《自動(dòng)控制原理（本）》 課件 第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析主編：張慧妍組編：全國(guó)高等教育自學(xué)考試指導(dǎo)委員會(huì)5.1頻率特性的基本概念5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性圖5.4頻率域穩(wěn)定性判據(jù)CONTENTS目錄5.5穩(wěn)定裕度5.6*閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性5.7基于MATLAB的線性控制

系統(tǒng)頻域分析頻率特性法——工程實(shí)用方法在正弦輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱為頻率響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)之間的關(guān)系稱為頻率特性。5.1頻率特性的基本概念設(shè)輸入其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為求拉氏反變換，得動(dòng)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量其中02RC電路的頻率響應(yīng)為幅頻特性相頻特性（１）幅頻特性反映系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的穩(wěn)態(tài)衰減（或放大）特性．（２）相頻特性表示系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)下輸出的相位移．（３）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，令，可得系統(tǒng)的頻率特性.(４）頻率特性包含了系統(tǒng)的全部動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)．

極坐標(biāo)圖需要在以橫軸為實(shí)軸，縱軸為虛軸的復(fù)數(shù)s平面上繪制。

伯德圖是繪制兩張圖，用來(lái)分別表示系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性、相頻特性。伯德圖將頻率特性表示在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)中。比例環(huán)節(jié)015.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性積分環(huán)節(jié)02慣性環(huán)節(jié)03慣性環(huán)節(jié)——伯德圖03-20dB/dec慣性環(huán)節(jié)漸近線和精確曲線的最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率處，即轉(zhuǎn)折點(diǎn)為。相頻特性可用描點(diǎn)方法繪制，其特點(diǎn)是曲線關(guān)于奇對(duì)稱。列表計(jì)算描點(diǎn)后可得慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖04微分環(huán)節(jié)05振蕩環(huán)節(jié)高頻段漸進(jìn)線是一條斜率為－40dB/dec的直線06延遲環(huán)節(jié)設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)由n個(gè)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成可見(jiàn)，當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時(shí)，其對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分列為各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性之和．因此繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的方法之一，就是畫出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅率特性，和相頻特性，然后相加．5.3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性圖伯德圖繪制要點(diǎn)例5-1解：依據(jù)已知條件，有根據(jù)上式畫出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性，然后相加，即得到對(duì)應(yīng)的伯德圖。極坐標(biāo)圖繪制要點(diǎn)：求A(0)、

(0)；A(∞)、

(∞)；補(bǔ)充必要的特征點(diǎn)(注意：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))；根據(jù)A(ω)、

(ω)的變化趨勢(shì)，畫出極坐標(biāo)圖的

大致形狀。例5-2已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

，試?yán)L制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的頻率特性為列表計(jì)算例5-2極坐標(biāo)的數(shù)據(jù)點(diǎn)

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性通常是由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，涉及多個(gè)環(huán)節(jié)相頻特性的代數(shù)運(yùn)算，有時(shí)會(huì)使用下式進(jìn)行簡(jiǎn)化分析與計(jì)算:

若一個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在復(fù)數(shù)s平面的右半部不具有極點(diǎn)和零點(diǎn)，并且不具有純時(shí)間延遲特性，則此系統(tǒng)就稱為最小相位系統(tǒng)。

非最小相位系統(tǒng)在復(fù)數(shù)s平面的右半部存在開(kāi)環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)。

易知，之前學(xué)習(xí)過(guò)的延遲環(huán)節(jié)是非最小相位系統(tǒng)。將延遲環(huán)節(jié)采用有理分式近似時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，其在復(fù)數(shù)s平面的右半部存在開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，滿足非最小相位系統(tǒng)定義。最小相位系統(tǒng)20-20ωL(dB)10L(dB)50-20-40100ω例5-3已知最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線如下圖所示，試確定對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。映射定理：設(shè)s平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)的

個(gè)極點(diǎn)和個(gè)零點(diǎn)，并且此曲線不經(jīng)過(guò)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)復(fù)變量

沿封閉曲線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí)，在平面上的映射曲線按逆時(shí)針?lè)较虬鼑鴺?biāo)原點(diǎn)周。

5.4頻率域穩(wěn)定性判據(jù)基本概念02對(duì)應(yīng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，特征方程的根，即的零點(diǎn)（即閉環(huán)極點(diǎn)），都位于s平面的左半部。

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要檢驗(yàn)是否具有在s平面右半部的零點(diǎn)（Z=0?）。為此可以選擇一條包圍整個(gè)s平面右半部的按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的封閉曲線，通常稱為奈奎斯特回線，簡(jiǎn)稱奈氏回線。

設(shè)復(fù)變函數(shù)在s平面的右半部有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。

根據(jù)映射定理，當(dāng)s沿著s平面上的奈奎斯特回線移動(dòng)一周時(shí)，在平面上的映射曲線將按逆時(shí)針?lè)较驀@坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)周。

如果在s平面上，s沿著奈奎斯特回線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí)，在平面上的映射曲線圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)周，則系統(tǒng)為穩(wěn)定的。

根據(jù)這意味著的映射曲線圍繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況，相當(dāng)于的封閉曲線圍繞著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。

已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為例5-4試?yán)L制系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：表明Ｐ＝０繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖如圖所示可見(jiàn)N＝０可以判斷出此控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。例5-5試?yán)L制系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：表明Ｐ＝０繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖如圖所示可見(jiàn)N＝０可以判斷出此控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性根據(jù)Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性Ngquist圖和Bode圖的對(duì)應(yīng)的關(guān)系１．單位圓與０分貝線對(duì)應(yīng)，單位圓外,２．ＧＨ平面上的負(fù)實(shí)軸與的－180°線對(duì)應(yīng)．采用Bode圖的Ngquist判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)由０變到時(shí)，在的頻段內(nèi)，曲線穿越線的次數(shù)（正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差）為，Ｐ為Ｓ右半平面的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)．

若開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（即最小相位系統(tǒng)），Ｐ＝０，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是曲線正、負(fù)穿越線的次數(shù)等于零．思考題：控制系統(tǒng)包含積分環(huán)節(jié)時(shí)，是否類似奈奎斯特曲線需要進(jìn)行一些伯德圖曲線的修改？留心教材課后習(xí)題中的陷阱!!!若開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性靠近（-1，j0）的程度表征了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。相對(duì)穩(wěn)定性穩(wěn)定裕度相角裕度增益裕度5.5穩(wěn)定裕度1.相角裕度2.增益裕度對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，其相角裕度應(yīng)為正值，增益裕度Kg應(yīng)大于1，或GM為正。

保持適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度，可以預(yù)防系統(tǒng)中元件性能變化可能帶來(lái)的不利影響。為了得到較滿意的暫態(tài)響應(yīng)，一般相角裕度應(yīng)當(dāng)在之間，而增益裕度應(yīng)大于6dB。例5-6求系統(tǒng)的相角裕度.解：首先繪制此系統(tǒng)的伯德圖，系統(tǒng)的兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率分別為然后求取剪切頻率低頻段對(duì)數(shù)幅頻特性與的重合5.6閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性諧振峰值Mr及諧振頻率wr截止頻率wb5.7基于MATLAB的線性控制系統(tǒng)頻