第2講數(shù)列通項(xiàng)和求和歸納

第2講數(shù)列大題【復(fù)習(xí)目錄】一、Sn和關(guān)系法求數(shù)列通項(xiàng)二、累加法求數(shù)列通項(xiàng)三、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)四、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)五、證明等差數(shù)列六、證明等比數(shù)列七、裂項(xiàng)相消法八、錯位相減法九、分組（并項(xiàng)）求和法十、含絕對值的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【題型歸納】題型一、Sn和關(guān)系法求數(shù)列通項(xiàng)1．（2021高二下·山西呂梁·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將，相減得出，再由的關(guān)系得出通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，①②由①②得，即（經(jīng)驗(yàn)證時(shí)也成立）故故選：D2．（2324高二上·吉林長春·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】根據(jù)前項(xiàng)和表達(dá)式，通過分類討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，故答案為：.3．（2122高二上·江蘇鹽城·期中）等差數(shù)列的前項(xiàng)和，等比數(shù)列的前項(xiàng)和，（其中、為實(shí)數(shù)）則的值為.【答案】【分析】根據(jù)前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求出數(shù)列、的通項(xiàng)公式，可求得、的值，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，可得，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，可得.因此，.故答案為：.題型二、累加法求數(shù)列通項(xiàng)4．（2324高二上·福建漳州·期末）數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式.【詳解】，該通式對也適用，所以答案為：.5．（2324高二上·山東濱州·期末）已知數(shù)列中，，則.【答案】【分析】利用累加法計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，等式右邊求和為裂項(xiàng)相消.【詳解】由題意可知：，，，，將上述個式子相加可得：，則，所以故答案為：6．（2324高二上·上?！て谀┤魯?shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式是．【答案】【分析】利用累加法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以.故答案為：.題型三、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)7．（2324高二上·廣東河源·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則.【答案】【分析】由遞推公式可得，再由累乘法即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，由累乘可得.故答案為：8．（2324高二上·黑龍江牡丹江·期末）已知數(shù)列滿足，，，則．【答案】128【分析】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用累乘法求得，令，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：1289．（2223高二上·黑龍江哈爾濱·期中）數(shù)列滿足，，則．【答案】【分析】利用累乘法求得正確答案.【詳解】，也符合上式，所以.故答案為：題型四、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)10．（2324高三下·四川·期末）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合變形等式，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項(xiàng).【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，則有，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：11．（2324高二上·湖南長沙·期末）在數(shù)列中，，則.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可知數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，結(jié)合通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由得，又，則數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，得，所以，所以.故答案為：12．（2223高二上·上海楊浦·期末）數(shù)列的首項(xiàng)，且（為正整數(shù)），令，則.【答案】【分析】由已知變形可得，可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，可求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的求和公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)，且（為正整數(shù)），則，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，故，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故.故答案為：.題型五、證明等差數(shù)列13．（2023·廣東廣州·二模）在數(shù)列中，，，若，則正整數(shù)．【答案】10【分析】根據(jù)題意，令，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式，進(jìn)而代入求解即可．【詳解】由，，令，則，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，又為正整數(shù)，所以，即，解得或（舍去）．故答案為：10．14．（2223高三上·江蘇南通·期中）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知對任意的，，且存在，，則的取值集合為（用列舉法表示）【答案】【分析】先計(jì)算得到，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算求解即可．【詳解】解：為偶數(shù)時(shí)，，∴，或19，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴．綜上：的取值集合．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是理解：如果一個數(shù)列成等差，則相同間隔構(gòu)造的新數(shù)列也成等差數(shù)列．譬如成等差，則也成等差數(shù)列．15．（2023·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（），且，.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由得，兩式相減可證明數(shù)列為等差數(shù)列，繼而可求出，令，通過可知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，故可求出最大值，進(jìn)而可求的取值范圍.【詳解】由，可得.兩式相減，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列.因?yàn)椋?，所以，所以，，則.令，則.當(dāng)時(shí)，，數(shù)列單調(diào)遞減，而，，，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為1，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.題型六、證明等比數(shù)列16．（1920高二下·廣西玉林·期末）等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，對于常數(shù)m∈N*，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差為m2d.