2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高二年級下冊期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.某汽車啟動(dòng)階段的位移函數(shù)為s(t)=2t3—5/,則汽車在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為()

A.10B.14C.4D.6

2.將序號分別為1,2,3,4,5的五張參觀券全部分給甲，乙，丙，丁四人，每人至少1張，如果分給甲的

兩張參觀券是連號，那么不同分法的種數(shù)是()

A.6B.24C.60D.120

3.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：貝g=()

X12

21

P1-2(?q+2

A.1B.1一號C.1+孝D.1土宇

4.已知一組觀測值(xi,y。，(%2,、2)，…，&,yn)滿足%=a+m+e/i=1,2…；n),若女恒為0,則R?=

()

A.0B.0.5C.0.9D.1

5.(久0-丫口)4的展開式中/y3的系數(shù)為()

A.-4B.4C.-6D.6

6.李老師教高二甲班和乙班兩個(gè)班的數(shù)學(xué)，這兩個(gè)班的人數(shù)相等.某次聯(lián)考中，這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績均近似

服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)/(乃=號;當(dāng)?shù)膱D像如圖所示，其中“是正態(tài)分布的期望，行是正態(tài)

分布的標(biāo)準(zhǔn)差，且P(|X-〃|<(r)=0.6827,P(|X-M<2CT)=0.9545,P(|X-〃|<3a)=0.9973.關(guān)于這

第1頁，共15頁

次數(shù)學(xué)考試成績，下列結(jié)論正確的是（）

A.甲班的平均分比乙班的平均分高

B.相對于乙班，甲班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績更分散

C.甲班108分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的4.55%

D.乙班112分以上的人數(shù)與甲班108分以上的人數(shù)大致相等

7.某校三位同學(xué)報(bào)名參加數(shù)理化生四科學(xué)科競賽，每人限報(bào)且必須報(bào)兩門，由于數(shù)學(xué)是該校優(yōu)勢科目，必

須至少有兩人參賽，若要求每門學(xué)科都有人報(bào)名，則不同的參賽方案有（）

A.51種B.45種C.48種D.42種

8.已知函數(shù)/（%）=。一劫/一上爐+1Q為自然對數(shù)的底數(shù)），若對任意的尤1，x26（0,+8）,且打力犯，都

有+犯/（久2）＞久2fo1）+則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

Qg11

A.（一8HB.（一8五）C.（一8可|D.（-83）

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列說法中正確的是（）

A.對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，/的值越大，說明兩事件的相關(guān)程度越大

B.以模型y=ce-去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,若其變換后得到線性方程

z=0.3x+4,貝h，k的值分別是e，和。.3（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

C.在具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程9=&+標(biāo)中，b=2,x=l,y=3,

則2=1

D.通過回歸直線夕=標(biāo)+&及回歸系數(shù)可以精確反映變量的取值和變化趨勢

10.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九

章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)

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于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是()

楊輝三角

第

0Z一

I4

丁

第1

葉

第2Z

Y亍

第3Z

T廳

第4

亍

第5

TZl

第6

rr亍

74

廳

第7

一

第84

1丁

A.Cj+Cj+Cl+?-?+篇i=220

B.記第九行的第i個(gè)數(shù)為如則27T3，-5=4n

C.第2023行中從左往右第1011個(gè)數(shù)與第1012個(gè)數(shù)相等

D.第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為12:19

11.某大學(xué)文學(xué)院有4B兩個(gè)自習(xí)室，小王同學(xué)每天晚上都會(huì)去自習(xí)室學(xué)習(xí).假設(shè)他第一天去自習(xí)室a的概

率為J；他第二天去自習(xí)室B的概率為J；如果他第一天去自習(xí)室4則第二天去自習(xí)室B的概率為下列說法正

確的是()

A.小王兩天都去自習(xí)室力的概率為:；

B.小王兩天都去自習(xí)室B的概率為專

C.小王兩天去不同自習(xí)室的概率為弓

D.如果他第二天去自習(xí)室B,則第一天去自習(xí)室a的概率為，.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入坐編號為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號

相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是f,貝怩(f)=.

