2024-2025學(xué)年試題數(shù)學(xué)（選擇性人教A版2019）第2章2-4-2圓的一般方程

2.4.2圓的一般方程課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.圓x2+y22x+6y+8=0的周長(zhǎng)等于()A.2π B.2π C.22π D.4π解析:由圓的方程x2+y22x+6y+8=0,得圓的半徑是2,則圓的周長(zhǎng)等于22π.答案:C2.若直線3x+y+a=0過(guò)圓x2+y2+2x4y=0的圓心,則a的值為()A.1 B.1 C.3 D.3解析:由圓的方程x2+y2+2x4y=0,可得圓心(1,2).已知直線3x+y+a=0過(guò)圓心,將圓心坐標(biāo)(1,2)代入直線方程3x+y+a=0,得a=1.答案:B3.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲線為圓,則有()A.A=C≠0B.D2+E24AF>0C.A=C≠0,且D2+E24AF>0D.A=C≠0,且D2+E24AF≥0答案:C4.當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=1上移動(dòng)時(shí),它與定點(diǎn)Q(3,0)的連線PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是()A.(x+3)2+y2=4 B.(x3)2+y2=1C.(2x3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1解析:設(shè)P(x0,y0),線段PQ的中點(diǎn)(x,y),則x=x0+32,于是有x0=2x3,y0=2y.①由已知得(x0,y0)滿足方程x2+y2=1,②把①代入②得(2x3)2+(2y)2=1.答案:C5.(多選題)已知點(diǎn)E(1,0)在圓x2+y24x+2y+5k=0的外部,則k的值可以為()A.35 B.5C.67 D.解析:圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2+(y+1)2=55k,所以55k>0,得k<1,因?yàn)辄c(diǎn)E(1,0)在圓的外部,所以124+5k>0,得k>35,綜上可得35<k<答案:BC6.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,4)為圓心,4為半徑的圓,則F=.

解析:由題意得-解得D=4,E=8,F=4.答案:47.如果圓的方程為x2+y2+kx+2y+k2=0,且圓的面積為π,那么圓心坐標(biāo)為.

解析:因?yàn)閳Ax2+y2+kx+2y+k2=0的面積為π,所以圓的半徑為1,即12k2+22所以圓的方程為x2+y2+2y=0,得圓心坐標(biāo)為(0,1).答案:(0,1)8.設(shè)圓x2+y24x+2y11=0的圓心為A,點(diǎn)P在圓上,則線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程是.

解析:圓的方程可化為(x2)2+(y+1)2=16,表示以(2,1)為圓心,4為半徑的圓.由題意知點(diǎn)M的軌跡是以(2,1)為圓心,2為半徑的圓,則點(diǎn)M的軌跡方程是(x2)2+(y+1)2=4.答案:(x2)2+(y+1)2=49.如圖所示,從點(diǎn)A(4,0)引圓x2+y2=4的割線ABC,求弦BC的中點(diǎn)P的軌跡方程.解:設(shè)P(x,y),連接OP.∵P為弦BC的中點(diǎn),O為圓心,∴OP⊥BC.當(dāng)x≠0時(shí),kOP·kAP=1,即yx·yx-4=1,即x2+y24x=0(當(dāng)x=0時(shí),點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0)滿足方程①,∴弦BC的中點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y24x=0(0≤x<1).10.求經(jīng)過(guò)A(4,2),B(1,3)兩點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是2的圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.令y=0,得x2+Dx+F=0,則圓在x軸上的截距之和為x1+x2=D.令x=0,得y2+Ey+F=0,則圓在y軸上的截距之和為y1+y2=E.由題意知x1+x2+y1+y2=(D+E)=2,∴D+E=2.①又點(diǎn)A(4,2),B(1,3)在圓上,∴16+4+4D+2E+F=0,②1+9D+3E+F=0.③由①②③解得D=2,E=0,F=12.故所求圓的方程為x2+y22x12=0.B組1.已知A(2,0),B(1,0)兩定點(diǎn),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,那么點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A.π B.4π C.8π D.9π解析:設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則由|PA|=2|PB|,得(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,化簡(jiǎn)得(x2)2+y2=答案:B2.要使圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩側(cè),則有()A.D=0,F=0 B.F>0C.D≠0,F≠0 D.F<0解析:令方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的y=0,得x2+Dx+F=0.由題意知,方程x2+Dx+F=0有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根,即兩根之積小于0,所以F<0.此時(shí)D2+E24F>0,Δ=D24F>0,符合題意.答案:D3.若圓x2+y2+2ax4ay+5a24=0上的所有點(diǎn)都在第二象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(∞,2) B.(∞,1)C.(1,+∞) D.(2,+∞)解析:方程x2+y2+2ax4ay+5a24=0可化為(x+a)2+(y2a)2=4,則圓心坐標(biāo)為(a,2a),半徑為2.由題意知-a<0,2a>0,答案:D4.已知圓C:x2+y2+2x+ay3=0(a為實(shí)數(shù))上任一點(diǎn)關(guān)于直線l:xy+2=0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上,則a=.

解析:由題意得圓C的圓心-1,-a2在直線xy+2將圓心坐標(biāo)-1,-a2代入直線方程,得1-a2+2答案:25.由關(guān)于x,y的方程x2+y2+x+(m1)y+12m2=0所確定的圓中,最大圓的面積是.解析:所給圓的半徑r=121+(所以當(dāng)m=1時(shí),半徑r取最大值32,此時(shí)圓最大,最大圓的面積是3答案:36.已知圓C過(guò)點(diǎn)A(6,0),B(1,5),且圓心在直線l:2x7y+8=0上.(1)求圓C的方程;(2)P為圓C上的任意一點(diǎn),定點(diǎn)Q(8,0),求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.解:(1)(方法一)直線AB的斜率k=5-0所以線段AB的垂直平分線m的斜率為1.線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為6+12,0+52因此,直線m的方程為y52=x72,即xy1=因?yàn)閳A心在直線l上,所以圓心是直線m與直線l的交點(diǎn).解方程組x所以圓心坐標(biāo)為C(3,2).從而半徑r=|CA|=13,所以圓C的方程是(x3)2+(y2)2=13.(方法二)設(shè)圓C的方程為(xa)2+(yb)2=r2.由題意得(6-所以圓C的方程是(x3)2+(y2)2=13.(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)M(x,y),P(x0,y0),則x將點(diǎn)P(2x8,2y)代入圓C的方程,得(2x83)2+(2y2)2=13,即線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為x-1122+(y1)7.已知圓的方程是x2+y2+2(m1)x4my+5m22m8=0.(1)求此圓的圓心坐標(biāo)與半徑;(2)求證:不論m為何實(shí)數(shù),它們表示圓心在同