8.3 分布列（精講）（教師版）

8.3分布列（精講）一.相互獨(dú)立事件1.事件相互獨(dú)立：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B是否發(fā)生互不影響，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，當(dāng)對(duì)于n個(gè)事件A1，A2，…，An，如果其中任意一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立；2.獨(dú)立事件的概率公式①若事件A，B相互獨(dú)立，則P（AB）＝P（A）P（B）；②若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.二.條件概率1.概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）＞0，我們稱P（B｜A）＝P(AB)P(2.兩個(gè)公式及三個(gè)性質(zhì)①利用古典概型：P（B｜A）＝n(②利用概率的乘法公式：P（AB）＝P（A）P（B｜A）；三.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P（B）＝∑i=1nP（Ai）P（B｜四.兩點(diǎn)分布（或0－1分布）如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1－pp其中0＜p＜1，則稱離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布.其中p＝P（X＝1）稱為成功概率.五.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝CMkCN-Mn-kC其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.六.伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1.伯努利試驗(yàn)：只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)；2.二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（n，p）.對(duì)于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.七.正態(tài)分布若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正態(tài)密度函數(shù)為f（x）＝1σ2πe-(x-（1）正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值1σ④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.（2）正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.八.離散型隨機(jī)變量的分布列1.對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X（ω）與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量；2.一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個(gè)值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.Xx1x2…xnPp1p2…pn離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用如上表格表示.且具有如下性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.3.均值一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝∑i=1nxipi4.方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則（xi－E（X））2描述了xi（i＝1，2，…，n）相對(duì)于均值E（X）的偏離程度.而D（X）＝∑i=1n（xi－E（X））2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E（X）的平均偏離程度.稱D（X）為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var（X），并稱D(X)為隨機(jī)變量X一．超幾何分布概率模型的特征（1）實(shí)際問(wèn)題所描述的事件只包含兩個(gè)結(jié)果（發(fā)生與不發(fā)生），每進(jìn)行一次上述抽取都不是原來(lái)的重復(fù)（再次抽取時(shí)，都與上次條件發(fā)生了變化）；（2）每次抽取中同一事件發(fā)生的概率都不同；（3）實(shí)際問(wèn)題中隨機(jī)變量為抽到某類個(gè)體的個(gè)數(shù)；（4）該問(wèn)題屬于不放回抽取問(wèn)題.二．二項(xiàng)分布概率模型的特征（1）在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生；（2）各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；（3）在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率都保持不變.三．條件概率（1）利用定義，分別求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝P(（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，即n（AB），得P（B｜A）＝n(四．全概率公式求概率（1）按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；（2）求P（Ai）和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）；（3）代入全概率公式計(jì)算.五．?dāng)?shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）.2.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.3.若X1，X2相互獨(dú)立，則E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.4.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，M，N的超幾何分布，則E（X）＝nMN，D（X）＝nMN1?考點(diǎn)一分布列及其性質(zhì)【例1-1】（2023春·山東濱州）已知隨機(jī)變量X的分布列如下所示，則（

）X024PmA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由題意得，解得，所以，故選：B【例1-2】（2023秋·河南）已知樣本數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為16，方差為9，則另一組數(shù)據(jù)，，，，，，12的方差為（

）．A． B． C． D．7【答案】C【解析】設(shè)數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，方差為，由，，得，，則，，，，，，12的平均數(shù)為，方差為．故選：C【一隅三反】1．（2023春·云南保山）設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為則等于（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】依題意，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)可知，符合題意.故選：C2．（2022春·河南南陽(yáng)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（

）012340.360.20.1A．0.14 B．0.24 C．0.34 D．0.44【答案】B【解析】依題意，，解得（負(fù)根舍去），所以.故選：B3．（2023吉林）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列為789100.10.3已知的均值，則的值分別為()A．0.2,0.3 B．0.3,0.4C．0.2,0.4 D．0.4,0.2【答案】C【解析】由題意得，故選C.4．（2023春·黑龍江七臺(tái)河）隨機(jī)變量的分布列如下表，其中，且，246則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由概率的性質(zhì)可得，由得則，故選：A考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件【例2-1】（2023春·陜西渭南·高二校考期中）在某段時(shí)間內(nèi)，甲地不下雨的概率為0.3，乙地不下雨的概率為0.4，假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否下雨相互無(wú)影響，則這段時(shí)間內(nèi)兩地都下雨的概率是（