類似地，等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為Tn，則數(shù)列為等比數(shù)列，公比為.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為Tn，得到,，進(jìn)而得到，再利用等比數(shù)列的定義求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為Tn，所以,所以所以=·=·,÷=.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理以及等比數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.17．（1920高三上·江蘇泰州·期末）已知數(shù)列滿足，則＝.【答案】4【解析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得，可得，即數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡可得值.【詳解】因?yàn)?，所以，即?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，熟練運(yùn)用相應(yīng)的公式即可，屬于基礎(chǔ)題.18．（2223高二上·江蘇鹽城·期末）對于數(shù)列，若集合為有限集，則稱數(shù)列為“好數(shù)列”.若“好數(shù)列”滿足，則．【答案】0,1,2【分析】由題意可得，分，和三種情況進(jìn)行分類討論，檢驗(yàn)是否滿足“好數(shù)列”即可【詳解】由可得，當(dāng)即時(shí)，所以，，，此時(shí)，滿足，故此時(shí)數(shù)列為“好數(shù)列”；當(dāng)即，則，，，由可得，當(dāng)時(shí)，有，而，若即即或，此時(shí)，故即，此時(shí)數(shù)列為“好數(shù)列”；若，此時(shí)，故，故，因且，故諸均相異，故此時(shí)數(shù)列不為“好數(shù)列”；綜上所述，，故答案為：0,1,2.題型七、裂項(xiàng)相消法19．（2324高二下·內(nèi)蒙古·期末）在數(shù)列中，，，且.(1)證明：是等差數(shù)列.(2)求的通項(xiàng)公式.(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義結(jié)合已知條件證明即可；（2）由（1）可得，再利用累加法可求得結(jié)果；（3）由（2）得，利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樵跀?shù)列中，，，且，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）得，則，得，即．又符合，所以（或）．（3）由（2）知，所以.20．（2324高二上·河南洛陽·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由得，，即，進(jìn)而證得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）由（1）知，，則，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可．【詳解】（1）由得，，即，又，，，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，，，則，，數(shù)列的前項(xiàng)和．題型八、錯位相減法21．（2324高二上·河北石家莊·期末）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由已知等式變形可得出，利用等差中項(xiàng)法可證得結(jié)論成立，確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，等式兩邊同時(shí)乘以可得，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列.且，，等差數(shù)列公差為，所以，，故.（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則，所以，，兩式相減可得，所以.22．（2324高二上·湖南長沙·期末）在數(shù)列中，.(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列.(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證.【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件得到，又，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)（1）得到，從而有，利用錯位相減法，即可得到，再利用，即可證明結(jié)果.【詳解】（1）令，得，則，因?yàn)棰?，所以?①②得，即.又，得到，所以數(shù)列為常數(shù)列.（2）由（1）可得，所以是公差為1的等差數(shù)列，所以.因?yàn)?，所以③，④，③④得，所以，又因?yàn)椋?，得證.題型九、分組（并項(xiàng)）求和法23．（2324高二上·河北衡水·期末）在數(shù)列中，，且.(1)若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義判斷可得答案；（2）由（1）求出得，再利用并組求和、等比數(shù)列求和可得答案.【詳解】（1），因?yàn)椋允且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，所以，所以．24．（2324高二上·河北石家莊·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）由（1）可得，利用分組求和以及裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，則，兩式相減得：，整理得，且為正項(xiàng)數(shù)列，可知，可得，即，可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，當(dāng)為奇數(shù)，則，可得，所以.題型十、含絕對值的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和25．（2324高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意滿足：，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求的值．【答案】(1)，(2).【分析】（1）利用時(shí)，及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）去絕對值后，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，又，所以，化簡得，即，即，所以，因?yàn)椋?，即，所以是首?xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，?26．（2122高二上·天津東麗·期末）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令.求(3)令，前項(xiàng)和為，求【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）設(shè)公差為d，后由題目條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得答案；（2）由（1）可得，后分，兩種情況求和即可得答案；（3）注意到，據(jù)此可得答案.【詳解】（1）設(shè)公差為d，因，則，則；（2）由（1）可得.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故；（3）由（1）可得，.則【專題強(qiáng)化】一、單選題27．（2324高二上·四川成都·期末）若數(shù)列滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由與的關(guān)系求得，從而為常數(shù)列，得到，即可求的值.【詳解】由及得，即，即，所以，即為常數(shù)列，又，所以，即，所以，所以.故選：B28．（2324高二上·河北石家莊·期末）設(shè)數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】數(shù)列中，由，得，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，，即，所以.故選：D29．（2324高二上·福建福州·期末）數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，化簡數(shù)列為，根據(jù)運(yùn)算規(guī)律，即可求解.【詳解】由數(shù)列，可得化為，可得數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為.故選：C.30．（2324高二上·湖北武漢·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再通過恒成立求的取值范圍.【詳解】由得，兩式相減得，即，又，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，若數(shù)列是遞增數(shù)列則恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以.故選：B.31．（2324高二上·福建三明·期末）已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，若，，，則（

