高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表講義

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)

分析之隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表

一'知識點(diǎn)講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)

1.簡單隨機(jī)抽樣

(1)分類：放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣.除非特殊說明，本章所稱的簡單隨

機(jī)抽樣指不放回簡單隨機(jī)抽樣.

(2)常用方法：①抽簽法和②隨機(jī)數(shù)法.

辨析比較

1.抽簽法和隨機(jī)數(shù)法的異同：(1)都是逐個、不放回抽樣；(2)總體中個體數(shù)不多時選

擇抽簽法，總體量較大，樣本量較小時選擇隨機(jī)數(shù)法.

2.能否用抽簽法，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.

2.分層隨機(jī)抽樣

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總

體，在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作

為總樣本，這樣的抽樣方法稱為③分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為④層.在分層

隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為⑤—

比例分配.

辨析比較

簡單隨機(jī)抽樣與分層隨機(jī)抽樣的辨析

抽樣方法共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍

簡單隨

(1)抽樣過程從總體中逐個抽取.分層隨機(jī)抽樣本容量較小.

機(jī)抽樣

中每個個體被抽樣在各層抽

總體可以分層，

到的機(jī)會均等；將總體分成互不交樣時可采用

分層隨層與層之間有明

(2)都是不放叉的層，分層進(jìn)行簡單隨機(jī)抽

機(jī)抽樣顯區(qū)別，而層內(nèi)

回抽樣.抽取.樣.

個體間差異較小.

3.統(tǒng)計(jì)圖表

(1)常見的統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布表、頻率分布直方圖等.

(2)頻率分布直方圖的制作步驟

a.求極差.極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的⑥差

b.決定組距與組數(shù).當(dāng)樣本量不超過100時，常分成5?12組.為方便起見，一般取等長組

距，并且組距應(yīng)力求“取整”.

c.將數(shù)據(jù)分組.使第一組的左端點(diǎn)略小于數(shù)據(jù)中的最小值，最后一組的右端點(diǎn)略大于數(shù)據(jù)中

的最大值.

d.列頻率分布表.計(jì)算各小組的頻率，作出頻率分布表.

e.畫頻率分布直方圖.在頻率分布直方圖中，縱軸表示⑦舞.

SHitE

二'基礎(chǔ)題練習(xí)

1.下列說法正確的是（D）

A.從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本是簡單隨機(jī)抽樣

B.某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽是簡單隨機(jī)抽樣

C.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，可用抽簽法

D.某校有2000名學(xué)生，其中高一年級700人，高二年級600人，高三年級700人，現(xiàn)從中

抽取20人了解學(xué)生在校學(xué)習(xí)壓力的情況，可用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取

解析A選項(xiàng)，不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)轭}中被抽取的總體中的個體數(shù)是無限的，而不是

有限的；B選項(xiàng)，不是簡單隨機(jī)抽樣，個子最高的5名同學(xué)是確定的，不是等可能抽樣；C

選項(xiàng)是簡單隨機(jī)抽樣，但總體中的個體數(shù)太多，不宜采用抽簽法；D選項(xiàng)，三個年級的學(xué)

生個體差異比較明顯，所以適用分層隨機(jī)抽樣.

2.某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1500輛，6000輛和2000輛.為檢驗(yàn)該公司這

三種型號轎車的質(zhì)量，公司質(zhì)檢部要抽取57輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則下列說法錯誤的是（B）

A.應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取

B.應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣抽取

C.三種型號的轎車依次應(yīng)抽取9輛，36輛，12輛

D.這三種型號的轎車，每一輛被抽到的可能性相等

解析由題知，該公司質(zhì)檢部要對三種型號的轎車抽取57輛進(jìn)行檢驗(yàn)，所以該檢驗(yàn)應(yīng)采用

分層隨機(jī)抽樣的方法，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯誤.對于選項(xiàng)C,1500+6000+2000=9

500（輛），所以三種型號的轎車依次應(yīng)抽取57X11*=9（輛），57X黑=36（輛），

57X|^=12（輛），故選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D,分層隨機(jī)抽樣中每一輛轎車被抽到的可

能性相等，故選項(xiàng)D正確.故選B.