）A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42【答案】D【解析】由題設(shè)，甲地下雨的概率為，乙地下雨的概率為，所以這段時(shí)間內(nèi)兩地都下雨的概率是.故選：D【例2-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱）已知事件，且，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則，B．若A與B互斥，則，C．若A與B相互獨(dú)立，則，D．若A與B相互獨(dú)立，則，【答案】D【解析】因?yàn)椋?，?duì)于A，如果，則，，那么，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果A與互斥，那么，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，如果A與相互獨(dú)立，那么，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.【例2-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱）某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪，否則被淘汰．已知甲選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為，，，乙選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為，，，且兩位選手各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響．(1)求乙選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；(2)求至多有一名選手通過(guò)全部考核的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)事件表示“乙選手能正確回答第輪問(wèn)題”，所以，設(shè)事件表示“乙選手進(jìn)入第三輪才被淘汰”，即甲選手第一、二輪的問(wèn)題回答正確，而第三輪的問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則.（2）設(shè)事件表示“甲選手能正確回答第輪問(wèn)題”，所以，設(shè)表示“甲選手通過(guò)全部考核”，則．設(shè)表示“乙選手通過(guò)全部考核”，則．則至多有一名選手通過(guò)全部考核的概率為.【一隅三反】1（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x）紅、黃、藍(lán)被稱為三原色，選取其中任意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色，已知同一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色；等量的紅色加藍(lán)色調(diào)配出紫色；等量的黃色加藍(lán)色調(diào)配出綠色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)顏料各兩瓶，甲從六瓶顏料中任取兩瓶，乙再?gòu)挠嘞滤钠款伭现腥稳善?，兩人分別進(jìn)行等量調(diào)配，表示事件“甲調(diào)配出紅色”；表示事件“甲調(diào)配出綠色”；表示事件“乙調(diào)配出紫色”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件與事件是獨(dú)立事件 B．事件與事件是互斥事件C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A，調(diào)配出紅色需要兩瓶紅色顏料，調(diào)配出紫色需要一瓶紅色和一瓶藍(lán)色顏料，，又，，，事件與事件不是獨(dú)立事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，調(diào)配出紅色需要兩瓶紅色顏料，調(diào)配出綠色需要一瓶黃色和一瓶藍(lán)色顏料，事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，事件與事件為互斥事件，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，由A知：，，D正確.故選：BCD.2．（2023秋·吉林長(zhǎng)春）甲、乙、丙三人參加一次考試，他們合格的概率分別為，那么三人中恰有兩人合格的概率是．【答案】【解析】甲乙合格的概率為，甲丙合格的概率為，乙丙合格的概率為，故三人中恰有兩人合格的概率為.故答案為：3．（2023秋·湖北）插花是一種高雅的審美藝術(shù)，是表現(xiàn)植物自然美的一種造型藝術(shù)，與建筑、盆景等藝術(shù)形式相似，是最優(yōu)美的空間造型藝術(shù)之一。為了通過(guò)插花藝術(shù)激發(fā)學(xué)生對(duì)美的追求，某校舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插花比賽。比賽按照百分制的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師以及20名學(xué)生會(huì)代表組成，各參賽小組的最后得分為評(píng)委所打分?jǐn)?shù)的平均分.比賽結(jié)束后，得到甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，如下所示：

分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)151214431定義評(píng)委對(duì)插花作品的“觀賞值”如下所示：分?jǐn)?shù)區(qū)間觀賞值123(1)估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(2)若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出1個(gè)用于展覽，從這兩組插花作品的最后得分來(lái)看該校會(huì)選哪一組，請(qǐng)說(shuō)明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)從40名評(píng)委中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率.【答案】(1)85.82(2)選擇甲組，理由見(jiàn)解析(3)0.225【解析】（1）設(shè)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可得甲組得分在前三個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的頻率之和為0.3，在最后三個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的頻率之和為0.26，故，所以，解得.即估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為85.82（2）由頻率分布直方圖可知，甲組插花作品的最后得分約為由乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，得下表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)頻率10.02550.125120.300140.35040.10030.07510.025所以乙組插花作品的最后得分約為.因?yàn)椋栽撔?huì)選擇甲組插花作品用于展覽（3）設(shè)“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’比對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’高”為事件，“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’為2”為事件，“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’為3”為事件，“對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’為1”為事件，“對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’為2”為事件，則.，，由頻數(shù)分布表得，，.因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，其中，，所以，所以估計(jì)該評(píng)委對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率為0.225考點(diǎn)三條件概率【例3-1】（2023春·廣東東莞·）甲、乙兩位游客慕名來(lái)到江城武漢旅游，準(zhǔn)備分別從黃鶴樓、東湖、曇華林和歡樂(lè)谷4個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件A：甲和乙至少一人選擇黃鶴樓，事件：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)事件M：甲選擇黃鶴樓，事件N：乙選擇黃鶴樓，可知，因?yàn)槭录杭缀鸵揖鶝](méi)有選擇黃鶴樓，可得，所以，又因?yàn)槭录杭缀鸵抑辽僖蝗诉x擇黃鶴樓，且甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，自然，所以.故選：A.【一隅三反】1．（2023湖南）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】故選：B.2．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）用五個(gè)數(shù)字排成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，設(shè)事件{數(shù)字在的左邊}，事件{與相鄰}，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.故選：D.3．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）一個(gè)不透明的袋中裝有4個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機(jī)抽取3個(gè)球，事件A：“這3個(gè)球的顏色各不相同”，事件B：“這3個(gè)球中至少有1個(gè)黑球”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，，所以.故選：D.4．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）2023年7月28日晚，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都盛大開幕.為宣傳成都大運(yùn)會(huì)，某大學(xué)團(tuán)委開展了“陽(yáng)光燦爛

