高考真題中的電磁感應含容問題綜述

本文探討的電磁感應含容問題指導體棒切割磁感線時有電容器連接在電路中的相關(guān)問題.此類問題,在高考歷史長河中,長期是低頻考點.主要原因是這一問題難度較大.國內(nèi)該類問題的淵源首推十二屆全國中學生物理競賽預賽的第6題和第一屆上海物理競賽第21題.2007年天津的高考真題出現(xiàn)了此類問題,但模型相對簡單.然后江蘇卷和全國卷分別以定性和定量方式考查了此類問題,正式拉開此類問題“人駐”高考真題的序幕,隨著時間推移,最近幾年各省市真題中頻現(xiàn)該類問題,從時間線的分布來看,有“愈演愈烈”的趨勢.具體演化歷程如表1.?高考命題研究?高考真題中的電磁感應含容問題綜述李鑫(浙江省桐鄉(xiāng)第一中學,浙江嘉興314500)摘要:文章綜述了高考真題中電磁感應含容問題,按照歷史脈絡梳理了此類問題的演化歷程.然后按照導體棒是否受除安培力以外的力作用進行分類探討,分析了忽略回路電阻與否對導體棒運動特性的影響,對比解構(gòu)兩種模型下命題的著重點和變形特征.關(guān)鍵詞:電磁感應;電容器;科學推理;深度學習;科學命題表1各地試題中電磁感應含容問題演化歷程題目出處示意圖導體棒運動特點問題類型1995年預賽勻加速運動若要使圓盤在磁場中下落的加速度比沒有磁場時減小千分之一(不計空氣阻力),試估算所需磁感應強度的數(shù)值有外力1996年上海競賽加速度減小的加速運動(1)導體棒運動的最大速度vmax;(2)電容器極板上的最小電荷量無外力2007年天津勻速運動ab在外力作用下向右勻速運動且與導軌保持良好接觸,在ab運動距離為s的過程中.整個回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q.求(1)ab運動速度v的大小;(2)電容器所帶的電荷量q有外力(但不與導體棒直接串聯(lián)2011年江蘇加速度減小的加速運動分析導體棒運動過程中電容器電荷量、導體棒速度、加速度和電流對時間的函數(shù)圖像無外力2013年全國勻加速運動(1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系;(2)金屬棒的速度大小隨時間變化的關(guān)系有外力1有“外力”模型1.1有“外力”模型為什么要忽略回路電阻不管是1995年預賽還是2013年全國卷抑或2021年的河北卷,都屬于有“外力”模型.而且這3道題還有一個共同特點,就是忽略回路當中的電阻,導體棒受到外力作用難道一定要忽略回路的電阻?例1.(1995年預賽)假想有一水平方向的勻強磁場,磁感應強度B很大.有一半徑為R、厚度為dd?R的金屬圓盤,在此磁場中堅直下落,盤面始終位于堅直平面內(nèi)并與磁場方向平行,如圖1所示.若要使圓盤在磁場中下落的加速度比沒有磁場時減小千分之一(不計空氣阻力),試估算所需磁感應強度的數(shù)值.續(xù)表題目出處示意圖導體棒運動特點問題類型2017年天津加速度減小的加速運動(2)MN剛開始運動時加速度a的大小;(3)MN離開導軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少無外力2018年浙江加速度減小的加速運動(1)棒ab運動到x1=0,2?m時的速度v1;(2)棒ab運動到x2無外力2021年浙江加速度減小的加速運動(4)兩導軌之間連接一個電容為C的電容器,在著陸減速過程中還可以回收部分能量,在其他條件不變的情況下,求船艙勻速運動時的速度大小v'和此時電容器所帶電荷量有外力(但不與導體棒直接串聯(lián)2021年河北勻速運動A.通過金屬棒的電流為2BCv2.tanθ.B.金屬棒到達x0時,電容器極板上的電荷量為BCvx0tanθ,C.金屬棒運動過程中,電容器有外力2022年浙江加速度減小的加速運動(1)求電容器充電完畢后所帶的電荷量Q.哪個極板(M或N)帶正電?(2)求電容器釋放的電荷量ΔQ無外力2022年全國加速度減小的加速運動導體棒電流、運動特性、安培力受力情況和能量分配的定性分析無外力概念說明:導體棒在運動過程中都可能受到安培力作用,本文中的“外力”特指除了安培力以外的力屬盤的密度ρ=圖1示意圖其介電常數(shù)為ε=9×2013年全國卷問題與此題基本相同,建模難度略低,為節(jié)約篇幅故省略,可參看表1內(nèi)容,下同.