3.中國古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝.明代會試分南卷、北卷、中卷，

按11：7：2的比例錄取，若某年會試錄取人數(shù)為100,則中卷錄取人數(shù)為（A）

A.10B.35C.55D.75

解析由題意知，會試錄取人數(shù)為100,則中卷錄取人數(shù)為100X五亮工=1°.

4.［教材改編］某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單

位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），由圖中數(shù)

據(jù)可知a=0030.若要從身高在「120,130）,［130,140）,

［140,150］三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層隨機(jī)抽樣的方法選取18人參

加一項(xiàng)活動，則從身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為_

3.

解析因?yàn)轭l率分布直方圖中的各個小矩形的面積之和為1,所以有10X（0.005+0.035+

G+0.020+0.010）=1,解得a=0.030.（求頻率之和時，切勿忘記乘以組距）

由頻率分布直方圖可知，身高在［120,130）,［130,140）,［140,150］三組內(nèi)的學(xué)生總

數(shù)為100X10X（0.030+0.020+0.010）=60,其中身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為

100X10X0.010=10.

所以從身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為Uxi8=3.（抽樣比=

60

______________身高在［140,150］內(nèi)的人數(shù)_____________）

身高在［120,130）,［130,140）,［140,150］三組內(nèi)的總?cè)藬?shù),

三'知識點(diǎn)例題講解及方法技巧總結(jié)

命題點(diǎn)1隨機(jī)抽樣

角度1簡單隨機(jī)抽樣

例1（1）下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機(jī)抽樣的是（B）

A.從平面直角坐標(biāo)系中抽取5個點(diǎn)作為樣本

B.盒子里共有80個零件，從中抽取5個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).在抽樣時，從中任意拿出一個零

件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后不再把它放回盒子里

C.從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

D.某班有50名學(xué)生，指定數(shù)學(xué)成績排名前三的3名學(xué)生參加學(xué)校組織的數(shù)學(xué)競賽

解析A不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)楸怀槿颖镜目傮w的個數(shù)是無限的，而不是有限的.B是

簡單隨機(jī)抽樣.C不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)檫@是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取.D不

是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)椴皇堑瓤赡艹闃?

（2）設(shè)某總體由編號為01,02,19,20的20個個體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取

5個個體，選取方法是從下面隨機(jī)數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開始，從左到右依次選取兩個

數(shù)字，則選出來的第5個個體編號為03.

1818079245441716580779838619

6216765003105523640505266238

解析由題意得，選出來的這5個個體的編號依次是07,17,16,19,03,所以選出來的

第5個個體編號為03.

方法技巧

(1)簡單隨機(jī)抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；②逐個抽取；③等可能抽

取.

(2)用隨機(jī)數(shù)法選取樣本時，要剔除重復(fù)的編號并重新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號

個數(shù)等于樣本所需要個數(shù).

角度2分層隨機(jī)抽樣

例2(1)某中學(xué)有高中生960人，初中生480人，為了了解學(xué)生的身體狀況，采用分層隨

機(jī)抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取容量為”的樣本，其中高中生有24人，那么〃等于

(D)

A.12B.18C.24D.36

解析根據(jù)分層隨機(jī)抽樣方法知一--,解得"=36.

960+480960

(2)某口罩廠的三個車間在一個小時內(nèi)共生產(chǎn)3600個口罩，在出廠前要檢查這批口罩的

質(zhì)量，現(xiàn)決定采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從第一、二、三車間抽取的口罩個數(shù)

分別為。，b,c,且〃，4c成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的口罩個數(shù)為(C)

A.800B.1000C.1200D.1500

解析因?yàn)?。，b,c成等差數(shù)列，所以〃+c=2b,則第二車間生產(chǎn)的口罩個數(shù)為3

b

600X=3600x4=1200,故選C.

a+b+c

方法技巧

(1)在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，抽樣比=卷1=

總體谷量各鬟層個氏體總工量

(2)總體中各層的個體數(shù)之比等于樣本中相應(yīng)的各層抽取的樣本量之比.

