第08講直線的點(diǎn)斜式方程直線的兩點(diǎn)式方程

第08講直線的點(diǎn)斜式方程、直線的兩點(diǎn)式方程【知識(shí)梳理】考點(diǎn)一：直線方程的點(diǎn)斜式考點(diǎn)二：直線的兩點(diǎn)式方程考點(diǎn)三：直線的截距式方程考點(diǎn)四：直線和坐標(biāo)軸圍成的面積問(wèn)題考點(diǎn)五：直線方程的綜合問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程類別點(diǎn)斜式斜截式適用范圍斜率存在已知條件點(diǎn)P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y軸上的截距b圖示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直線l與y軸交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距知識(shí)點(diǎn)二：直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程名稱兩點(diǎn)式截距式條件兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過(guò)原點(diǎn)【例題詳解】題型一：直線方程的點(diǎn)斜式1．（2324高二上·四川達(dá)州·期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，得到答案.【詳解】直線斜率，故直線方程為，即.故選：A2．（2324高二上·河南·期中）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線的垂直關(guān)系,結(jié)合已知直線的斜率可得所求直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為1，由題意，所求直線l的斜率為1，又直線l過(guò)點(diǎn)，所以由點(diǎn)斜式方程可知直線l的方程為：，即，故選：C3．（2122高三上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，0)，B(5，2),，則AB邊上的高CD所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的斜率，根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)，得出直線的斜率，從而得出直線的方程.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以直線為：，即.故選：C.題型二：直線的兩點(diǎn)式方程4．（2122高二·全國(guó)）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線方程都可以表示為（

）A．＝ B．＝C． D．＝【答案】C【分析】利用直線方程的兩點(diǎn)式即可得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，由兩點(diǎn)式可得直線方程為：＝，化為：，對(duì)于或時(shí)上述方程也成立，因此直線方程為：.故選：C.5．（2223高二上·安徽阜陽(yáng)·期末）過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線在上的截距為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】求出直線AB的方程，解出直線在上的截距【詳解】過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程為即，故直線在上的截距為1，故選：A6．（2223高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，M為AB的中點(diǎn)，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由直線的兩點(diǎn)式方程求解.【詳解】點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，由直線的兩點(diǎn)式方程得，即.故選：D題型三：直線的截距式方程7．（2324高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線在軸上的截距為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】對(duì)直線方程，令，即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)方程，令，解得；故直線在軸上的截距為.故選：A.8．（2324高二上·天津南開(kāi)·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故C項(xiàng)正確.故選：C.9．（2324高二上·天津武清·期中）已知直線過(guò)點(diǎn)(2,1)，且橫截距、縱截距滿足，則該直線的方程為（

）A．2x+y5=0 B．x+2y4=0C．x2y=0或x+2y4=0 D．x2y=0或2x+y5=0【答案】C【分析】分截距為0和截距不為0時(shí)，根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)（2，1）求解.【詳解】解：當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線的方程為：，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(2,1)，所以，即，則直線方程為：；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（2，1），所以，則，所以直線方程為，即，綜上：直線的方程為：x2y=0或x+2y4=0，故選：C題型四：直線和坐標(biāo)軸圍成的面積問(wèn)題10．（2324高二上·河北邯鄲）直線的傾斜角是直線傾斜角的一半，且直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則直線的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由斜率的幾何意義結(jié)合二倍角公式可以先求出所求直線的斜率，再結(jié)合已知條件即可求出直線方程.【詳解】由題意不妨設(shè)直線與直線的斜率分別為，傾斜角分別為，而，，又由二倍角公式，所以有，整理得，解得或（舍去），所以設(shè)直線的方程為，則直線與坐標(biāo)軸分別交于，所以由題意直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，解得，所以設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，它可以變形為.故選：C.11．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】求出直線在坐標(biāo)軸上的截距，再利用面積公式解方程可得.【詳解】令，得；令,得．故與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，解得.故選：B12．（2122高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為0(不過(guò)原點(diǎn))的直線方程為，此直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.【答案】【分析】設(shè)直線的截距式方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用三角形面積公式求解即可.【詳解】當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，且不為0.可設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)，所以，解得，所以直線方程為.當(dāng)直線方程為時(shí)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為.