青春與共”大運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，各班以團(tuán)支部為單位參加比賽，某班團(tuán)支部在6道題中（包含4道圖片題和2道視頻題），依次不放回地隨機(jī)抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到圖片題”，事件為“第2次抽到視頻題”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，故，事件表示兩次均抽到視頻題，故，由條件概率求解公式可得.故選：C考點(diǎn)四超幾何分布【例4】（2022秋·廣東云浮·高三?？茧A段練習(xí)）年7月日第屆全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行．為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛谥林g，將數(shù)據(jù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；(2)在這名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?，，的三組中抽取了人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析；【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得，設(shè)中位數(shù)為，，解得．（2），，三組的頻率之比為，從，，中分別抽取7人，3人，1人，則可取，，，，，故的分布列為：0123故．【一隅三反】1．（2023春·北大附中?？计谥校┫卤頌槟嘲鄬W(xué)生理科綜合能力測(cè)試成績(jī)（百分制）的頻率分布表，已知在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為21.`分?jǐn)?shù)段頻率0.10.150.20.20.150.1*(1)求測(cè)試成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)；(2)現(xiàn)欲從分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出2人參加物理興趣小組，若其中至少有一名男生的概率為，求分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生的人數(shù)；(3)若在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生為4人，現(xiàn)欲從分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出3人參加培優(yōu)小組，為分配到此組的3名學(xué)生中男生的人數(shù)．求的分布列及期望【答案】(1)6(2)2(3)分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）某班學(xué)生共有人，因?yàn)?，所以，所以測(cè)試成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為人.（2）由（1）知在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生有6人，設(shè)男生有人，若抽出2人至少有一名男生的概率為，則，解得，所以在分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生有2人.（3）在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生有人，所以男生有2人，X的取值有，，，，X的分布列為012.2．（2023春·河北）甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6道試題，乙能答對(duì)其中的8道試題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題得0分．求：(1)甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布；(2)乙所得分?jǐn)?shù)的概率分布．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）由題意，甲能答對(duì)10道試題中的6題，且為甲答對(duì)隨機(jī)抽出的3題的試題數(shù)，則隨機(jī)變量可能取的值為，，，．所以，，，，隨機(jī)變量的分布列為0123（2）由題意隨機(jī)變量可能取的值為，，，所以，，，的分布列為：510153．（2023春·甘肅定西）為推動(dòng)網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某網(wǎng)球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員名，其中種子選手名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員名，其中種子選手名．從這名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇人參加比賽．(1)設(shè)事件為“選出的人中恰有名種子選手，且這名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件發(fā)生的概率；(2)設(shè)為選出的人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及均值．【答案】(1)(2)分布列答案見(jiàn)解析，【解析】（1）解：由題意可得.（2）解：由題意可知，人中，種子選手共人，非種子選手共人，從這人中隨機(jī)抽取人，其中種子選手的人數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值有、、、、，則，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：因此，.考點(diǎn)五二項(xiàng)分布【例5】（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）某公司使用甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片，已知每天甲機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的六成，且合格率為；乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的四成，且合格率為，已知兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片的質(zhì)量互不影響.現(xiàn)對(duì)某天生產(chǎn)的芯片進(jìn)行抽樣.(1)從所有芯片中任意抽取一個(gè)，求該芯片是不合格品的概率；(2)現(xiàn)采用有放回的方法隨機(jī)抽取3個(gè)芯片，記其中由乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片的數(shù)量為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)0.056(2)分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）記事件表示芯片來(lái)自甲機(jī)器生產(chǎn)，事件表示芯片來(lái)自乙機(jī)器生產(chǎn)，事件表示取到的是合格品；則.（2）由題意得，，故，所以的分布列為0123故.【一隅三反】1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）第四屆應(yīng)急管理普法知識(shí)競(jìng)賽線上啟動(dòng)儀式在3月21日上午舉行，為普及應(yīng)急管理知識(shí)，某高校開展了“應(yīng)急管理普法知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名，統(tǒng)計(jì)他們的成績(jī)（滿分100分），其中成績(jī)不低于80分的學(xué)生被評(píng)為“普法王者”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)若該校參賽人數(shù)達(dá)20000人，請(qǐng)估計(jì)其中有多少名“普法王者”；(2)隨機(jī)從該高校參加競(jìng)賽的學(xué)生中抽取3名學(xué)生，記其中“普法王者”人數(shù)為，用頻率估計(jì)概率，請(qǐng)你寫出的分布列.