訓(xùn)練1(1)“夸父一號”的成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了我國天基太陽探測衛(wèi)星跨越式突破，某中學(xué)

為此舉行了“講好航天故事”演講比賽.若將報名的30位同學(xué)按01,02,30進(jìn)行編

號，利用下面的隨機(jī)數(shù)表來決定他們的出場順序，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列

的數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選取的第5位同學(xué)的編號為(C)

45673212123107010852132001125129

32049234493582003623486969387481

A.23B.20C.13D.12

解析依次從隨機(jī)數(shù)表中選取的有效編號為12,07,01,08,13,故選取的第5位同學(xué)的

編號為13.故選C.

(2)［多選］已知某地區(qū)有小學(xué)生120000人，初中生75000人，高中生55000人，當(dāng)?shù)?/p>

教育部門為了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視率，按小學(xué)生、初中生、高中生進(jìn)行分層隨機(jī)抽

樣，抽取一個容量為2000的樣本，得到小學(xué)生、初中生、高中生的近視率分別為30%,

70%,80%.下列說法中正確的有(ABD)

A.從高中生中抽取了440人

B.每名學(xué)生被抽到的概率為喂

C.估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)生總體的平均近視率為60%

D.估計(jì)高中生的近視人數(shù)為44000

解析由題意，得每名學(xué)生被抽到的概率為該。。°+設(shè)。+55。。。=展，故B正確；從高中生

中抽取了55000X展=440（人），故A正確；估計(jì)高中生的近視人數(shù)為55000X80%=

44000,故D正確；學(xué)生總?cè)藬?shù)為250000人，小學(xué)生占比為||線=48%,同理，初中

生、高中生占比分別為30%,22%,在容量為2000的樣本中，小學(xué)生、初中生和高中生

分別有960人、600人和440人，則近視人數(shù)為960X30%+600X70%+440X80%=l

060,所以估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)生總體的平均近視率為黑=53%,故C錯誤.

命題點(diǎn)2統(tǒng)計(jì)圖表

角度1條形圖、扇形（餅）圖、折線圖

例3（1）［2023四川南充模擬］下圖是甲、乙兩人高考前10次數(shù)學(xué)模擬成績的折線圖，則

下列說法錯誤的是（C）

A.甲的數(shù)學(xué)成績最后3次逐漸升高

B.甲的數(shù)學(xué)成績在130分及以上的次數(shù)多于乙的數(shù)學(xué)成績在130分及以上的次數(shù)

C.甲有5次考試成績比乙高

D.甲數(shù)學(xué)成績的極差小于乙數(shù)學(xué)成績的極差

解析對于A,由題圖可知甲的最后三次數(shù)學(xué)成績逐漸升高，故A說法正確.對于B,甲的

數(shù)學(xué)成績在130分及以上的次數(shù)為6,乙的數(shù)學(xué)成績在130分及以上的次數(shù)為5,故B說法

正確.對于C,甲有7次考試成績比乙高，故C說法錯誤.對于D,由題圖可知，甲、乙兩人

的數(shù)學(xué)成績的最高成績相同，甲的最低成績?yōu)?20分，乙的最低成績?yōu)?10分，因此甲的

數(shù)學(xué)成績的極差小于乙的數(shù)學(xué)成績的極差，D說法正確.故選C.

（2）［多選4023濟(jì)南市模擬］某學(xué)校組建了辯論、英文劇場、民族舞、無人機(jī)和數(shù)學(xué)建模

五個社團(tuán)，高一學(xué)生全員參加，且每位學(xué)生只能參加一個社團(tuán).學(xué)校根據(jù)學(xué)生參加情況繪制

如下統(tǒng)計(jì)圖，已知參加無人機(jī)社團(tuán)和參加數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)相等，下列說法正確的

是（AC）

A.高一年級學(xué)生人數(shù)為120

B.參加無人機(jī)社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)為17

C.若按比例分層隨機(jī)抽樣從各社團(tuán)抽取20人，則從無人機(jī)社團(tuán)抽取的學(xué)生人數(shù)為3

D.若甲、乙、丙三人報名參加社團(tuán)，則共有60種不同的報名方法

解析由題中統(tǒng)計(jì)圖可知，參加民族舞社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)為12,占高一年級學(xué)生人數(shù)的

10%,所以高一年級學(xué)生人數(shù)為124-10%=120,所以參加英文劇場社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)為

120X35%=42,又參加辯論社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)為30,所以參加無人機(jī)社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)等于

參加數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)等于(120-42-30-12)4-2=18,故A正確，B不正確.若

按分層隨機(jī)抽樣從各社團(tuán)抽取20人，則從無人機(jī)社團(tuán)抽取的學(xué)生人數(shù)為20X哉=3,C正

確.若甲、乙、丙三人報名參加社團(tuán)，則每人有5種選法，共有53=125(種)不同的報名

方法，故D不正確.綜上所述，選AC.