13.在概率論中常用散度描述兩個(gè)概率分布的差異.若離散型隨機(jī)變量X,丫的取值集合均為

(0,l,2,3,-,n}(nEN*),則X,丫的散度D(X||Y)=羽=()P(X=i)ln辭三定若X,丫的概率分布如下表所示，

其中0<p<i,則。(X||y)的取值范圍是.

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X01

11

P

22

Y01

P1—PP

14.若二次函數(shù)/(X)=2%2+3的圖象與曲線。9(幻=ae，+3(a>0)存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.(e為自然對數(shù)的底數(shù))

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

設(shè)函數(shù)/(%)=爐―3/一9x+8.

(1)求/(久)在x=1處的切線方程；

(2)求/(%)在［-2,4］上的最大值和最小值.

16.(本小題12分)

n712

已知/1(x)=(2x-3)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512,且(2%-3)=a。+ai(x-l)+a2(x-l)+■■■+an(x-l

)n.

(I)求&2的值；

(H)求的+(12+(13+...+Cln的值；

(HI)求a1+2<22+3口3d■■■,+nan的值.

17.(本小題12分)

在十余年的學(xué)習(xí)生活中，部分學(xué)生養(yǎng)成了上課轉(zhuǎn)筆的習(xí)慣.某研究小組為研究轉(zhuǎn)筆與學(xué)習(xí)成績好差的關(guān)系，

從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有上課轉(zhuǎn)筆習(xí)慣的有55人.經(jīng)調(diào)查，得到這100名

學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖.記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格.

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(I)請完成下列2x2列聯(lián)表.并依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析成績優(yōu)秀與上課轉(zhuǎn)筆之間是否有

關(guān)聯(lián);(結(jié)果均保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)

上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計(jì)

優(yōu)秀

合格20

合計(jì)55100

(U)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到

5人中合格的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(皿)若將頻率視作概率，從全市所有在校學(xué)生中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行調(diào)查，記20人中上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為k的

概率為P(k),當(dāng)P(k)取最大值時(shí)，求k的值.

附：*2=（a+b）（*f）3?：）s+d），其中n=a+b+c+d.

PCx2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(本小題12分)

一個(gè)調(diào)查學(xué)生記憶力的研究團(tuán)隊(duì)從某中學(xué)隨機(jī)挑選100名學(xué)生進(jìn)行記憶測試，通過講解100個(gè)陌生單詞后,

相隔十分鐘進(jìn)行聽寫測試，間隔時(shí)間t(分鐘)和答對人數(shù)y的統(tǒng)計(jì)表格如下:

時(shí)間t(分鐘)102030405060708090100

答對人數(shù)y987052363020151155

igy1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7

時(shí)間t與答對人數(shù)y和lgy的散點(diǎn)圖如下:

1202.50

答100

2.00

對80

時(shí)間，時(shí)間，

附：￡"14=38500,￡出1%=342,騫%1g%=13.52,劈4=10960,￡之1%=621.7,對于

一組數(shù)據(jù)(%,%),(u2,v2),...?(Un,vn),其回歸直線方程g=的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

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”,%LiUiVi-nuv--

為：B=歐i==1譜一疝2，a=V-Pu.

請根據(jù)表格數(shù)據(jù)回答下列問題：

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=at+6與a)/=ct+d哪個(gè)更適宜作為線性回歸模型？(給出判斷即可，不必說

明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果，建立y與t的回歸方程；(a力或c,d的計(jì)算結(jié)果均保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)

(3)根據(jù)(2)請估算要想答對人數(shù)不少于75人，至多間隔多少分鐘需要重新記憶一遍.(結(jié)果四舍五入保留整

數(shù))(參考數(shù)據(jù)：1g2a。3,1g320.48)

19.(本小題12分)

對于正實(shí)數(shù)a,b(a>b),我們熟知基本不等式：G(a,b)<A(a,b),其中G(a,6)=/而為a,b的幾何平均

數(shù)，A(a,b)=胄為a,b的算術(shù)平均數(shù).現(xiàn)定義a,6的對數(shù)平均數(shù)：L(a,b)=益竟.