題型五：直線方程的綜合問(wèn)題13．（2324高二上·上?！て谀┮阎本€過(guò)點(diǎn)．(1)若直線過(guò)點(diǎn)，求直線的方程；(2)若直線在軸和軸上的截距相等，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)直線過(guò)兩點(diǎn)求出斜率，由點(diǎn)斜式方程求出直線方程；（2）設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，列式運(yùn)算即可得出直線方程.【詳解】（1）由直線過(guò)點(diǎn)，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.（2）直線過(guò)點(diǎn)，在軸和軸上的截距相等，設(shè)直線的方程為，，令得，令得，則，解得或，所以直線的方程為或.14．（2324高二上·安徽·期末）已知直線過(guò)點(diǎn)．(1)若直線在軸上的截距、在軸上的截距的滿足，求直線的方程；(2)若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)，利用截距式直線方程解題即可；（2）利用點(diǎn)斜式直線方程以及基本不等式解題即可.【詳解】（1）根據(jù)題意：直線在軸上的截距是在軸上的截距的3倍，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線為，將代入可得，所以直線的方程為；當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，所以直線的方程為即．綜上，直線的方程為或；（2）設(shè)直線的方程為，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，（舍），所以直線的方程為即．15．（2324高二上·安徽安慶）已知點(diǎn)，求下列直線的方程：(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是軸上截距的2倍的直線的方程；(2)光線自點(diǎn)射到軸的點(diǎn)后被軸反射，求反射光線所在直線的方程．【答案】(1)或.(2)【分析】（1）根據(jù)題意，分直線過(guò)原點(diǎn)與不過(guò)原點(diǎn)討論，結(jié)合直線的截距式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，再由直線的點(diǎn)斜式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿足在軸上的截距是軸上截距的2倍，此時(shí)直線方程為，將代入，可得，化簡(jiǎn)可得；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，且，即，將代入，可得，解得，則直線方程為，化簡(jiǎn)可得；綜上，直線方程為或.（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知，反射光線所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與，所以反射光線所在的直線斜率為，則反射光線所在的直線方程為，化簡(jiǎn)可得.【專項(xiàng)訓(xùn)練】一、單選題16．（2324高二上·河南鄭州·期末）過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】?jī)A斜角為的直線斜率不存在，可解.【詳解】過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為的直線垂直于軸，其方程為.故選：B17．（2324高二上·甘肅白銀·期末）若直線過(guò)點(diǎn)且與斜率為4的直線垂直，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系求出斜率，然后可得直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€與斜率為4的直線垂直，所以直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即．故選：A18．（2324高二上·北京順義·期中）過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為，即，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上所求直線方程為或.故選：C.19．（2324高二上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意首先確定，的范圍，然后逐一考查所給命題的真假即可.【詳解】已知直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則直線在軸上的截距，在軸上的截距，由直線的斜率小于1，可知，結(jié)合可得，對(duì)于A，由絕對(duì)值的性質(zhì)可知，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由冪函數(shù)的單調(diào)性可知，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由不等式的性質(zhì)，可得，，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，，則，故選項(xiàng)D正確.故選：D20．（2324高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，在軸上的截距為，在軸上的截距為，且滿足，則直線的斜率為（

）A．2 B． C． D．或【答案】C【分析】由題意設(shè)直線的方程為，列出關(guān)于的方程組，求解即可.【詳解】由題意設(shè)直線的方程為，則①，又，∴②，由①②解得，或，，又由知，則，，則直線的斜率為．故選：C．21．（2023高二·江蘇·專題練習(xí)）直線l的傾斜角是直線傾斜角的一半，且直線l與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為10，則直線l的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切的二倍角公式，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以直線的斜率為負(fù)值，因此直線的傾斜角為鈍角，設(shè)直線l的傾斜角為，則因?yàn)椋曰蛏崛ピO(shè)直線l的方程為，則直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，，由，得，故直線l的方程可能是，顯然ABD不符合，，或，故選：C22．（2324高二上·湖北·階段練習(xí)）直線過(guò)點(diǎn)，則直線與、正半軸圍成的三角形的面積最小值為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】依題意可得且、，利用基本不等式求出的最小值，從而求出三角形面積的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，令，可得，即直線與軸交于點(diǎn)，令，可得，即直線與軸交于點(diǎn)，依題意可得、，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，所以直線與、正半軸圍成的三角形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取等號(hào)，即直線與、正半軸圍成的三角形的面積最小值為.故選：B23．（2324高二上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，，若直線：與的歐拉線平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)得出重心與外心,求出三角形歐拉線,根據(jù)直線平行得解.【詳解】由的頂點(diǎn),知,的重心為，即,因?yàn)?所以三角形為直角三角形,所以外心為斜邊中點(diǎn),即,所以可得的歐拉線方程,即,因?yàn)榕c平行,所以,解得.故選：C.