方法技巧

統(tǒng)計(jì)圖表的主要應(yīng)用

(1)扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例.

(2)折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.

(3)條形圖和頻率分布直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.

角度2頻率分布直方圖

例4［2023長沙雅禮中學(xué)模擬］某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生一周在生活方

面的支出(單位：元)情況，抽出了一個容量為〃的樣本，其頻

IUI24-----■I

率分布直方圖如圖所示，其中支出在［50,60］內(nèi)的學(xué)生有60

人，則下列說法不正確的是(A)」.1.：..

U、而ib411MlM

A.樣本中支出在［50,60］內(nèi)的頻率為0.03

B.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132

C.n的值為200

D.若該校有2000名學(xué)生，則約有600人支出在［50,60］內(nèi)

解析設(shè)［50,60］對應(yīng)小長方形的高為x,則(0.01+0.024+0,036+^)X10=l,解得x=

0.03,所以樣本中支出在［50,60］內(nèi)的頻率為0.03X10=0.3,A選項(xiàng)錯誤.”=含=200,C

選項(xiàng)正確.

樣本中支出不少于40元的人數(shù)為200X(0.036+0.03)X10=132,B選項(xiàng)正確.該校有

2000名學(xué)生，則約有2000X0.3=600(人)支出在［50,60］內(nèi)，D選項(xiàng)正確.故選A.

方法技巧

與頻率分布直方圖相關(guān)的結(jié)論

(1)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.

(2)頻率分布直方圖中縱軸表示禁，故每組樣本的頻率為組距義禁，即該組小長方形的

組距組距

面積.

(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率X總數(shù).

訓(xùn)練2(1)［2023陜西省寶雞市質(zhì)檢］某市教育局為得到高三年級學(xué)生身高的數(shù)據(jù)，對高

三年級學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了1000名學(xué)生，他們的身高都在A,B,C,D,E五

個層次內(nèi)，分男、女生統(tǒng)計(jì)得到如下圖所示的樣本分布統(tǒng)計(jì)圖，則(B)

A.樣本中A層次的女生比相應(yīng)層次的男生人數(shù)多

B.估計(jì)樣本中男生身高的中位數(shù)比女生身高的中位數(shù)大

C.D層次的女生和E層次的男生在整個樣本中的頻率相等

D.樣本中B層次的學(xué)生人數(shù)和C層次的學(xué)生人數(shù)一樣多

解析設(shè)樣本中女生有y人，則男生有(1000-y)人，設(shè)女生身高頻率分布直方圖中的

組距為由(a+1.5a+2a+2.5o+3a)t=l,所以m=0.1,所以女生身高頻率分布直方圖

中A層次頻率為0.2,8層次頻率為0.3,C層次頻率為0.25,。層次頻率為0.15,E層次頻

率為0.1,所以樣本中A層次的女生人數(shù)為0.2y,男生人數(shù)為0.1(1000—y),由于y的

取值未知，所以無法比較A層次中男、女生人數(shù)，A錯誤；

。層次女生在女生樣本中頻率為0.15,所以在整個樣本中頻率為黑，E層次男生在男生

樣本中頻率為0.15,所以在整個樣本中頻率為；累一〃)，由于y的取值未知，所以無

法比較D層次的女生和E層次的男生在整個樣本中的頻率，C錯誤；

樣本中8層次的學(xué)生數(shù)為0.3y+0.25(1000—y)=250+0.05y,

樣本中C層次的學(xué)生數(shù)為0.25y+0.3(1000-y)=3OO-O.O5y,

由于y的取值未知，所以250+0.05y與300—0.05y可能不相等，D錯誤；

女生中A,B兩個層次的頻率之和為0.5,所以女生的樣本身高中位數(shù)為2,C層次的分界

點(diǎn)，而男生A,2兩個層次的頻率之和為0.35,A,B,C三個層次的頻率之和為0.65,顯

然中位數(shù)落在C層次內(nèi)，所以樣本中男生身高的中位數(shù)比女生身高的中位數(shù)大，B正確.故

選B.