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，，解得，成績(jī)不低于80分的學(xué)生被評(píng)為“普法王者”，則“普法王者”的頻率為，則該校參賽人數(shù)達(dá)20000人中“普法王者”人數(shù)為.（2）隨機(jī)從該高校參加競(jìng)賽的學(xué)生中抽取3名學(xué)生，記其中“普法王者”人數(shù)為，則的取值為0，1，2，3，由（1）知，從中任取一人是“普法王者”的概率為，不是“普法王者”的概率為，則，，，；故的分布列為：01232．（2022秋·陜西渭南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）為了監(jiān)控某一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率；(2)若將頻率視為概率，從該條生產(chǎn)線的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，記這2件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列詳見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】（1）產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率為：.（2）依題意，，且，所以，，，所以的分布列為：且.3．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）西梅以“梅”為名，實(shí)際上不是梅子，而是李子，中文正規(guī)名叫“歐洲李”，素有“奇跡水果”的美譽(yù).因此，每批西梅進(jìn)入市場(chǎng)之前，會(huì)對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10箱西梅，其中有4箱測(cè)定為一等品.(1)現(xiàn)從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；(2)以這10箱的檢測(cè)結(jié)果來(lái)估計(jì)這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機(jī)抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）設(shè)抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品為事件，則；因此，從這10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率為.（2）由題意可知，從這10箱中隨機(jī)抽取1箱恰好是一等品的概率，由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123P.考點(diǎn)六正態(tài)分布【例6-1】（2023春·山東濱州）某班級(jí)有50名學(xué)生，期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，則數(shù)學(xué)成績(jī)及格（90分以上）的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．30 B．35 C．40 D．45【答案】C【解析】考試數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，對(duì)稱性可知，，則，則數(shù)學(xué)成績(jī)及格（90分以上）的學(xué)生人數(shù)約為．故選:C．【例6-2】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布分布曲線的對(duì)稱軸為直線，則，，，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故選：D.【例6-3】（2023·山東）第22屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在我國(guó)杭州舉行．為了讓中學(xué)生了解亞運(yùn)會(huì)，某市舉辦了一次亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到頻率分布表（見(jiàn)表）．分組（百分制）頻數(shù)頻率100.1200.2300.3250.25150.15合計(jì)1001(1)由頻率分布表可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)X服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且．利用該正態(tài)分布，求；(2)預(yù)賽成績(jī)不低于80分的學(xué)生將參加復(fù)賽，現(xiàn)用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率．從該市參加預(yù)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為Y，求Y的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，；．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）由題意知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值為：，又由，，．（2）由題意，抽取2人進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)，．的概率分布列為012的數(shù)學(xué)期望為．【一隅三反】1．（2023春·課時(shí)練習(xí)）已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間和內(nèi)取值的概率約為68.3%，95.4%和99.7%.若某校高一年級(jí)1000名學(xué)生的某次考試成績(jī)X服從正態(tài)分布，則此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有（

）A．997人 B．972人C．954人 D．683人【答案】C【解析】依題意可知,,故,，故此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有人．故選：C2．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“青春向黨百年路，奮進(jìn)學(xué)習(xí)二十大”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷的成績(jī)（卷面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示．(1)用樣本估計(jì)總體，求此次知識(shí)競(jìng)賽的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．(2)可以認(rèn)為這次競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布N，2（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為、的近似值），已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差s7.36，如有84%的學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)高于學(xué)校期望的平均分，則學(xué)校期望的平均分約為多少？（結(jié)果取整數(shù)）(3)從得分區(qū)間80，90和90，100的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再?gòu)倪@10份樣本中隨機(jī)抽測(cè)3份試卷，若已知抽測(cè)的3份試卷來(lái)自于不同區(qū)間，求抽測(cè)3份試卷有2份來(lái)自區(qū)間80，90的概率．參考數(shù)據(jù)：若X~N，2

，則PX0.68，P2X20.95，P3X30.99.【答案】(1)(2)73(3)【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，平均分；（2）