1

(I)設(shè)％>1,求證：21nx<x--;

(□)證明G(a力)VL(a,b);

(IE)若不等式G(a/)+A(a/)>m?L(a,b)對任意正實(shí)數(shù)a,b(a>b)恒成立，求正實(shí)數(shù)加的取值范圍.

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答案簡析

l.C

【簡析】

解：1?-s(t)=2t3-5t2,

.-.汽車的速度為0(t)=s'(t)=6t2-10t,

.-.v(2)=s'(2)=6x22-10x2=4.

故選C.

2.5

【簡析】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、將連號的兩張參觀券分給甲，有1和2,2和3,3和4,4和5,共4種情況,

②、將剩下的3張參觀券分給其他三人，有黑=6種分法，

則有4X6=24種不同的分法；

故選8.

3.B

【簡析】

解：由題意可得：1—2q+q2+^=1,

解得：q=1-#,

或q=1+#(此時(shí)q2+/l,舍去),

故選B.

4.D

【簡析】解：解：由立恒為0,知力=》『即

X21(〃(一匕)2

故R2=1-=1-0=1.

S(Li(y-y)2

故選D

5.D

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【簡析】解：（久0-'依）4=乂2丫2（口一0）4,

只需求（m-0尸展開式中的含町項(xiàng)的系數(shù).

?；（m―4下的展開式的通項(xiàng)為*+1=%（口）4f（一

令1I/?得「=2

???展開式中x3y3的系數(shù)為鬣=6

6.D

【簡析】解：由題意結(jié)合正態(tài)分布的密度曲線可得甲班的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?8,乙班的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?/p>

100,故/錯(cuò)誤，

由圖象可得甲班的數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為5,乙班的數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為6,相對于乙班，本次考試中甲班不

同層次學(xué)生的成績更穩(wěn)定，故8錯(cuò)誤，

甲班108分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的概率為P（X>108）=1-竽45=2275%,故C錯(cuò)誤，

乙班112分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的概率為P（X>112）=上等至=2.275%,

又這兩個(gè)班的人數(shù)相等，所以乙班112分以上的人數(shù)與甲班108分以上的人數(shù)相等，故。正確，

故選：D.

7.4

【簡析】解：設(shè)三位同學(xué)為4B,C;由題意，參賽方案分為兩種情況：

（一）數(shù)學(xué)學(xué)科有2人報(bào)名：

先選2人報(bào)名數(shù)學(xué)，有《種結(jié)果（假設(shè)為4B）,其余三科的參賽方式又分為兩種情況：

①4B選同科，有廢種結(jié)果；@A,B選不同科（即4,C,或B,C選同科），有廢?得種結(jié)果，

所以數(shù)學(xué)學(xué)科有2人報(bào)名時(shí)共有《?（瑪+瑪?C卜掰）=3x15=45種結(jié)果；

（二）數(shù)學(xué)學(xué)科有3人報(bào)名：

先選3人報(bào)名數(shù)學(xué)，有出種結(jié)果，其余三科的參賽方式有屬種結(jié)果，

所以數(shù)學(xué)學(xué)科有3人報(bào)名時(shí)共有底?題=6種結(jié)果；

綜合（一）（二）得不同的參賽方案有45+6=51種.

故答案選：A.

8.4

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【簡析】解：,??久1/(久1)+比2/(%2)>01)+，

???(xi-%2)[f(^i)-/te)]>o,

???X\豐乂2,

???”九1?]九2產(chǎn)”>0,即f(久)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

???/'(%)=xex—3kx2>0在(0,+8)上恒成立，

即k4宗在(0,+8)上恒成立，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=裒*>0),貝W(x)=產(chǎn),

令g'Q)>0,則x>l,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,令g'(x)<0,則。<x<l,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;

???g(久)⑴=*

即k<f.

故選工.

9.ABC

【簡析】

解：對于4根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的性質(zhì)知，依的值越大，說明兩個(gè)分類變量相關(guān)程度越大，/正確；

對于B,由丫=c/x,兩邊取自然對數(shù)，可得biy=bic+kx,

令z=biy,得2=左光+m。，vz=0.3%+4,^=03^貝!l{%=*g,8正確；

對于C,回歸直線方程夕=&+標(biāo)中，a=y-b-x=3-2X1=1,C正確；

對于。，通過回歸直線夕=&+標(biāo)及回歸系數(shù)6,可估計(jì)和預(yù)測變量的取值和變化趨勢，D錯(cuò)誤.