（2）［多選Z2023南京市、鹽城市二模］新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混

合動力汽車、燃料電池電動汽車、氫發(fā)動機(jī)汽車等.我國的新能源汽車發(fā)展開始于21世紀(jì)

初，近年來發(fā)展迅速，連續(xù)8年產(chǎn)銷量位居世界第一.圖1,圖2分別是2017年至2022年

我國新能源汽車年產(chǎn)量和占比（占我國汽車年總產(chǎn)量的比例）情況，貝I（BCD）

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

圖1

圖2

A.2017—2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量逐年增加

B.2017—2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為626.4萬輛

C.2022年我國汽車年總產(chǎn)量超過2700萬輛

D.2019年我國汽車年總產(chǎn)量低于2018年我國汽車年總產(chǎn)量

解析對于選項(xiàng)A,題圖1中2019年新能源汽車年產(chǎn)量低于2018年新能源汽車年產(chǎn)量，A

錯誤；對于選項(xiàng)B,極差為705.8—79.4=626.4（萬輛），B正確；對于選項(xiàng)C,2022年我

國汽車年總產(chǎn)量為705.8+25.6%p2757（萬輛），C正確；對于選項(xiàng)D,2019年我國汽車

年總產(chǎn)量為124.2+4.8%心2588（萬輛），2018年我國汽車年總產(chǎn)量為127+4.5%勺2822

（萬輛）,D正確.故選BCD.

四'命題點(diǎn)習(xí)題講解

1.［命題點(diǎn)1角度2/2023新高考卷II］某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配

的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初

中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（D）

A.C溫.C養(yǎng)0種BQgo.C乳種

C.嚼o.C乳種D.c乳.嚼。種

解析由題意，初中部和高中部學(xué)生人數(shù)之比為黑=|,所以抽取的60名學(xué)生中初中部應(yīng)

有60X：=40（人），高中部應(yīng)有6OX1=2O（:人），所以不同的抽樣結(jié)果共有心含6貂o

種，故選D.

2.［命題點(diǎn)2角度1/全國卷口某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一

倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前

后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的餅圖:

/"??A/\x\

KIMtAZ做人（

\/VI_J

\//\J/

*e*i*MAAxiMwfli??仁■㈤

則下面結(jié)論中不正確的是（A）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

解析解法一設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為。，則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a,則由餅圖可得建設(shè)前種

植收入為0.6a,其他收入為0.04°,養(yǎng)殖收入為0.3a.建設(shè)后種植收入為0.74a,其他收入為

0.1a,養(yǎng)殖收入為0.6a,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1.16a,所以只有A是錯誤的.

解法二設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為x,則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2x.

因?yàn)?.6尤＜0.37X2x,所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的.

3.［命題點(diǎn)2角度2,021全國卷甲］為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行

抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（C）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

解析對于A,根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約為

（0.02+0.04）x1x100%=6%,故A正確；對于B,根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年

收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率約為(0.04+0.02+0.02+0.02)XlX100%=10%,故B

正確；對于C,根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為3X0.02+

4X0.04+5X0.10+6X0.14+7X0.20+8X0.20+9X0.10+10X0.10+11X0.04+12X0.02

+13X0.02+14X0.02=7.68(萬元)，故C錯誤；對于D,根據(jù)頻率分布直方圖可知，家

庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率約為(0.10+0.14+0.20+0.20)

XIX100%=64%>50%,故D正確.

4.[命題點(diǎn)2角度2/全國卷I]某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：

nP)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0,7]

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6]

頻數(shù)151310165

(1)在圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35n?的概率；

(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的

數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)

解析(1)頻率分布直方圖如圖所示.

(2)根據(jù)(1)中的頻率分布直方圖，知該家庭使用節(jié)水龍頭50天日用水量小于0.35nr5

的頻率為0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,

因此該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35n?的概率的估計(jì)值為0.48.

(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為的=^X(0.05X1+0.15X3+

0.25X2+0.35X4+0.45X9+0.55X26+0.65X5)=0.48,

該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為元2=2x(0.05x1+0,15x5+0.25x

13+0.35X10+0.45x16+0.55x5)=0.35,

估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省水(0.48-0.35)X365=47.45(m3).

