甘肅省會寧一中高三下學期3月份測試數學（理）試題

會寧一中2018屆高三3月份測試卷高三理科數學（一）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖，把一枚質地均勻、半徑為1的圓形硬幣拋擲在一個邊長為10的正方形托盤內，已知硬幣平放在托盤上且沒有任何部分在托盤外，則該硬幣完全落在托盤內部內的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如圖所示，當硬幣的圓心落在邊長為的正方形內部時，硬幣平放在托盤上且沒有任何部分在托盤外，當硬幣的圓心落在邊長為的正方形內部時，該硬幣完全落在托盤內部內，結合幾何概型計算公式可得滿足題意的概率值：.本題選擇B選項.點睛：數形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵，用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，據此求解幾何概型即可.2.已知復數滿足，為的共軛復數，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得：∴，，故選：A3.如圖，當輸出時，輸入的可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】當輸出時，此時4=，即，由，可得：，即，同理：。故選:B4.已知為銳角，，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，可得：又，∴∴的取值范圍為故選：C5.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意得：，∴故選：D6.的展開式中，的系數為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的通項為：的展開式中，的系數為故選：B點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數.7.已知正項數列滿足，設，則數列的前項和為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，可得：，又，∴，∴∴∴數列的前項和故選：C8.如圖，網格紙上正方形小格的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的最長棱的長度為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，如圖所示：，故選：D點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.9.已知數列的前項和為，且滿足，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，、,,∴故選：A10.已知函數是定義在上的偶函數，，當時，，若，則的最大值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由函數是定義在上的偶函數，，可得：，即，故函數的周期為12.令，解得，∴在上的根為5，7；又，∴的最大值在上，即.故選：D11.已知拋物線的焦點為，過點作互相垂直的兩直線，與拋物線分別相交于，以及，，若，則四邊形的面積的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由拋物線性質可知：，又，∴，即設直線AB的斜率為k（k≠0），則直線CD的斜率為．直線AB的方程為y=k（x﹣1），聯立，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，從而，=1，由弦長公式得|AB|=，以換k得|CD|=4+4k2，故所求面積為≥32（當k2=1時取等號），即面積的最小值為32．故選：C12.已知，方程與的根分別為，，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】方程的根，即與圖象交點的橫坐標，方程的根，即與圖象交點的橫坐標，而的圖象關于直線軸對稱，如圖所示：∴，∴，又，∴故選：A點睛：本題充分利用了方程的根與圖象交點的關系，把問題轉化為“形”的問題，而的圖象關于直線軸對稱，從而兩根之間滿足，目標函數即可轉化為關于的函數的最值問題.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.已知，，，且向量，的夾角是，則________．【答案】【解析】由題意可得：，則：，，，即：，整理可得：.14.已知實數，滿足，則的最大值是________．【答案】7【解析】作出可行域，如圖所示：當直線經過點B時，最大，即，故答案為：7點睛：本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實質是把代數問題幾何化，即數形結合思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域;二，畫目標函數所對應的直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標函數的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.15.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于，兩點，，分別交軸于，兩點，若的周長為，則的最大值為________．【答案】【解析】由題意，△ABF2的周長為32，∵|AF2|+|BF2|+|AB|=32，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|=，∴=32﹣4a，∴，∴，令，則，令m=，則當m=時，的最大值為故答案為：16.如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的表面積為________．