）A．150 B．100 C．200 D．5050【答案】C【分析】利用之間得關(guān)系，結(jié)合累乘法求出，再表示出，利用，再求和即可.【詳解】結(jié)合題意可得：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，由可得，即，易知，所以，又滿足，故.所以，易知，所以.故選：C.32．（2324高二上·山東濟(jì)南·期末）2023年10月29日，“濟(jì)南泉城馬拉松”在濟(jì)南大明湖路拉開序幕，約3萬名選手共聚一堂，在金秋十月享受了一場酣暢淋漓的馬拉松盛會．某贊助商在沿途設(shè)置了10個飲水補(bǔ)給站，第一個補(bǔ)給站準(zhǔn)備了1千瓶飲用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此類推，第n站比第站多n千瓶（且），第10站準(zhǔn)備的飲用水的數(shù)量為（

）A．45千瓶 B．50千瓶 C．55千瓶 D．60千瓶【答案】C【分析】設(shè)第站的飲用水的數(shù)量為，由題意得：，，，，，然后利用累加法即可求解.【詳解】設(shè)第站的飲用水的數(shù)量為，由題意得：，，，，，以上等式相加得：，，即.故選：C33．（2324高二上·北京海淀·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】D【分析】先利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，顯然，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)仍成立，，AB說法錯誤；令，則，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，C說法錯誤；令，則，又由可得，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，D說法正確；故選：D34．（2324高二上·河北邯鄲·期末）已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用構(gòu)造法、等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列求和中的分組求和法及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D.35．（2324高二上·廣東深圳·期末）符號表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，．?dāng)?shù)列滿足，，．若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出的通項(xiàng)公式，并確定其取值范圍求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可得解.【詳解】由，得，而，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，即，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足上式，因此，而，，則，顯然，于是，則，因此，所以.故選：B【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：裂項(xiàng)求和，使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．二、多選題36．（2324高二上·安徽宣城·期末）已知等差數(shù)列滿足，前3項(xiàng)和，則（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為B．?dāng)?shù)列的公差為C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為D．?dāng)?shù)列的前20項(xiàng)和為56【答案】BCD【分析】首先由條件，建立關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，即可求解首項(xiàng)和公差，再代入求通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可判斷ABC，再去絕對值，求數(shù)列的前20項(xiàng)和，即可判斷D.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得：，，所以，故A錯誤，B正確；，故C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，，，故D正確.故選：BCD37．（2324高二上·江蘇連云港·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，則（

）A． B．C． D．為奇數(shù)時(shí)，【答案】ABD【分析】由題設(shè)有，討論的奇偶性，結(jié)合等差數(shù)列定義、前n項(xiàng)和公式判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由，則，兩式作差，得，，當(dāng)為奇數(shù)，是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，即；，當(dāng)為偶數(shù)，是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，即；所以，A對，，B對；，C錯；為奇數(shù)時(shí)，，D對.故選：ABD38．（2324高二下·全國·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則（

）A．為等差數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．的前項(xiàng)和D．的前項(xiàng)和【答案】BCD【分析】由得，所以可知數(shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，從而可求出，可得數(shù)列為遞增數(shù)列，利用錯位相減法可求得的前項(xiàng)和，由于，從而利用等差數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】由，得，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A錯誤；因?yàn)椋?，顯然遞增，故B正確；因?yàn)?，，所以，故，故C正確；因?yàn)?，所以的前?xiàng)和，故D正確．故選：BCD．39．（2324高二上·福建泉州·期末）已知分別是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)與的關(guān)系推得，從第2項(xiàng)開始，是等比數(shù)列，結(jié)合的值求得，即可得出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而判斷A、B；代入已知得出的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和判斷C項(xiàng)；放縮法，即可得出D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以.故A正確.對于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有，，兩式作差可得，，所以，.所以，從第2項(xiàng)開始，是以2為公比的等比數(shù)列，所以，.檢驗(yàn)，時(shí)，，所以，.故B錯誤；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以?故C正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)恒成立，所以，，當(dāng)時(shí)恒成立.又時(shí)，滿足，所以，.故D正確.故選：ACD.40．（2324高二上·河南洛陽·期末）數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列正確的是（