導體棒和電容器直接串聯(lián),由于忽略了回路的電阻,所以電容器兩端電壓時刻和導體棒電壓相等,對于電容器充電電流為i對于導體棒,有F-解得a=當t=0時a=Fm,當時間足夠長的時候,e的指數(shù)冪就趨近于0,所以加速度就和勻加速運動的情況一樣了.顯然1.3“受外力模型”新的演變例2.(2021年河北)圖2原題示意圖如圖2所示,兩光滑導軌水平放置在堅直向下的勻強磁場中,磁感應強度大小為B.導軌間距最窄處為一狹縫,取狹縫所在處O點為坐標原點.狹縫右側(cè)兩導軌與x軸夾角均為θ,一電容為C的電容器與導軌左端相連.導軌上的金屬棒與x軸垂直,在外力F作用下從O點開始以速度v向右勻速運動,忽略所有電阻.下列說法正確的是(A)通過金屬棒的電流為2BCv(B)金屬棒到達x0時,電容器極板上的電荷量為BCv(C)金屬棒運動過程中,電容器的上極板帶負電.(D)金屬棒運動過程中,外力F做功的功率恒定.評價:此為2021年河北省高考題,也屬于有外力模型,但導體棒卻做勻速直線運動.學生若墨守成規(guī),容易陷人i=dq?di2CBv即電流不變,而有效切割長度均勻增長,導致外力和安培力始終相等.相當于把有恒力作用下導體棒做勻變速運動的場景做了新的演變.當然,還可以讓導體棒的有效長度不變,作用在導體棒上的外力變成變力,這樣導體棒就做變加速直線運動,可以求解的臨界狀態(tài)就更多了.例3.(2021年浙江)如圖3所示,該裝置由船艙、間距為l的平行導軌、產(chǎn)生垂直船艙導軌平面的磁感應強度大小為B的勻強磁場的磁體和“Λ”型剛性線框組成,“Λ”型線框ab邊可沿導軌滑動并接觸良好,船艙、導軌和磁體固定在一起,總質(zhì)OO公從虧·GeoGebra物理代人電流可得F=即a=如果導體棒所受的“外力”為恒力,那么導體棒將做勻加速運動,而且對電容器的充電電流是常量.問題就在于其忽略了回路的電阻,正因為忽略回路電阻,才能有以上的合理推理,因為忽略電阻,回路當中的熱損耗也不計了,也就是說外力做的功都轉(zhuǎn)換成導體棒的動能和電容器儲存的電勢能,接下來從能量觀角度闡述這一問題.由于有恒定外力做功,則系統(tǒng)能量增加量有Fx在忽略回路電阻情況下,Fx變形即v2即導體棒速度位移關(guān)系滿足勻加速運動的關(guān)系,佐證了導體棒確實做勻加速運動.從力與運動視角和能量視角都證實了導體棒受恒力且忽略回路電阻情況下導體棒做勻加速運動,但必須忽略回路電阻么,如果不忽略回路電阻會怎樣?1.2不忽略電阻的情況如果回路當中的電阻不能忽略,導體棒兩端電壓應當是電容器電壓與電阻電壓之和εiFRd結(jié)合初始條件t=0時,電容器極板所帶電荷量為qe求導即為電流,代人動力學方程,即F電阻并聯(lián),求解的僅僅是終態(tài)的結(jié)果,所以導體棒做加速度減小的加速運動最后達到收尾速度,而電容器兩端電壓最終和外電壓相同.2無外力模型2.1一般問題和一般解法不論2011年江蘇卷、2017年天津卷還是2018、2022年浙江卷中,都屬于電容器充好電后再連接導體棒,導體棒做變加速運動,如果是電容器先帶上電,那么電容器將放電,導體棒在安培力作用下做加速度減小的變加速運動,最終電容器兩端電壓和導體棒兩端電壓相等,導體棒勻速運動;如果電容器先不帶電,導體棒有初速度,就是導體棒對電容器充電,終態(tài)情況依舊是兩者電壓相等,導體棒勻速運動.例4.(2017年天津)電磁軌道炮利用電流受到磁場的安培力使炮彈獲得超高速度,其原理可用來研制新武器和航天運載器.電磁軌道炮示意如圖5,圖中直流電源電動勢為E,電容器的電容為C.兩根固定于水平面內(nèi)的光滑平行金屬導軌間距為l,電阻不計.炮彈可視為一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒MN,垂直放在兩導軌間處于靜止狀態(tài),并與導軌良好接觸.首先開關(guān)S接1,使電容器完全充電.然后將S接至2,導軌間存在垂直于導軌平面、磁感應強度大小為B的勻強磁場(圖中未畫出),MN開始向右加速運動.當MN上的感應電動勢與電容器兩極板間的電壓相等時,回路中電流為0,MN達到最大速度,之后離開導軌.圖5電磁軌道炮示意圖(3)MN離開導軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少.解析:終態(tài)電容器和導體棒的電壓相等U流經(jīng)導體棒電荷量即為電容器充放電的電荷量,即q對于導體棒,用動量定理可知BilΔt聯(lián)立上述過程,剩余電荷量為Q<icon/>量為m1圖3裝置示意圖球表面前瞬間的速度大小為v0,接觸月球表面后線框速度立即變?yōu)?.