故選ABC.

10.50

【簡析】解:對于4由制t+邛=^可得

C|+C4+Cg++篇1—C3+C|+C4+++篇i—1—C4+鬣++■■■+*]—1—C|2—1=219

,故a錯(cuò)誤；

所以比33一仙=3℃°+3]配+32鬣+.??+3n4=(1+3)"=4n,故3正確；

對于。，第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為

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ll.12_3°x19x…x2°12x11x?-?x1

rr=12:19,故D正確.

“30兒30-11x10X…X1X30X19x???x20x19

對于C,第2023行是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)最大,即《8君和G8始

也就是第2023行中第1012個(gè)數(shù)和第1013個(gè)數(shù)相等，故C錯(cuò)誤;

故選：BD

11.BC

【簡析】解：設(shè)4=第，天去自習(xí)室2，從=第》天去自習(xí)室B,依題意有:

P(41)=/P(%)=,，P(B2%)=2，。缶2%)=/

①PQM2)=P(41)P(42|^I)=|X|=|,故/錯(cuò)誤。

②P(B2)=P(&)P(B2|&)+P(Bi)P(B2|BD=

11121

7=^X-+-P(52|B1)^P(S2|B1)=-

4,DZDO

911

P(B1%)=P(B1)P(B2|B1)=。x,=g故8正確。

5O1Z

③1-P(4遇2)-P(B/2)==故C正確.

O1Z4,

④p⑶瓦)=第二⑷渡產(chǎn)=個(gè)=|,故。錯(cuò)誤.

故選2c.

12.1

【簡析】解：???編號為1,2,3的3位同學(xué)隨意入座編號為1,2,3的3個(gè)座位,

.?.有123,132,213,231,312,321,6種結(jié)果，

設(shè)與座位編號相同的學(xué)生個(gè)數(shù)為f,貝喈的可能為0,1,3,

f的分布列為：

013

111

P

326

111

E(9=0x1+lxj+3x1=1,

故答案為1.

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13.[0,+8)

【簡析】解：由題意可得O(X||y)=￡；'=oP(X=i)ln簫以

PCX=0)P(X=1)

=P(X=°)ln^F^+P(X

11111

=2ln2(r=rt+2ln2F=_2ln[4(1-p)p]

因?yàn)?<p<l時(shí)，0<4(l-p)p4l,

-|ln[4(l-p)p]>0,

即D(X|?)的取值范圍為[o,+8).

14.(0,J]

【簡析】解：/(%)=2%2+3的導(dǎo)數(shù)為((%)=4%,g(x)=ae%+3的導(dǎo)數(shù)為g'O)=aex,

設(shè)公切線與/(%)=2%2+3的圖象切于點(diǎn)(巧,2好+3),

與g(%)=aex+3的圖象切于點(diǎn)(%2,ae*2+3),

???4x=aeX2=52+3-(2/+3)_aex2-2xj

%2—%2—%19

化簡可得，2%i=2%1~xx.,得％i=0或2%2=%i+2,

X2—X1

v4%x=aeX2,且。>0,/.%1>0,貝”2%2=+2>2,即％2>1，

塔=越鏟=今!

ex2ex2ex2

設(shè)伏幻=與久。>1)，則〃(無)=寫以，

由"(%)>0可得1<%<2;由"(%)<0可得汽>2

???h(%)在(1,2)上遞增,在(2,+8)上遞減,

???h(x)max=h(2)—前,

實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0月

15.解：(1)由題意知，/(I)=-3,即切點(diǎn)為(1,一3),

又/'(X)=3/_6x—9,所以r(1)=—12,

所以/(%)在％=1處的切線方程為：y+3=-12(x-l),即12久+y-9=0;

(2)尸(%)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),

第11頁，共15頁

令f，(x)<0得一1<久<3,f'(x)>。得久<—1或x>3,

故/(久)的減區(qū)間為(—1,3),增區(qū)間為(一8,-1)和(3,+00),

函數(shù)/(%)的極大值/(—I)=13,函數(shù)的極小值八3)=—19,

又f(-2)=6,又4)=-12,

/(久)在[-2,4]上的最大值是13,最小值是-19.

