2025屆山西省渾源縣高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

2025屆山西省渾源縣高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將直線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.2．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或3．已知直線過(guò)點(diǎn)，，則直線的方程為（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列滿足，且，那（）A.19 B.31C.52 D.1045．在等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列，則公差等于（）A.0 B.3C. D.0或36．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.807．若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列中，，則這個(gè)數(shù)列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.169．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．命題任意圓的內(nèi)接四邊形是矩形，則為（）A.每一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形是矩形B.有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形C.所有圓的內(nèi)接四邊形不是矩形D.存在一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形是矩形11．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．如圖，在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．向量，，若，且，則的值為_(kāi)_____.14．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為_(kāi)__________.15．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則______16．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為角梯形，，，，O為的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.18．（12分）如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)（1）求證：直線平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值19．（12分）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交圓于、兩點(diǎn)（1）當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)弦的長(zhǎng)為時(shí)，求直線的方程20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），且橢圓C過(guò)點(diǎn)（﹣）.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)（0，﹣2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線l的方程.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，底面ABCD，E為BP的中點(diǎn)，，（1）證明：平面PAD；（2）求平面EAC與平面PAC夾角的余弦值22．（10分）某情報(bào)站有．五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周末使用的四種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種．設(shè)第一周使用密碼，表示第周使用密碼的概率（1）求；（2）求證：為等比數(shù)列，并求的表達(dá)式

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意知直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，將直線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率為，化簡(jiǎn)求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，將直線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則故新直線的斜率是.故選：B.2、C【解析】設(shè)切線的方程為，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C3、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的兩點(diǎn)式方程計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程可得，直線l的方程為，即故選：C4、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂?，因此?shù)列是公比的等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，故選：D5、D【解析】根據(jù)，且構(gòu)成等比數(shù)列，利用“”求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，且?gòu)成等比數(shù)列，所以，解得，故選：D6、C【解析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】∵是等差數(shù)列，，∴，得，∴.故選：C.7、A【解析】由函數(shù)單調(diào)性得出和的解，然后分類討論解不等式可得【詳解】由圖象可知：在為正，在為負(fù)，，可化為：或，解得或故選：A8、A【解析】直接利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，，所以，解得.故選：A9、B【解析】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可知：對(duì)任意的，，都有恒成立，故可得對(duì)任意的，；又，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，則當(dāng)時(shí)，,.對(duì)任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，則只需.故選：B.10、B【解析】全稱命題的否定特稱命題，任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】全稱量詞命題的否定是特稱命題，需要將全稱量詞換為存在量詞，答案A，C不符合題意，同時(shí)對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，所以：有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形，故選：B.11、A【解析】由題意可知，對(duì)任意的恒成立，可得出對(duì)任意的恒成立，利用基本不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知，對(duì)任意的恒成立，所以，對(duì)任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：A.12、A【解析】根據(jù)題意，將該幾何體放置于正方體中截得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求邊長(zhǎng)為2的正方體的外接球，再求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谌忮F中，，所以將三棱錐補(bǔ)形成正方體如圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為2，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)可求出，再根據(jù)向量垂直即可求出，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，又因?yàn)?，所以，解得，所?故答案為：.14、129【解析】依次寫出前6項(xiàng)，即可求得數(shù)列的前6項(xiàng)和.【詳解】數(shù)列中，，則，，，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為故答案為：12915、36【解析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，所以也成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，所以，故答案為：16、【解析】由拋物線的幾何性質(zhì)知：，由圖知為的最小值，求長(zhǎng)度即可.【詳解】點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線方程為，作于，作于，∴，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào)，∴的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接，可通過(guò)證明，得平面；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，通過(guò)向量的夾角公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，在中，由可得.因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，，，所以，所?又因?yàn)椋矫?，，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.由，有，則，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為.由，，，可得平面與平面所成夾角的余弦值為.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明，則，可證明，由平面，可得，再由線面垂直的判定定理即可求證；（2）連結(jié)，可知，所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，在中由余弦定理計(jì)算的值即可求解.【小問(wèn)1詳解】在正方形中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則，，，所以，則，所以，即，又因?yàn)槠矫?，面，所以，因?yàn)?，所以平面【小?wèn)2詳解】連結(jié)，，可知，所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，令，則，，，在中，由余弦定理可得：，故異面直線與所成角的余弦值為.19、（1）；（2）或【解析】（1）求得圓心坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式求得直線點(diǎn)的方程.（2）分成直線斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得直線的方程.【詳解】（1）圓心坐標(biāo)為（1，0），，，整理得（2）圓的半徑為3，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，整理得，圓心到直線的距離為，解得，代入整理得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意∴直線的方程為或20、（1）（2）或.【解析】（1）設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組得解.（2）設(shè)直線方程代入橢圓方程消元，韋達(dá)定理整體思想，可得直線斜率得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓C的方程為，又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得，因此，橢圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所以，①?lián)立方程，消去得，則，代入①，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與橢圓相交，所以直線l的方程是或.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）通過(guò)作輔助線，構(gòu)造平行四邊形，在平面PAD找到線并證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得相關(guān)的向量坐標(biāo)，求出平面EAC與平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：取PA的中點(diǎn)F，由E為PB的中點(diǎn)，則，，而，，所以且，則四邊形CDFE為平行四邊形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD【小問(wèn)2詳解】∵平面ABCD，，∴AP，AB，AD兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，，，向量方向分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，設(shè)平面APC的法向量為，由，，有，取，則，，即，設(shè)平面EAC的法向量為，由，，有，取，則，，即，所以，由原圖可知平面EAC與平面PAC夾角為銳角，所以平面EAC與平面PAC夾角的余弦值為22、（1），，，（2）證明見(jiàn)解析