高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第10章計(jì)數(shù)原理第1節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理2017·全國(guó)卷Ⅱ·T6·5分乘法原理與排列組合結(jié)合解決分工問(wèn)題邏輯推理2016·全國(guó)卷Ⅱ·T5·5分應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理求路徑條數(shù)邏輯推理命題分析分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，在高考中占有特殊的地位，大多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)與概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)綜合出現(xiàn)在解答題中，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算與思維能力，難度不大，多為送分題.1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．提醒：1．辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行．(2)分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步．2．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的步驟第一步，由于計(jì)數(shù)問(wèn)題一般是解決實(shí)際問(wèn)題，故首先要審清題意，弄清完成的事件是怎樣的；第二步，分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類四類中的哪一種；第三步，弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù)；第四步，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù)．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材習(xí)題改編)某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為()A．504 B．210C．336 D．120解析：選A分三步，先插一個(gè)新節(jié)目，有7種方法，再插第二個(gè)新節(jié)目，有8種方法，最后插第三個(gè)節(jié)目，有9種方法．故共有7×8×9＝504種不同的插法．3．(教材習(xí)題改編)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．12 B．8C．6 D．4解析：選Cx＝1時(shí)，y＝5,6，有點(diǎn)(1,5)，(1,6)，x＝3時(shí)，y＝5,6，有點(diǎn)(3,5)，(3,6)，x＝－2時(shí)，y＝5,6，有點(diǎn)(－2,5)，(－2,6)，共6個(gè)點(diǎn)．4．(教材習(xí)題改編)5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法有________種．解析：每位同學(xué)有兩種報(bào)名方法2×2×2×2×2＝25＝32(種)．答案：32分類加法計(jì)數(shù)原理[明技法]利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)2個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏；(2)分類時(shí)，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．[提能力]【典例】高三一班有學(xué)生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有學(xué)生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有學(xué)生55人，其中男生35人，女生20人．(1)從高三一班或二班或三班中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？(2)從高三一班、二班男生中或從高三三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？解：(1)完成這件事有三類方法：第一類，從高三一班任選一名學(xué)生共有50種選法；第二類，從高三二班任選一名學(xué)生共有60種選法；第三類，從高三三班任選一名學(xué)生共有55種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，任選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席共有50＋60＋55＝165(種)不同的選法．(2)完成這件事有三類方法：第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有30＋30＋20＝80(種)不同的選法．[刷好題]五名籃球運(yùn)動(dòng)員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服．由于燈光暗淡，看不清自己的外衣，則至少有兩人拿對(duì)自己的外衣的情況有()A．30種 B．31種C．35種 D．40種解析：選B分類：第一類，兩人拿對(duì)：2×Ceq\o\al(2,5)＝20種；第二類，三人拿對(duì)：Ceq\o\al(3,5)＝10種；第三類，四人拿對(duì)與五人拿對(duì)一樣，所以有1種．故共有20＋10＋1＝31種．分步乘法計(jì)數(shù)原理[析考情]分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理是學(xué)習(xí)排列與組合的基礎(chǔ)，高考中一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度中等，分值5分．[提能力]【典例】(1)(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．9(2)有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法．解析：(1)從E點(diǎn)到F點(diǎn)的最短路徑有6種，從F點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有3種，所以從E點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑為6×3＝18種，故選B．(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種)．答案：(1)B(2)120[悟技法](1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．[刷好題]1．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有()A．12種 B．18種C．24種 D．36種解析：選A先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有Aeq\o\al(3,3)種不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1種排法．因此共有Aeq\o\al(3,3)·2·1＝12(種)不同的排列方法．2．如圖一管道有6個(gè)聯(lián)接點(diǎn)，如果一個(gè)聯(lián)接點(diǎn)堵塞，則整個(gè)管道不通．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)管道不通，那么聯(lián)接點(diǎn)堵塞情況有________種．解析：因?yàn)槊總€(gè)聯(lián)接點(diǎn)是否堵塞有2種，而只要一處堵塞，則整個(gè)管道不通．故共有26－1＝63種可能．答案：63兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用[析考情]兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．[提能力]命題點(diǎn)1：與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題【典例1】我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是六合數(shù))，則“六合數(shù)”中首位為2的有()A．18個(gè) B．15個(gè)C．12個(gè) D．9個(gè)解析：選B依題意，這個(gè)四位數(shù)百位、十位、個(gè)位之和為4，由(4,0,0)，(3,1,0)，(2,2,0)，(1,1,2)各能組成3,6,3,3個(gè).3＋6＋3＋3＝15個(gè)．命題點(diǎn)2：與幾何有關(guān)的問(wèn)題【典例2】從A到O有________種不同走法(不重復(fù)過(guò)一點(diǎn))．解析：分三類：一類一步完成A→O，二類兩步完成A→B→OA→C→O，三類三步完成A→B→C→OA→C→B→O，共1＋2＋2＝5種．答案：5命題點(diǎn)3：涂色問(wèn)題【典例3】如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有()ABCDA．72種 B．48種C．24種 D．12種解析：選A方法一首先涂A有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)涂法，則涂B有Ceq\o\al(1,3)＝3(種)涂法，C與A，B相鄰，則C有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)涂法，D只與C相鄰，則D有Ceq\o\al(1,3)＝3(種)涂法，所以共有4×3×2×3＝72(種)涂法．方法二按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24(種)涂法；二是用3種顏色，這時(shí)A，B，C的涂法有4×3×2＝24(種)，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(種)．[悟技法]與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理有關(guān)問(wèn)題的解題策略(1)在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)，一般是先分類再分步，但在分步時(shí)可能又會(huì)用到分類加法計(jì)數(shù)原理．(2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)禺?huà)出示意圖或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化．[刷好題]1．如果一個(gè)三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343A．240 B．204C．729 D．920解析：選A若a2＝2，則凸數(shù)為120與121，共1×2＝2個(gè)．若a2＝3，則凸數(shù)有2×3＝6個(gè)．若a2＝4，則凸數(shù)有3×4＝12個(gè)，…，若a2＝9，則凸數(shù)有8×9＝72個(gè)．所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240個(gè)．2．如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開(kāi)，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A．400種 B．460種C．480種 D．496種解析：選C完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色．當(dāng)使用4種顏色時(shí)：從A開(kāi)始，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3＝360(種)方法；當(dāng)使用3種顏色時(shí)：A，D使用同一種顏色，從A，D開(kāi)始，有6種方法，B有5種，C有4種，完成此事共有6×5×4＝120(種)方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知：不同涂法有360＋120＝480(種)．3．已知ax2－b＝0是關(guān)于x的一元二次方程，其中a，b∈{1,2,3,4}，則解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.解析：從集合{1,2,3,4}中任意取兩個(gè)不同元素作為a，b，方程有Aeq\o\al(2,4)個(gè)；當(dāng)a，b取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè)，共有Aeq\o\al(2,4)＋1＝13個(gè)方程．題設(shè)中：“求解