【簡析】

(1)求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果；

(2)求出導(dǎo)數(shù)，研究單調(diào)性，得出函數(shù)的極值，再求出f(-2),f(4),即可求出結(jié)果.

16.解：(I)由二項(xiàng)式系數(shù)和為512知，2n=512=29今n=9,

(2x-3)9=[2(x-l)-l]9,

???42=X22x(-1)7=-144；

9

(H)令x=l,Gt0=(2x1—3)--1,

令x=2,得a。+ci1+a，2++,,1+=(2X2-3)9=1,

+做+。3+…+。9

=(。0++。2+。3+…+。9)一=2.

(皿)由九=9可知(2%—3)9=CLQ+—1)+。2(%—l)?+…+dg(%—1)。

兩邊求導(dǎo)數(shù)可得18(2x—3)8=%+2a2(x-l)+--?+9a式刀―1)%

令x=2可得的+2口2+?■,+9a9=18.

【簡析】

(I)根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為512先確定出直，再計(jì)算a2的值；

(E)利用賦值法求特定項(xiàng)系數(shù)及特定項(xiàng)項(xiàng)系數(shù)和可得.

(m)先求導(dǎo)數(shù)后代值，即可得答案.

17.解：(I)零假設(shè)Ho：成績優(yōu)秀與上課轉(zhuǎn)筆無關(guān)，

2x2列聯(lián)表如下：

第12頁，共15頁

上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計(jì)

優(yōu)秀52530

合格502070

合計(jì)5545100

2

2100(5X20-25x50)..n,,QC

"X=——45-~x5—5x70x3—0—~25.449>6.635,

根據(jù)小概率值a=0.01的/獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立，因此認(rèn)為成績優(yōu)秀與上課轉(zhuǎn)筆有關(guān).

(U)100個(gè)人中優(yōu)秀的人數(shù)為(0.0125+0.0025)X20X100=30,

則合格的人數(shù)為70人，由分層抽樣可知：10人中有3人優(yōu)秀，7人合格;

由題意X的可能值為2.3,4,5,

P(X=2)=警/P(X=3)=膏.P(X=4)=鬻/P(X=5)=管/

則X的分布列為:

X2345

1551

P

12121212

1cc17

所以E(X)=2xa+3x5+4x5+5xa=T.

(皿)由題意可知k?8(20,0.55),貝|P(k)=C30.55k0.452°i,

c

ok2fefc+119/i:

c-0.55-0.450->CV-0.55-0.45-

o-O.55fe-O.452°-fc>do1-O.55fc-1-O.4521-fc'

解得10.554伏11.55,又kGN,

故k=10,

則當(dāng)k=10時(shí)，P(k)取最大值時(shí).

【簡析】

(I)列出2x2列聯(lián)表，求出*2,對照臨界值即可得出答案；

(工)得出*的值，求出相應(yīng)的概率，寫出分布列，從而求出數(shù)學(xué)期望;

(HI)由題意可得［渡::靄:宅或膜；)°4黑工解出卜的范圍,即可得出答案.

18.解：(1)由圖象可知，Zgy=ct+d更適宜作為線性回歸模型.

(2)設(shè)Igy=/+2,由條件可得，￡=奈巴力=55,廚=1.352,

空土上怛”一10沏621.7-10x55x1.352

X旦4一10R-38500-10X552-?-0.015,d=Igy—cta2.177,

第13頁，共15頁

所以Zgy=-0.015t+2,177,因此y=io-°°15t+2177.

01

(3)由題意知y=10-05t+2.177>75)

即一0.015t+2,177>lg(25x3)=1g乎+lg3=2-21g2+lg3-1.88,

解得t<19.8,

則t<20,即至多20分鐘，就需要重新記憶一遍.

【簡析】

(1)由圖象可知，Igy=ct+d更適宜作為線性回歸模型