專題拓展圓錐曲線的定點(diǎn)定值定直線問題（技巧解密5考點(diǎn)過關(guān)檢測）（原卷版）

專題拓展：圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、定直線問題一、圓錐曲線過定點(diǎn)問題處理方法1、參數(shù)無關(guān)法把直線或者曲線方程中的變量，當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時的參數(shù)的系數(shù)就要全部為零，這樣就得到一個關(guān)于，的方程組，這個方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)。2、特殊到一般法根據(jù)動點(diǎn)或動直線、動曲線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)。3、關(guān)系法對滿足一定條件上的兩點(diǎn)連結(jié)所得直線定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題，可設(shè)直線（或曲線）上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線（或曲線）上，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程（組），求出相應(yīng)的直線（或曲線），然后再利用直線（或曲線）過定點(diǎn)的知識求解。二、圓錐曲線定值問題的處理方法1、處理較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個方向；2、在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏；3、巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算。三、定直線問題的處理方法定直線問題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動而產(chǎn)生的動點(diǎn)在定直線上的問題這類問題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡，主要方法有：（1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；（2）待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；（3）驗(yàn)證法：通過特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證考點(diǎn)一：圓錐曲線中直線過定點(diǎn)例1．（2324高二下·廣東中山·月考）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過定點(diǎn).【變式11】（2324高二下·四川成都·月考）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C．(1)證明：曲線C為雙曲線的一支；(2)已知點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且．直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過定點(diǎn)，請說明理由．【變式12】（2324高二上·福建廈門·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，且A到的焦點(diǎn)的距離為1．(1)求的方程；(2)若直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，，且，試探究直線是否過定點(diǎn)，若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請說明理由．考點(diǎn)二：圓錐曲線中動圓過定點(diǎn)例2.（2324高二上·廣東梅州·期末）已知圓，點(diǎn)，動圓經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的動直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【變式21】（2324高二下·湖北·月考）已知常數(shù)，向量，，經(jīng)過點(diǎn)的直線以為方向向量，經(jīng)過點(diǎn)的直線以為方向向量，其中．(1)求點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡．(2)當(dāng)時，點(diǎn)為軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問：是存在定點(diǎn)在以、為直徑的圓上？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式22】（2324高二上·廣東佛山·期末）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且不過點(diǎn)，若直線分別交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，證明：以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)．考點(diǎn)三：圓錐曲線的定值問題例3.（2324高二下·云南昆明·月考）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且其離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為定值.【變式31】（2324高二上·陜西西安·月考）已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程;(2)如圖，若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q，P，且.求證:為定值；【變式32】（2324高二上·河南焦作·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，動點(diǎn)到的距離等于.設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，證明：為定值.考點(diǎn)四：圓錐曲線的定直線問題例4.（2324高二下·吉林長春·月考）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且，橢圓C離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)，且斜率不為0的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，直線AM，BN交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在直線上．【變式41】（2324高二上·福建福州·月考）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，在直線上取一點(diǎn)，直線交雙曲線右支于點(diǎn)，直線交雙曲線左支于點(diǎn)，直線和直線的交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在定直線上.【變式42】（2324高二上·湖北·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)若，求過點(diǎn)與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)的直線方程；(2)設(shè)過動點(diǎn)的兩條直線均與相切，且的斜率分別為，滿足．證明：動點(diǎn)在一條定直線上．考點(diǎn)五：圓錐曲線的定曲線問題例5.（2223高二上·河北·月考）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為，證明：點(diǎn)在一條定拋物線上．【變式51】（2324高二上·重慶·期中）如圖，線段的兩個端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)隨線段的運(yùn)動而變化.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)動點(diǎn)在曲線外，且點(diǎn)到曲線的兩條切線相互垂直，求證：點(diǎn)在定圓上.【變式52】（2324高二上·江蘇南京·期中）已知點(diǎn)，在雙曲線：上，過點(diǎn)作直線交雙曲線于點(diǎn)，（不與點(diǎn)，重合）.證明：(1)記點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸，且與雙曲線的右支交點(diǎn)為時，，，三點(diǎn)共線；(2)直線與直線的交點(diǎn)在定圓上，并求出該圓的方程.1．（2324高二上·湖南長沙·月考）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，兩點(diǎn)都在軸上方，且．證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．2．（2324高二上·四川內(nèi)江·期末）已知橢圓：（）的左、右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為，為橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過且斜率為1的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求的面積；(3)設(shè)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線、與直線分別交于點(diǎn)、.證明：以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).3．（2324高二下·山西朔州·月考）已知橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，且其離心率為．(1)求橢圓C的方程．(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)為P，問：kMN·kOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))是否為定值？請說明理由．4．（2023·四川資陽·模擬預(yù)測）橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程．(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），記直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，試問點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由．5．（2324高二上·廣東惠州·月考）已知雙曲線的焦距為4，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的左焦點(diǎn)分別作斜率為的兩直線與，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，設(shè)分別為與的中點(diǎn)，若，證明：直線過定點(diǎn)．6．（2324高二上·重慶·月考）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)與點(diǎn)，連線的斜率之積為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓過兩定點(diǎn).7．（2324高二上·江蘇宿遷·期末）已知雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，且離心率為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線（直線的斜率不為0）與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，分別為直線，與軸的交點(diǎn)，記，的面積分別記為，，求的值.8．（2324高二下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與相交于．求證：點(diǎn)在定直線上．9．（2324高二上·四川成都·月考）已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，動點(diǎn)P在拋物線上.(1)寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)直線與拋物線交于D，E兩點(diǎn)，若拋物線上存在點(diǎn)P，使得四邊形為平行四邊形，證明：直線過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo).10．（2324高二上·江蘇宿遷·期中）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為時，．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；(2)記為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與直線交于點(diǎn)，求證：以為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．11．（2324高二上·廣東清遠(yuǎn)·期中）如圖，在平