24．（2223高二上·湖北·階段練習(xí)）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點(diǎn)，如圖，若光線經(jīng)過(guò)的重心，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，和關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由，，四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過(guò)的重心，代入可得關(guān)于的方程，解之可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，故直線的方程為，又由，，，則的重心為，設(shè)，其中，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則有，解得，即，易得關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由光的反射原理可知，，，四點(diǎn)共成直線的斜率，故直線的方程為，由于直線過(guò)的重心，代入化簡(jiǎn)可得，解得：或舍，即，故，故選：C．二、多選題25．（2324高二上·浙江舟山·期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2C．過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，則該直線方程為D．過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為【答案】AB【分析】求出直線的斜率判斷A；求出直線的橫縱截距計(jì)算判斷B；舉例說(shuō)明判斷CD.【詳解】對(duì)于A，直線的斜率為，其傾斜角為，A正確；對(duì)于B，直線交軸分別于點(diǎn)，該直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為，B正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)與原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，符合題意，即過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為的直線可以是直線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)的直線或當(dāng)時(shí)的直線方程不能用表示出，D錯(cuò)誤.故選：AB26．（2324高二上·安徽安慶·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的傾斜角的取值范圍是B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．過(guò)點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為D．經(jīng)過(guò)平面內(nèi)任意相異兩點(diǎn)的直線都可以用方程表示．【答案】AD【分析】對(duì)于A：根據(jù)可求傾斜角的取值范圍；對(duì)于B：根據(jù)兩直線垂直的條件求出的值即可判斷；對(duì)于C：分截距是否為0兩種情況求解可判斷；對(duì)于D：對(duì)斜率為0、斜率不存在特殊情況討論可以確定所求直線均可用表示.【詳解】對(duì)于A：直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?，故A正確.對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，直線與直線斜率分別為，斜率之積為，故兩直線相互垂直，所以充分性成立，若“直線與直線互相垂直”，則，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以可得，所以直線方程為，當(dāng)截距不為0時(shí)，調(diào)直線方程為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以可得，所以直線方程為，所以過(guò)點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為或，故C錯(cuò)誤；.對(duì)于D：經(jīng)過(guò)平面內(nèi)任意相異兩點(diǎn)的直線：當(dāng)斜率等于0時(shí)，，方程為，能用方程表示；當(dāng)斜率不存在時(shí)，，方程為，能用方程表示；當(dāng)斜率不為0且斜率存在時(shí)，直線方程為，也能用方程表示，故D正確.故選：AD.27．（2324高二上·四川眉山·階段練習(xí)）直線和直線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，或；B．當(dāng)時(shí)，；C．當(dāng)時(shí)，過(guò)直線與的交點(diǎn)且平行于的直線方程為：D．當(dāng)時(shí)，直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程為：【答案】BD【分析】對(duì)于A、B選項(xiàng)，根據(jù)兩條直線互相平行和垂直的充要條件即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，求出直線的點(diǎn)斜式方程即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，先求出兩條直線的交點(diǎn)，再求出直線關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)直線上的兩點(diǎn)即可求出直線方程，進(jìn)一步判斷即可.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，有，此方程無(wú)解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，解得，此時(shí)，，，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，，聯(lián)立，得直線與的交點(diǎn)為，平行于的直線斜率為1，故過(guò)直線與的交點(diǎn)且平行于的直線方程為：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，直線與的交點(diǎn)為,易知點(diǎn)在直線上，設(shè)該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，因?yàn)椋?，所以所求直線方程為，即，故D正確.故選：BD.28．（2324高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的斜率為B．