數(shù)學4自主訓練：任意角的三角函數(shù)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1.當α為第二象限角時，的值是（)A。1B。0C思路解析：利用三角函數(shù)值在各象限的符號，去掉絕對值?！擀翞榈诙笙藿?，∴sinα>0，cosα<0.故=2。答案：C2。a2sin（—1350°）+b2tan405°—（a—b)2cot765°-2abcos(—1080°)等于(）A.0B。-1C。a2D。b思路解析:利用三角函數(shù)誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為0—2π間的三角函數(shù),利用特殊角三角函數(shù)值代值計算。即a2sin90°+b2tan45°-(a—b)2cot45°—2abcos0°=a2+b2—（a-b)2—2ab=0.答案:A3。已知角α的終邊在射線y=—3x(x≥0）上，則sinαcosα等于(）A.B。C。D.思路解析:根據(jù)三角函數(shù)的定義，在終邊上取點求值。在α終邊上取一點P（1,—3),此時x=1，y=—3,∴r=。∴sinα=，cosα==.∴sinαcosα=.答案：A4.在［0，2π］上滿足sinx≥的x的取值范圍是(）A。［0,］B.［，］C。［,］D。［，π］思路解析:利用單位圓解不等式。按“等號”畫出適合的角的終邊,按“不等號”畫出適合的角的終邊(或終邊與單位圓的交點組成的弧段），按弧段在函數(shù)的定義域內(nèi)寫出相應的不等式.如圖1—2—8所示，當sinx=時,圖1—2-8∠P2OM2=，∠P1OM1=π—=，又由三角函數(shù)定義，知sinx=，∴要使sinx≥，只要y≥即可.∴x的取值范圍是≤x≤。答案：B5.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是()A.cosα=cosβB。cosα=-cosβC。sinα=—sinβD。以上都不對思路解析：利用誘導公式中π-α與α的關(guān)系即可推導.cosα=cos（180°-β)=—cosβ。答案：B6?；喌慕Y(jié)果是()A.sin3—cos3B.cos3-sin3C.±（sin3—cos3）D。以上都不對思路解析:用誘導公式化簡后,配成完全平方形式。=|cos3—sin3|?！摺?〈π，∴sin3>0>cos3?！嘣?sin3—cos3.答案：A7。設A、B、C是一個三角形的三個內(nèi)角，則：①sin(A+B)—sinC;②cos（A+B)+cosC；③tan（A+B)+tanC；④cot(A+B）—cotC。這四個式子中值為常數(shù)的有（C≠)(）A.1個B。2個C.3個D.4個思路解析:利用三角形內(nèi)角和定理,結(jié)合誘導公式即可推導.∵A+B+C=π，∴A+B=π—C.∴sin（A+B)=sin(π-C)=sinC，cos（A+B)=cos（π—C)=—cosC,tan(A+B）=tan（π-C）=-tanC，cot(A+B）=cot（π—C)==—cotC?！嗌鲜鏊膫€式子中①②③式的結(jié)果都是常數(shù)0.答案:C8.tan300°+sin450°的值是（)A。1+B。1-C.-1—D。-1+思路解析:利用誘導公式將角化到銳角范圍，由特殊角的三角函數(shù)值即可求解。tan300°+sin450°=tan（360°—60°）+sin(360°+90°）=-tan60°+sin90°=1-。答案：B9.sinθ和cosθ為方程2x2-mx+1=0的兩根，則等于_____________.思路解析:由根與系數(shù)的關(guān)系及三角函數(shù)基本關(guān)系式求出m,進而得出sinθ、cosθ的關(guān)系式，代入所求式子的化簡式即可?！遱inθ和cosθ為方程2x2—mx+1=0的兩根,∴sinθ+cosθ=，sinθcosθ=。∴1=-1.∴m=±.∴sinθ+cosθ=±。∴=±。答案:±我綜合我發(fā)展10.化簡:+sin(—θ)。思路分析：由三角函數(shù)誘導公式，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡即可.解:+sin(—θ)=+sin（-θ)=-sinθ=-sinθ=1-sinθ.11。已知θ為銳角,用三角函數(shù)定義證明1〈sinθ+cosθ≤.思路分析：運用三角函數(shù)的定義將三角函數(shù)表示為比值，從而將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題而獲得解決，這種方法是值得注意的。證明：在角θ的終邊上任取一點P（x，y）（異于原點)，則sinθ=，cosθ=.∵θ為銳角,∴x>0，y>0。于是sinθ+cosθ=≤。又sinθ+cosθ=〉1.∴1〈sinθ+cosθ≤。12.判斷函數(shù)y=Asin（+x）(A≠0)的奇偶性。思路分析：先化簡，然后利用奇偶性定義作出判斷.解：y=Asin(+）=Asin（6π++）=Asin(+）=Asin（π++）=-Asin(+)=—Acos.∴f（—x)=—Acos（—)=-Acos=f(x）.∴函數(shù)y=Asin(+)(A≠0）為偶函數(shù)。13。已知函數(shù)f(n）=sin（n∈Z)，求f(1）+f(2)+f(3)+…+f(102)的值.思路分析：如果將n=1，2，3，4，…，102分別代入計算，顯然比較復雜,若注意到f（n）的周期性，將會使運算大大簡化。解：由誘導公式,知sin（π）=sin(+2π)=sin,∴f(n+12）=f（n），且f(1)+f（2)+f（3）+…+f(12）=0,102=12×8+6.∴f(1）+f（2)+f（3）+…+f(102)=f(1)+f（2）+f(3）+…+f(6)=sin+sin+…+sin=2+。14。已知tanα、是關(guān)于x的方程3x2—3kx+3k2-13=0的兩實根,且3π<α<,求cos(3π+α）+sin（π+α)的值.思路分析:利用誘導公式，知求原式的值即求—（cosα+sinα)的值，而由勾股定理可得關(guān)系式1=tanα=(3k2-13）,求出k后,代入關(guān)系式tanα+=k,這樣,本題的關(guān)鍵就是由已知tanα+的值來求cosα+sinα的值了。解:∵tanα、是關(guān)于x的方程3x2—3kx+3k2-13=0的兩實根，1=tanα=（3k2—13)，∴k2=（當k2=時,Δ=9k2—4×3(3k2—13）>0).∵3π〈α〈，∴tanα>0，sinα〈0，cosα〈0.又tanα+==k，∴k〉0,故取k=.于是tanα+=+，即sinαcosα=.∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=.∵sinα+cosα<0，∴sinα+cosα=.于是cos(3π+α)+sin(π+α）=cos(π+α)+sin（π+α）=-（cosα+sinα）=。15.如圖1-2-9,某大風車的半徑為2m，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點O離地面0。5m，風車圓周上一點A從最低點O開始,運動t秒后與地面的距離為hm。你能想個辦法，求A點距地面的高度h與轉(zhuǎn)動時間t之間的關(guān)系嗎？圖1-2-9思路分析:通過建立直角坐標系，在三角形中找到角與坐標的關(guān)系即可。解：如圖1-2-10,以O為原點，過點O的切線為x軸建立平面直角坐標系。設點A坐標為（x，y）,則h=y+0。5。圖1—2-10設∠OO1A=θ,則cosθ=,y=-2cosθ+2.又θ=×t=,∴y=—2cos+2?！鄅=-2cos+2.5。16.是否存在角α、β，α∈（，),β∈（0,π），使同時成立？思路分析：先利用誘導公式化簡已