）A．是數(shù)列中的項(xiàng)B．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】BCD【分析】由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求得，由數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，求得，結(jié)合數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和、錯位相減法求和，可得結(jié)論．【詳解】解：數(shù)列滿足，，可得，即有，即，由，可得，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減可得，即為，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，故B正確；令，解得，不為整數(shù)，故A錯誤；，則，故C正確；，，，兩式相減可得，化為，故D正確．故選：BCD．三、填空題41．（2324高二上·河南洛陽·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且，則滿足的最小正整數(shù)的值為．【答案】【分析】利用，結(jié)合等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，可得，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，利用結(jié)果求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，有，所以；當(dāng)時(shí)，由，得，即，則有數(shù)列是等差數(shù)列，其中公差為，首項(xiàng)為，可得，即，所以，若，則，即，因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以滿足的最小正整數(shù)的值為．故答案為：．42．（2324高二上·江蘇常州·期末）已知等差數(shù)列的公差不為，其前項(xiàng)和為，且、、成等比數(shù)列，則．【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，求出、，根據(jù)題意可得出，可得出、的等量關(guān)系，進(jìn)而可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，因?yàn)?、、成等比?shù)列，則，則，所以，，可得，又因?yàn)?，則，則，則，所以，.故答案為：.43．（2324高二上·福建泉州·期末）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，，，則.【答案】582【分析】根據(jù)題意整理該數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的遞推公式，利用迭代法可得其通項(xiàng)公式，代入題目中遞推公式，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得答案.【詳解】由已知可得所以，于是．故，即，所以，所以故答案為：．44．（2324高二上·福建福州·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】由的關(guān)系仿寫作差得到，再由錯位相減法得到，最后由不等式恒成立問題和解一元二次不等式求出即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；作差可得，則數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，所以.，，以上兩式相減可得，則，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得或，故答案為?45．（2324高二上·福建福州·期末）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】先求得，然后求得，進(jìn)而求得，求得的最小值，由此解不等式求得的取值范圍.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也符合上式，所以.則，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列，最小值為，所以，，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】已知的表達(dá)式，求的通項(xiàng)公式，可以利用來進(jìn)行求解，在求解的最后，要注意驗(yàn)證首項(xiàng).形如的數(shù)列求和，可以考慮利用裂項(xiàng)求和法來進(jìn)行求解，實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的進(jìn)一步運(yùn)用.四、解答題46．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由是公差為2的等差數(shù)列，求得，結(jié)合和的關(guān)系，即可求解；（2）由（1）知，求得，結(jié)合關(guān)于單調(diào)遞增，以及，即可求解．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，又由，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）證明：由（1）知，所以，又由，所以關(guān)于單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，所以，所以?7．（2024·天津·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，是與的等差中項(xiàng).(1)求和的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)得到是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可求出的通項(xiàng)；（2）由（1）可得，利用錯位相減法計(jì)算可得；（3）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法及分組求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，解得或（舍去），又是與的等差中項(xiàng)，所以，即，即，解得（負(fù)值舍去），所以.（2）由（1）可得，所以，所以，所以，所以.（3）由（1）可得，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上可得.48．（2324高二上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：對任意的成立．(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．(3)證明：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）將條件變形，可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，據(jù)此可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)其為等差數(shù)列可得結(jié)論；（2）利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可；（3）利用裂項(xiàng)相消法可求和并證明不等式.【詳解】（1）由得，即，即，故數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，所以，整理得，即數(shù)列為等差數(shù)列，所以；（2）由（1）得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；（3）由（1），所以因?yàn)?，所?49．（2324高三上·江西·期末）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，的項(xiàng)和為且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)：(2)若，，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，先驗(yàn)證不符合要求，然后再由列出方程，即可求得，從而得到通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意，可得，其奇數(shù)次項(xiàng)依次構(gòu)成一個首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，而偶數(shù)次項(xiàng)依次構(gòu)成一個首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，然后結(jié)合數(shù)列求和的公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）由題意，若，由首項(xiàng)，可知，，此時(shí)