直線的傾斜角為鈍角C．邊上的中線所在的直線方程為D．邊所在的直線方程為【答案】BCD【分析】利用斜率公式可判斷A選項(xiàng)；利用斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用直線的點(diǎn)斜式方程可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，直線的傾斜角為鈍角，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，線段的中點(diǎn)為，則，所以，邊上的中線所在的直線方程為，即，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，邊所在的直線方程為，即，D對(duì).故選：BCD.29．（2324高二上·遼寧·期中）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為C．過(guò)，兩點(diǎn)的所有直線的方程為D．直線與直線互相平行，則【答案】ABC【分析】根據(jù)直線一般式中平行和垂直滿足的關(guān)系即可判斷AD，根據(jù)截距式方程的定義即可判斷B,根據(jù)兩點(diǎn)式的適用條件即可判斷C.【詳解】對(duì)于A,直線與直線互相垂直,則需要滿足：，解得或，故“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，對(duì)于B,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為和，對(duì)于C，當(dāng)或時(shí)，不能用表示兩點(diǎn)的直線，對(duì)于D，若直線與直線互相平行，則滿足，解得，D說(shuō)法正確，故選：ABC三、填空題30．（2324高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則.【答案】或【分析】利用截距的概念分類討論計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線方程為，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令時(shí)，令時(shí)，依題意有：，解得：或，綜上：或，故答案為：或.31．（2324高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知過(guò)點(diǎn)的直線在軸上的截距是其在軸上截距的3倍，則滿足條件的一條直線的方程為．【答案】（答案不唯一：或）【分析】分截距是否為0分類討論即可求解.【詳解】由題意若過(guò)點(diǎn)的直線在坐標(biāo)軸上的截距均為0，則顯然滿足題意，即，否則設(shè)滿足題意的直線方程為，將代入得，即也滿足題意.故答案為：（答案不唯一：或）.32．（2324高二上·四川眉山·階段練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)，且分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則面積最小值為．【答案】24【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，分別表示出坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式代入計(jì)算，再由基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】

由題意可知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，因?yàn)橹本€分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，所以，令，則，即，令，則，即，所以其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積最小值為.故答案為：33．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）直線l過(guò)點(diǎn)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)直線l的一般式方程是.【答案】8【分析】設(shè)直線截距式方程，由題意得，利用基本不等式求出面積的最小值，得解.【詳解】設(shè)直線l的方程為，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，所以.又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，此時(shí)直線l的方程為，即.故答案為：8；.四、解答題34．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求直線l的兩點(diǎn)式方程，并化為截距式方程；(2)求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積．【答案】(1)，；(2)16【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)式直線寫出直線方程，再轉(zhuǎn)化為截距式；（2）由（1）得出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，然后直接計(jì)算三角形面積．【詳解】（1）由已知得直線l的兩點(diǎn)式方程為，即，整理得．所以截距式方程為．（2）由（1）知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為4和8，所以圍成的圖形的面積為．35．（2324高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）根據(jù)條件寫出下列直線的方程：(1)斜率為，在軸上的截距是；(2)傾斜角為，在軸上的截距是；(3)傾斜角是直線的傾斜角的一半，且過(guò)點(diǎn)．【答案】(1)或；(2)或；(3)或．【分析】（1）利用斜截式方程求解即可；（2）先由傾斜角求出斜率，再設(shè)直線方程為，將代入求解即可；（3）根據(jù)傾斜角的關(guān)系求出直線斜率，再將代入即可求解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€斜率為，在軸上的截距是，所以由斜截式可得直線方程為或.（2）因?yàn)橹本€傾斜角為，所以該直線斜率為，設(shè)直線方程為，又因?yàn)樵谳S上的截距是，所以將代入解得直線方程為或.（3）因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以由題意得所求直線的傾斜角為，斜率為，設(shè)所求直線為，將代入可得，所以所求直線方程為或．36．（2023高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平行四