解】由，函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)，令，得或（舍去）,所以單調(diào)增區(qū)間是故選：D.變式訓(xùn)練3、（2223高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【分析】求導(dǎo)函數(shù)并由求自變量范圍，即可得單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由題設(shè)，令，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：重難點(diǎn)題型二：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像例4、（2122高二下·安徽安慶·階段練習(xí)）設(shè)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是.【答案】【分析】根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)系，分類討論求解即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，即，綜上的解集為故答案為：例5、（2324高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用的圖象分析的正負(fù)情況，從而分類討論即可得解.【詳解】由圖象可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而等價(jià)于①，或②，由①得或，則，由②得，則，綜上，.故選：B.例6、（2324高二上·山西長治·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么該函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)知識(shí)從而得到的圖像，從而求解.【詳解】由題意知與軸有三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，當(dāng)，，當(dāng)，,當(dāng)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間，單調(diào)遞減，故A、C錯(cuò)誤；在區(qū)間,單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤，故D正確.故選：D.變式訓(xùn)練4、（2324高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖所示為函數(shù)的圖象，則不等式的解集為．【答案】【分析】由函數(shù)圖象的單調(diào)性可得其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可解出該不等式.【詳解】由的圖象可得在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x∈時(shí)，，因?yàn)椋曰?，即或或，解得或，所以原不等式的解集為．故答案為?變式訓(xùn)練5、（2324高三上·遼寧撫順·開學(xué)考試）如圖為函數(shù)的圖象，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系及符號(hào)法則解不等式即可.【詳解】由題可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，所以時(shí)，，時(shí)，，由，可得或，所以.故選：D.變式訓(xùn)練6、（2223高二下·四川樂山·期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，即可求得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于或，故不等式的解集為，故選：A重難點(diǎn)題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍例7、（1718高二下·遼寧沈陽·期中）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)小于零，求出函數(shù)的減區(qū)間，由題意得到關(guān)于的不等式組，求解得答案．【詳解】由（），得，由，得，解得，所以的減區(qū)間為因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D例8、（2324高三上·山西晉中·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上恒成立，則在上恒成立，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得最值，即可得的取值范圍.【詳解】若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立；又函數(shù)在上遞減，所以恒成立，則故的取值范圍是.故選：D.例9、（2223高三上·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）已知，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由，得，再由，得，由，得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，可比較出的大小，從而可得答案.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，所以，所以﹔因?yàn)?，所以，令（），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，所以，所以：設(shè)設(shè)在上，，遞減，所以所以，遞增，所以，即所以綜上：故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解題的關(guān)鍵是根據(jù)合理構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.變式訓(xùn)練7、（2223高二下·廣西南寧·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：D．變式訓(xùn)練8、（2324高三上·上海靜安·期中）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】求導(dǎo)，即或恒成立，分類討論即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則在上有或恒成立，當(dāng)時(shí)，即，則，當(dāng)時(shí)，即，則，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：變式訓(xùn)練9、（1920高二下·寧夏·期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，分離參數(shù)求出最值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】在上恒成立，即在上恒成立，在上單調(diào)遞增，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性中的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．變式訓(xùn)練10、（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出、、，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，令，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個(gè)：（1）判斷各個(gè)數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.重難點(diǎn)題型四：不含參數(shù)單調(diào)性問題例10、（2122高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單增區(qū)間為，(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解可得增區(qū)間；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，由在上恒成立可得參數(shù)范圍．【詳解】（1）由題可知：，當(dāng)時(shí)，，由得：或，故的單增區(qū)間為，.（2）由（1）可知，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，結(jié)合，從而，即對(duì)恒成立，于是.例11、（2021·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令，分析導(dǎo)數(shù)在零點(diǎn)分割定義域所得區(qū)間上的符號(hào)，即可的出函數(shù)的單調(diào)性；（2）原函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值，即可討論出答案.【詳解】（1），因?yàn)椋缘牧泓c(diǎn)為0和1.令，得；令，得或.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）知，在上的極大值為，極小值為，因?yàn)椋?，所?，由，得.當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為在上根的個(gè)數(shù)，需要結(jié)合函數(shù)的極值，討論的范圍得出方程根的個(gè)數(shù)，屬于中檔題.變式訓(xùn)練11、（2223高三上·北京海淀·期中）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的取值范圍是，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)即可確定的單調(diào)區(qū)間；（2）分別令，可求得的臨界值，分別在、和的情況下，根據(jù)值域確定滿足題意的范圍.