專題2.1 不等式的性質(zhì)（解析版）

專題2.1不等式的性質(zhì)題型一不等式性質(zhì)的應用題型二比較兩個數(shù)（式）的大小題型三比較法證明不等式題型四求目標式的取值范圍題型五不等式的綜合應用題型一 不等式性質(zhì)的應用例1．（海南省2022屆高三高考全真模擬卷（三）數(shù)學試題）（多選）如果，那么下列不等式錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項；利用特殊值法可判斷BCD選項.【詳解】因為，所以，所以，故A項正確；取，，則，則，故B項錯誤；取，，則，故C項錯誤；取，，，則，故D項錯誤．故選：BCD．例2．（2023秋·廣東湛江·高三雷州市第一中學校考期末）（多選）已知實數(shù)，，滿足，，那么下列選項中錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由已知可得，然后利用不等式的性質(zhì)逐個分析判斷即可.【詳解】因為實數(shù)，，滿足，，所以，.對于A：因為，所以，因為，所以，所以A錯誤；對于B，若，則，因為，所以，所以B錯誤；對于C，因為，，所以，所以C正確；對于D，因為，所以，因為，所以，所以D錯誤.故選：ABD練習1．（2021秋·福建泉州·高三?？计谥校┤?，一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】若，則，故A正確；當時，，故BC錯誤；當時，，故C錯誤.故選：A.練習2．（2022秋·安徽合肥·高三?？计谀┫铝忻}為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)排除選項A；取計算驗證，排除選項C，D得到答案.【詳解】對于A，若，則，當時不成立，故A錯誤；對于B，若，所以，則，故B正確；對于C，若，則，取，計算知不成立，故C錯誤；對于D，若，則，取，計算知不成立，故D錯誤.故選：B.練習3．（2023秋·廣東梅州·高三統(tǒng)考期末）（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值判斷.【詳解】A.取特殊值，，，顯然不滿足結(jié)論；B.由可知，，由不等式性質(zhì)可得，結(jié)論正確；C.由同向不等式的性質(zhì)知，，可推出，結(jié)論正確；D.取，滿足條件，顯然不成立，結(jié)論錯誤.故選：BC.練習4．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預測）（多選）已知，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及特練習，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，當時，可得，此時，所以不等式不一定成立，符合題意；對于B中，因為，可得，又由，所以一定成立，不符合題意；對于C中，當時，可得，此時，所以不一定成立，符合題意；對于D中，由，因為，可得，當?shù)姆柌淮_定，所以不一定成立，符合題意.故選：ACD.練習5．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）能夠說明“設是任意實數(shù)，若，則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為__________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，討論的正負和三種情況，得出結(jié)論．【詳解】若，當時，；當時，；當時，；“設是任意實數(shù)，若，則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為，故答案為：（答案不唯一）題型二 比較兩個數(shù)（式）的大小例3．（2022秋·河北石家莊·高一校考期中）（1）設，比較與的大小；（2）已知，，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由題意得，利用作商法即可得出答案；（2）利用不等式的性質(zhì)和作差法，即可證明結(jié)論.【詳解】（1），，，.（2），，又，又，，.例4．（2021春·陜西西安·高二西安中學?？计谥校┰O，則的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將化簡，使分子相同，即可根據(jù)分母大小關(guān)系進行比較；利用作差比較大小關(guān)系即可.【詳解】，，，，.又，故.則.故選：C.練習6．（2023秋·廣東清遠·高三統(tǒng)考期末）“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】做差可判斷充分性，取可判斷必要性可得答案.【詳解】，當時，，所以，可得，所以充分性成立；但當時，即也成立，所以必要性不成立．因此“”是“”的充分不必要條件．故選：B.練習7．（2022秋·廣東江門·高三?？茧A段練習）（多選）若正實數(shù)x，y滿足，則有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論為（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BCD【分析】利用特殊值排除錯誤結(jié)論，利用差比較法、商比較法證明正確結(jié)論.【詳解】依題意，正實數(shù)x，y滿足，，若，則，所以①錯誤.，所以②正確.由于，所以，所以③正確.，所以④正確.故選：BCD練習8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）（多選）已知a，b，，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C． D．【答案】BC【分析】通過舉反練習可判斷A項，通過構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性可判斷B項，運用基本不等式可判斷C項，方法1：通過舉反練習，方法2：作差法可判斷D項.【詳解】對于A項，練習如，，，滿足，，但不滿足，故A項不成立；對于B項，因為,，，所以冪函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，故B項正確；對于C項，因為，，，所以，當且僅當時等號成立，故C項正確；對于D項，方法1：當，時，，，則，故D項錯誤．方法2：作差法，，因為，，所以，所以，故D項錯誤．故選：BC.練習9．若，求證：．【答案】證明見解析【分析】作商法證明不等式.【詳解】證明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．練習10．（2022·高一課時練習）試比較下列組式子的大?。?1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)通過比較與的大小來確定與的大?。?2)通過作差法來比較的大??；(3)通過作差法或作商法比較與的大小.（1）解：，，因為，所以，即；（2）解：．因為，，所以，，所以，即；（3）方法一（作差法）．因為，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因為，所以，，，所以，所以．題型三 比較法證明不等式例5．（2022秋·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考階段練習）已知為三角形的三邊長，求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用作差法，變形并判斷符號作答.（2）利用三角形兩邊的和大于第三邊的性質(zhì)，結(jié)合不等式性質(zhì)推理作答.【詳解】（1）為三角形的三邊長，而，顯然，即，當且僅當時取等號，因此，所以.（2）為三角形的三邊長，則，于是得：，所以.例6．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中）證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）作差后，根據(jù)條件結(jié)合不等式的性質(zhì)證明；（2）先用作差法證明，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可得到.【詳解】（1）證明：，因為，，所以，，又bd＞0，所以，，即.（2）證明：因為a＞b＞c＞0，所以有，，，，則，，即有，成立；因為，，所以，，又，所以，成立.所以，有.練習11．（1）設，，．試比較P與Q的大?。?）已知，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）直接作差化簡得，則；（2）利用不等式的性質(zhì)與推論或者直接作差通分有，再進行符號分析即可得到答案.【詳解】（1）解：∵，∴，∴．（2）方法一