【答案】【解析】設，則，，，，當且僅當，即時，等號成立.,故答案為：4三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，，，分別為內角，，的對邊，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)利用正弦定理及兩角和正弦公式即可求得角的大?。?2)由（1）知，又，易求得，由正弦定理求得，進而得到的面積.試題解析：（1）由及正弦定理得，，即，又，所以，又，所以.（2）由（1）知，又，易求得，在中，由正弦定理得，所以.所以的面積為.18.如圖，在直三棱柱中，，，點為的中點，點為上一動點．（1）是否存在一點，使得線段平面？若存在，指出點的位置，若不存在，請說明理由．（2）若點為的中點且，求二面角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）存在點，且為的中點．連接，，由三角形中位線的性質可得，結合線面平行的判定定理可得平面．（2）由題意結合勾股定理可求得．以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，可得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，據此計算可得二面角的正弦值為．..............................試題解析：（1）存在點，且為的中點．證明如下：如圖，連接，，點，分別為，的中點，所以為的一條中位線，，又平面，平面，所以平面．（2）設，則，，，由，得，解得．由題意以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，可得，，，，故，，，．設為平面的一個法向量，則得令，得平面的一個法向量，同理可得平面的一個法向量為，故二面角的余弦值為．故二面角的正弦值為．19.某城市為鼓勵人們綠色出行，乘坐地鐵，地鐵公司決定按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優(yōu)惠政策，不超過站的地鐵票價如下表：乘坐站數票價（元）現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過站．甲、乙乘坐不超過站的概率分別為，；甲、乙乘坐超過站的概率分別為，．（1）求甲、乙兩人付費相同的概率；（2）設甲、乙兩人所付費用之和為隨機變量，求的分布列和數學期望．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：(1)由題意知甲乘坐超過站且不超過站的概率為，乙乘坐超過站且不超過站的概率為，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙兩人付費相同的概率；(2)由題意可知的所有可能取值為：，，，，.求得相應的概率值，即可得到的分布列和數學期望.試題解析：（1）由題意知甲乘坐超過站且不超過站的概率為，乙乘坐超過站且不超過站的概率為，設“甲、乙兩人付費相同”為事件，則，所以甲、乙兩人付費相同的概率是.（2）由題意可知的所有可能取值為：，，，，.，，，，.因此的分布列如下：所以的數學期望.點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布X～B(n，p))，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.20.在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的上頂點和右焦點，的面積為，直線與橢圓交于另一個點，線段的中點為．（1）求直線的斜率；（2）設平行于的直線與橢圓交于不同的兩點，，且與直線交于點，求證：存在常數，使得．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：(1)由題意得到橢圓的方程為.直線的方程為，聯立消去得，從而得線段的中點，進而得到直線的斜率；(2)設直線的方程為.聯立方程得到同理得到，∴存在常數，使得.試題解析：（1）因為橢圓的離心率為，所以，即，，所以，，所以，所以，所以橢圓的方程為.直線的方程為，聯立消去得，所以或，所以，從而得線段的中點.所以直線的斜率為.（2）由（1）知，直線的方程為，直線的斜率為，設直線的方程為.聯立得所以點的坐標為.所以，.所以.聯立消去得，由已知得，又，得.設，，則，，，.所以，，故.所以.所以存在常數，使得.21.已知函數，．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）證明：．【答案】（1）的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）見解析.【解析】試題分析：(1)由題易知解不等式得到函數的單調區(qū)間；(2)要證，即證.易知：，，從而得證.試題解析：（1）由題易知，當時，，當時，，所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2）的定義域為，要證，即證.由（1）可知在上遞減，在上遞增，所以.設，，因為，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，而，所以.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22.[選修44：坐標系與參數方程]在平面直角坐標系中，已知直線：（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設點的極坐標為，直線與曲線的交點為，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）直接由直線的參數方程消去參數t得到直線的普通方程；把等式兩邊同時乘以ρ，代入x=ρcosθ，ρ2=x2+y2得答案；（Ⅱ）把直線的參數方程代入圓的普通方程，利用直線參數方程中參數t的幾何意義求得的值．試題解析：（1）把展開得，兩邊同乘得①.將，，代入①即得曲線的直角坐標方程為②.（2）將代入②式，得，易知點的直角坐標為.設這個方程的兩個實數根分別為，，則由參數的幾何意義即得.23.[選修45：不等式選講]已知函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）通過討論x的范圍，得到各個區(qū)間上的x的范圍，取并集