【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由得；，解得：或；由得：或；；①當(dāng)時(shí)，，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，即值域?yàn)?，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.變式訓(xùn)練12、（1819高二·全國·單元測(cè)試）已知函數(shù)（為自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】(1)遞減區(qū)間是和，遞增區(qū)間是；(2).【分析】(1)當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出導(dǎo)數(shù)值大于0及小于0的x取值區(qū)間即可得解；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由給定條件轉(zhuǎn)化成恒成立的不等式即可求解作答.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，解得或，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是；(2)依題意，，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，令，，顯然在上單調(diào)遞增，于是得時(shí)，，則，所以的取值范圍是.重難點(diǎn)題型五：含參數(shù)單調(diào)性問題例12、（2324高三上·江蘇淮安·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求得，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，從而求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．①?dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，要證明，只要證，即證，設(shè)，則，令得，列表得a10單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，即，所以．例13、（2223高二上·重慶沙坪壩·期末）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先求出導(dǎo)數(shù)，分，，討論單調(diào)性.(2)根據(jù)第（1）問，分，，討論在的單調(diào)性，求【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上：時(shí)在上單調(diào)遞增.時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）若在區(qū)間上有解，即求當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為不成立，故不滿足題意.當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以成立，滿足題意.時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以不成立，舍去時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以綜上的取值范圍為：例14．（2122高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意的，都有成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出，分別討論不同范圍下的正負(fù)，分別求單調(diào)性；（2）對(duì)任意的，都有成立，只需任意的，，然后，結(jié)合（1）的單調(diào)性求出即可求解【詳解】（1）該函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的遞增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）對(duì)任意的，都有成立，只需任意的，，①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，所以只需，而，所以滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，所以只需，而，所以滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以只需即可，而，從而不滿足題意；綜上①②③可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為．變式訓(xùn)練13、（2122高三上·河南許昌·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求的導(dǎo)函數(shù)，討論參數(shù)判斷的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)性；（2）由題設(shè)可知在上恒成立，構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可求的取值范圍.【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，由得；由得.當(dāng)時(shí)，令，令得，.當(dāng)時(shí)，由得；由得.當(dāng)，即時(shí)，由得；由得.當(dāng)，即時(shí)，恒成立.當(dāng)，即時(shí)，由得，由得.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，故在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，則，，則，在上單調(diào)遞減，則，，則在上單調(diào)遞減，有，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求值域，進(jìn)而確定參數(shù)范圍.變式訓(xùn)練14、（2021高二上·陜西寶雞·期末）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）．【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的解得增區(qū)間，同時(shí)可由得減區(qū)間；（2）由（1）得的最小值為，解不等式可得．【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋深}意，當(dāng)時(shí)，在時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為，的解為，在上遞增，在上遞減．（2）由（1）知時(shí)，在上遞增，在上遞減．所以，恒成立，則，即，由于時(shí)，，不等式不成立，所以，解得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究不等式恒成立問題．一般地恒成立等價(jià)于，恒成立，等價(jià)于，然后解不等式可得參數(shù)范圍．或者用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為（其中不參數(shù)），則，若，則．變式訓(xùn)練15、（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性.(2)函數(shù)在上是否存在兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）含有參數(shù)的單調(diào)性討論問題，先求導(dǎo)，再分解因式，討論根的大小問題；（2）由單調(diào)性討論零點(diǎn)的存在與大小即可.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所?所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，由，解得；由0，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）恒成立，所以在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，由，解得；由，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)時(shí)，，顯然與矛盾，所以當(dāng)時(shí)，最多只有一個(gè)零點(diǎn).綜上，對(duì)于，函數(shù)在上不存在兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論思想，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).1．（1920高二下·浙江寧波·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，令求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先計(jì)算出,由存在單調(diào)遞減區(qū)間知在上有解即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且其?dǎo)數(shù)為．由存在單調(diào)遞減區(qū)間知在上有解，即有解．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．故選:B．3．（2223高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上是減函數(shù)B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù)D．在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象，即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)A：由導(dǎo)函數(shù)的圖象知在區(qū)間上，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A項(xiàng)正確；對(duì)B、D：在區(qū)間，上分別有大于零和小于零的部分，故在區(qū)間，上不單調(diào)，