證明：∵，∴，∴又，∴．方法二

證明：∵，，∴，∴又，∴，∴，即.練習12．（2022秋·甘肅金昌·高三永昌縣第一高級中學?？茧A段練習）已知，，求證：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，再根據(jù)證明即可.【詳解】，.，，即.，，，即.練習13．（2022秋·河南平頂山·高二葉縣高級中學校考階段練習）已知三個不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均為實數(shù)），命題p：__________，____________________（橫線上填①，②，③）．請寫出2種可能的命題，并判斷其真假．【答案】答案見解析【分析】依題意可得①，②③；①，③②；②，③①根據(jù)不等式的性質(zhì)及作差法證明即可；【詳解】解：命題1：①，②③．若①，②成立，即，，不等式兩邊同除以可得，即命題1為真命題．命題2：①，③②．若①，③成立，即，，不等式兩邊同乘，可得，即命題2為真命題．命題3：②，③①．若③，②成立，即，，則．又，則，即命題3為真命題．（以上三個命題中可以任意選擇兩個命題）練習14．已知都是正數(shù)．求證：“”的充要條件是“”．【答案】證明見解析【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的定義證明即可．【詳解】證明：必要性：若，，，，，即，，，，即，必要性得證；

②充分性：若，，，，，，不等式兩邊同時除以，即得到，充分性得證.

綜上，的充要條件是．練習15．（2022·全國·高一專題練習）（1）已知a，b，c，d均為正數(shù).求證：（2）已知.求證：<的充要條件為x>y【答案】詳見解析.【分析】（1）利用基本不等式即證；（2）利用不等式的性質(zhì)，由，可得<，由<，，可得，即證.【詳解】（1）∵a，b，c，d均為正數(shù)，∴當且僅當時取等號，同理可得，∴，當且僅當時取等號；（2）充分性，因為，，，∴<，必要性，因為<，，所以，綜上，<的充要條件為x>y.題型四 求目標式的取值范圍例7．（2022秋·廣東肇慶·高二?？茧A段練習）已知，且，（1）取值范圍是__________（2）的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】∵，且，∴，，∴；由，可得，又，所以.故答案為：；.例8．（2022秋·高一單元測試）（1）設，，求，，的范圍；（2）已知，求證：.【答案】（1），，；（2）證明見解析.【分析】（1）結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可求解；（2）利用基本不等式的性質(zhì)可知，，，從而可得，再結(jié)合即可得證.【詳解】（1），，，，，，，，.故，，.（2）證明：由，兩邊平方得，根據(jù)基本不等式有，，，當且僅當時等號成立，將上述個不等式相加得，即，所以，整理得，當且僅當時等號成立.練習16．已知，，(1)求的范圍(2)求的范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）由不等式的性質(zhì)求解，【詳解】（1）由，得，則，即的取值范圍為（2）由，得，即的取值范圍為練習17．（2020·北京·高三強基計劃）已知，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】利用不等式的性質(zhì)可求取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，有，其中，因此的取值范圍是,故答案為：.練習18．（2023秋·江西上饒·高三統(tǒng)考期末）若，，則的取值范圍為______.【答案】【分析】運用不等式的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由，而，所以有，因此的取值范圍為，故答案為：練習19．（2022秋·江蘇淮安·高三江蘇省洪澤中學校聯(lián)考期中）若，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】利用不等式的性質(zhì)逐步計算即可.【詳解】因為，所以，則，又因為，所以，故的取值范圍為.故答案為：.練習20．（2022秋·河北石家莊·高三?？茧A段練習）已知實數(shù)、滿足，，則的取值范圍為_____________．【答案】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】因為，，則，，所以，，由不等式的性質(zhì)可得.故答案為：.題型五 不等式的綜合應用例9．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）（多選）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用條件進行指對數(shù)轉(zhuǎn)換，得到，從而有，再對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，則，選項A，，故正確；選項B，因為，且，所以，故B正確；選項C，因為，故C錯誤；選項D，因為，故D正確，故選：ABD．例10．（2023·山東東營·東營市第一中學?？级＃┮阎?，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設，，結(jié)合重要不等式、基本不等式判斷各項的正誤即可.【詳解】由題設，，所以，故A錯；且，而，故B對；，故C錯；，設，則，則在上遞增，所以，故D錯.故選：B.練習21．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預測）的一個充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用舉練習說明，排除AB；利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】A：若，取，則不成立，故A不符題意；B：若，取，則不成立，故B不符題意；C：函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，故C不符題意；D：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由，得；由，得，所以“”是“”的充要條件，故D符合題意.故選：D.練習22．（2023春·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習）（多選）已知等比數(shù)列中，，則下列選項中正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A選項：根據(jù)條件結(jié)合等比數(shù)列的通項公式得到，即可判斷；對于B選項：等比數(shù)列的通項公式結(jié)合基本不等式，即可求解；對于C選項：根據(jù)A選項得到，即可求解；對于D選項：作差得到，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為（），對于A選項：由，得，即，所以A選項正確；對于B選項：，當且僅當，即時，等號成立，所以B選項正確；對于C選項：，當時，，所以C選項錯誤；對于D選項：（），即，則，所以D選項正確；故選：ABD.練習23．（2023春·云南昭通·高三校