經(jīng)過減速,在導軌下方緩沖彈簧接觸月球表面前船艙已可視為勻速.已知船艙電阻為3r,“Λ”型線框的質(zhì)量為m2,其7條邊的邊長均為l,電阻均為r;月球表面的重力加速度為g/6.整個運動過程中只有ab邊在磁場中,(2)通過畫等效電路圖,求著陸裝置接觸到月球表面后瞬間流過ab型線框的電流I0(3)求船艙勻速運動時的速度大小v;(4)同桌小張認為在磁場上方、兩導軌之間連接一個電容為C的電容器,在著陸減速過程中還可以回收部分能量,在其他條件均不變的情況下,求船艙勻速運動時的速度大小v'和此時電容器所帶電荷量q解析:(2)等效電路圖圖4等效電路圖如圖4.并聯(lián)總電阻R=電流I0(3)勻速運動時線框受到安培力為FA根據(jù)牛頓第三定律,質(zhì)量為m1的部分受力F=FAF得v=(4)勻速運動時電容器不充放電,滿足v電容器兩端電壓為UC電荷量為q=評價:此題也屬于導體棒受到“外力”的情況,但卻與前述問題截然不同,因為此處電容器連接模式發(fā)生改變,電容不和電源直接串聯(lián),而是和外評價:在不受“外力”情形下,試題一般只要求定性分析中間過程,定量求解終態(tài)過程,某種意義上,難度比受“外力”情形下的問題低.值得注意的是,此類場景回路電阻是不影響最終情況的,正因為回路有電阻,才導致只有終態(tài)電容器電壓和導體棒電壓相等.2.2是否忽略電阻不受“外力”模型中,通常都是不忽略回路電阻的,在電容器充好電放電,導體棒運動的電路當中,有Blv由動量定理可知,BlCE代人上式,并結(jié)合初始條件,0時刻電容器電荷量為CE,B解得q=微分可得i=有v=同樣,當時間足夠長的時候,速度最終值和前文分析結(jié)果一致.值得注意的是,導體棒獲得收尾速度需要無窮大的時間.對電流積分可得產(chǎn)生的焦耳熱為定值,W也就是說最終產(chǎn)生的熱量與電阻大小無關(guān),電阻大小只決定充電時間長短.而此類情況回路中一定會有能量損失,可以用初等數(shù)學的方式來證明.對于導體棒,收尾速度為v損失能量為QmC即此類問題一般都考慮回路焦耳熱,因為一是考查的是學生解決收尾速度等終態(tài)問題的能力,不要求學生求解中間過程,而計不計電阻對終態(tài)情況沒有影響;二是一定會有能量損失,那么回路如果計電阻就會有焦耳熱,從科學命題角度也是自洽的.如果不考慮導體棒電阻上的焦耳熱,僅因為電容器放電過程產(chǎn)生的電磁輻射損失能量,可以自治嗎?導體棒速度變化時,回路中電流隨時間產(chǎn)生變化,此時,回路單匝線圈的自感不可忽略,由于單匝線圈的自感系數(shù)很小,故振蕩頻率很高,同時,回路是“開放”的,電流產(chǎn)生的磁場分布在廣闊的空間中,這樣就滿足了電磁輻射的條件,電磁輻射的功率正比于電流的平方,(1)經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)即便回路電阻為0,完全不計回路的焦耳熱,產(chǎn)生的電磁輻射損失能量也剛好等于損失能量,也就是說不受“外力”模型不管是否忽略導體棒電阻從理論上來說損失的能量是確定的.2.3“不受外力模型”新的演變例5.(2022年圖6原題示意圖全國卷)如圖6,兩根相互平行的光滑長直金屬導軌固定在水平絕緣桌面上,在導軌的左端接人電容為C的電容器和阻值為R的電阻.質(zhì)量為m、阻值也為R的導體棒MN靜止于導軌上,與導軌垂直,且接觸良好,導軌電阻忽略不計,整個系統(tǒng)處于方向堅直向下的勻強磁場中.開始時,電容器所帶的電荷量為Q,合上開關(guān)S后,則(A)通過導體棒MN電流的最大值為QRC(B)導體棒MN向右先加速、后勻速運動.(C)導體棒MN速度最大時所受的安培力也最大.(D)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱大于導體棒MN上產(chǎn)生的焦耳熱.評價:導體棒依然做加速度減小的加速運動直到達成收尾速度,而由于導體棒有反電動勢的存在,所以定值電阻上的焦耳熱大于導體棒上的焦耳熱.此題在導體棒不受“外力”的基礎上舊瓶裝新酒,添加了一個與電容器并聯(lián)的電阻,意在打破學生的思維定式,起到反刷題的功效.3兩種模型的比較(如表2)表2有無外力模型的比較科學命題溯源忽略電阻求解問題演變形態(tài)有外力第12屆預賽是分析中間過程與