五'習(xí)題實(shí)戰(zhàn)演練

1.[2024寶雞段考]下列4個抽樣中，簡單隨機(jī)抽樣的個數(shù)是(B)

①從無數(shù)個個體中抽取50個個體作為樣本；

②倉庫中有1萬支奧運(yùn)火炬，從中一次性抽取100支火炬進(jìn)行質(zhì)量檢查；

③某連隊(duì)從200名黨員官兵中，挑選出50名最優(yōu)秀的趕赴某市參加抗洪救災(zāi)工作；

④一彩民選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽.

A.OB.lC.2D.3

解析①不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)楹唵坞S機(jī)抽樣要求被抽取的樣本總體的個數(shù)是有限的.②

不是簡單隨機(jī)抽樣，雖然“一次性抽取”和“逐個抽取”不影響個體被抽到的可能性，但

簡單隨機(jī)抽樣要求的是“逐個抽取”.③不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)?0名黨員官兵是從中挑

出來的，是最優(yōu)秀的，每個個體被抽到的可能性不同，不符合簡單隨機(jī)抽樣中“等可能抽

樣”的要求.④是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w中的個體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個進(jìn)行

抽取的，是等可能抽樣.故選B.

2.[2024四川遂寧月考]從遂寧市中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生，進(jìn)行肺活量調(diào)查.經(jīng)了解，該市

小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的肺活量有較大差異，而同一學(xué)段男女生的肺活量差異不

大.在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是(C)

A.簡單隨機(jī)抽樣B.按性別分層隨機(jī)抽樣

C.按學(xué)段分層隨機(jī)抽樣D.按學(xué)校分層隨機(jī)抽樣

解析已經(jīng)了解到該市小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的肺活量有較大差異，而同一學(xué)段

男女生的肺活量差異不大，因此按學(xué)段分層隨機(jī)抽樣，這種方式具有代表性，比較合理.故

選C.

3.[2024河南鄭州模擬]為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，A市某高中全體教

師開展了植樹活動，購買柳樹、銀杏、梧桐、樟樹四種樹苗共計(jì)600棵，比例如圖所示.青

年教師、中年教師、老年教師報名參加植樹活動的人數(shù)之比為5：3：2,若每種樹苗均按

各年齡段報名人數(shù)的比例進(jìn)行分配，則中年教師應(yīng)分得梧桐樹苗(C)

A.30棵B.50棵C.72棵D.80棵

解析由題意，中年教師應(yīng)分得樹苗的數(shù)量為600張=180,所以中年教師應(yīng)分得梧桐

樹苗的數(shù)量為180X40%=72.故選C.

4.[2024四川樂山月考]為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿

者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,

16）,[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……,第五組，如

圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有

療效的有8人，則第三組中有療效的人數(shù)為（B）

A.8B.10C.12D.18

解析由題可知樣本總數(shù)為2。=50,設(shè)第三組有療效的人數(shù)為無，則沙=0.36,解得

0.16+0.2450

X—10.故選B.

5.[2023上海春季高考]如圖為2017—2021年中國貨物進(jìn)出口總額的統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法

錯誤的是（C）

2017—2021年中國貨物進(jìn)出口總額

A.從2018年開始，每年與上一年相比，2021年的進(jìn)出口總額增長率最大

B.從2018年開始,進(jìn)出口總額逐年增大

C.從2018年開始,進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開始,每年與上一年相比，2020年的進(jìn)出口總額增長率最小

解析由題圖可知，2020年的進(jìn)口總額小于2019年的進(jìn)口總額，故C不正確；由題圖可

知，2017—2021年的進(jìn)出口總額依次為27.81,30.50,31.57,32.22,39.10,與上一年相

比，2018年的增長率為弋9.7%,同理可得2019年，2020年，2021年的增長率

27.81

分別約為3.5%,2.1%,21.4%,故A,B,D正確.故選C.

