2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 第五講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第五講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.根式2.有理數(shù)指數(shù)冪

3.指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是底數(shù).[注意]形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù).底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域為R，值域為(0，＋∞)圖象過定點(0，1)4.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象與性質(zhì)底數(shù)a>10<a<1性質(zhì)當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1在定義域R上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)(續(xù)表)

【名師點睛】(1)指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較 如圖2-5-1是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)的圖象越高，底數(shù)越大.圖2-5-1

(2)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a＞1與0＜a＜1來研究.考點一指數(shù)冪的運算答案：B2.對下列式子化簡求值.【題后反思】(1)指數(shù)冪的運算首先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；②運算的先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母，又含有負(fù)指數(shù).

考點二指數(shù)函數(shù)的圖象[例1](1)(多選題)若函數(shù)y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則下列選項中正確的有()A.a>1C.b>0

B.0<a<1D.b<0

解析：因為函數(shù)y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以其大致圖象如圖2-5-2所示.由圖象可知函數(shù)為增函數(shù)，所以a>1，當(dāng)x＝0時，y＝1＋b－1＝b<0.故選AD.圖2-5-2答案：AD(2)若函數(shù)y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍為________.解析：作出曲線y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b，如圖2-5-3所示.由圖象可得b的取值范圍是(0，1).圖2-5-3答案：(0，1)【題后反思】

(1)對于指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到指數(shù)型函數(shù)的圖象.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)分類討論. (2)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.【變式訓(xùn)練】1.(多選題)(2023年淄博市校級期末)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，實)數(shù)a，b滿足f(a)＝f(b)(a＜b)，則( A.2a＋2b＞2 B.?a，b∈R，使得0＜a＋b＜1 C.2a＋2b＝2 D.a＋b＜0解析：畫出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖D4所示，

圖D4由圖知1－2a＝2b－1，則2a＋2b＝2，故A錯誤，C正確；所以2a＋b＜1，則a＋b＜0，故B錯誤，D正確.故選CD.答案：CD

2.函數(shù)y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是________.答案：(0，1)考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考向1利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

通性通法：比較指數(shù)式的大小時，能化成同底數(shù)的，先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小；不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.A.b<a<cC.b<c<a

B.a<b<cD.c<a<b(0，＋∞)上單調(diào)遞增，得a<c.由y＝2x

在R上單調(diào)遞增，得b<a，故b<a<c.故選A.答案：A)f(b)，f(c)的大小關(guān)系為( A.f(b)<f(a)<f(c) C.f(c)<f(a)<f(b)

B.f(c)<f(b)<f(a)D.f(b)<f(c)<f(a)答案：B考向2與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

通性通法：求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的問題時，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.[例3](1)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù)).若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是________.答案：(－∞，4](2)函數(shù)f(x)＝4x－2x+1的單調(diào)增區(qū)間是________.

解析：f(x)＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，設(shè)t＝2x，其在R上單調(diào)遞增，y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴2x≥1，∴x≥0.答案：[0，＋∞)考向3函數(shù)的最值問題通性通法：對可化為a2x＋b·ax＋c＝0形式的方程或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的不等式，常借助換元法解題，但應(yīng)注意換元后“新元”的取值范圍.

[例4]設(shè)函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[－1，1]上的最大值是14，則a的值為________.【考法全練】1.(考向1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則(

)A.a＞b＞cC.c＞a＞b

B.a＞c＞bD.b＞c＞a

解析：由0.2＜0.6，0.4＜1，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝0.4x

在R上單調(diào)遞減，可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b，所以a＞b＞c.故選A.

答案：AA.(－∞，4)B.(0，＋∞)C.(0，4]D.[4，＋∞)答案：C⊙指數(shù)運算的實際應(yīng)用

[例5]實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，“鵲橋”沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2

點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定答案：D

【反思感悟】高考題只是把物理競賽題中個別背景與條件進(jìn)行變更，難度相似.與傳統(tǒng)的解方程問題相比，本題以學(xué)生熟悉的“嫦娥四號”為背景，看起來是物理問題，實則考查數(shù)學(xué)中的解方程、求近似值的內(nèi)容.讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)和物理不分家，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，空間想象能力，以及運算求解能力，很好地考查了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

【高分訓(xùn)練】

(2023年佛山市期末)在某個時期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增長率呈指數(shù)增長，已知經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍，那么經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的()A.18倍B.24倍C.36倍D.48倍

解析：某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增