6.［多選］某商戶收集并整理了其在2023年1月到8月線上和線下收入的數(shù)據(jù)，并繪制如圖

所示的折線圖，則下列結(jié)論正確的是（ACD）

A.該商戶這8個月中，月收入最高的是7月

B.該商戶這8個月的線上總收入低于線下總收入

C.該商戶這8個月中，線上、線下收入相差最小的是7月

D.該商戶這8個月中，月收入不少于17萬元的頻率是0.5

解析對于A:該商戶這8個月中，月收入分別為16萬元，13.5萬元，16萬元，17萬

元，17萬元，16萬元，20萬元，17.5萬元，月收入最高的是7月，A正確；（提醒：月收

入包含線上收入和線下收入）

對于B:該商戶這8個月的線上總收入為72萬元，線下總收入為61萬元，B錯誤；對于

C:根據(jù)折線圖可看出該商戶這8個月中，線上、線下收入相差最小的是7月，C正確；對

于D:該商戶這8個月中，月收入不少于17萬元的有4個月，故所求頻率為0.5,D正確.

7.［2024山西模擬］總體由編號為1,2,99,100的100個個體組成.現(xiàn)用隨機(jī)數(shù)法選取

60個個體，利用電子表格軟件產(chǎn)生的若干個1?100范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)的開始部分?jǐn)?shù)據(jù)

如下，則選出來的第5個個體的編號為31.

844217831574556887774

4772176335063

解析簡單隨機(jī)抽樣中，隨機(jī)數(shù)法獲取的個體編號要在指定編號范圍內(nèi)，遇到大于最大編

號或者重復(fù)號碼舍去不要，由給定的數(shù)據(jù)，從8數(shù)起至第5個仍是8,重復(fù)，舍去，所以

選中的第5個個體的編號為31.

8.一工廠生產(chǎn)了16800件某種產(chǎn)品，它們分別來自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線.為檢查這批產(chǎn)品

的質(zhì)量，決定采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣.已知從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線抽取的產(chǎn)品

個數(shù)分別是a,b,c,且2b=a+c,則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了5600件產(chǎn)品.

解析設(shè)甲、乙、丙3條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)了T甲，Ta,T丙件產(chǎn)品，則a：b：c=T甲：T乙：

7甲+7丙K2T乙，

T擊，即/-=上-=￡.又2b=a+c,所以所以7匕=竺詈=5600.

丙丁甲T乙丁丙而=

T甲W+T乙7+716800,

9.［2024海南?？迹菽尘W(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境

治理和保護(hù)問題仍是百姓關(guān)心的熱點(diǎn)，參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%.現(xiàn)從參與關(guān)注

生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組［15,25),第

2組［25,35),第3組［35,45),第4組［45,55),第5組［55,65］,得到的頻率分布

直方圖如圖所示.

(1)求。的值；

(2)現(xiàn)從年齡較小的第1,2,3組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24人，則每組抽到的人

數(shù)分別是多少？

解析(1)由頻率分布直方圖可得10義(0.01+0.015+?+0,03+0.01)=1,解得a=

0.035.

(2)由題意從年齡較小的第1,2,3組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的比例為

0.01：0.015:0.035=2：3：7,

故第1組抽取24義—一=4(人)，

2+3+7

第2組抽取24X1一=6(人),

2+3+7

第3組抽取24X」-=14(人).

2+3+7

10.［多選72024江西名校聯(lián)考］2023年夏天，國產(chǎn)動畫電影《長安三萬里》熱映，點(diǎn)燃“唐

詩熱”，為此某市電視臺準(zhǔn)備在該電視臺舉辦的“我愛背唐詩”節(jié)目前三屆參加總決賽的

120名選手(假設(shè)每位選手只參加其中一屆總決賽)中，隨機(jī)抽取24名參加一個唐詩交流

會，若按前三屆參加總決賽的人數(shù)比例分層隨機(jī)抽樣，則第一屆抽取6人，若按性別比例

分層隨機(jī)抽樣，則女選手抽取15人，則下列結(jié)論正確的是(ABD)

A.樣本容量是24

B.第二屆與第三屆參加總決賽的選手共有90人

C.120名選手中男選手有50人

D.第一屆參加總決賽的女選手最多有30人

解析對于A,由樣本容量定義知，樣本容量為24,A正確；

對于B,：第一屆參加總決賽的選手有￡義120=30（人），第二屆與第三屆參加總決賽

24

的選手共有120—30=90（人），B正確；

對于C,：女選手共有受義120=75（人），，男選手有120—75=45（人），C錯誤；對