2025屆湖北省黃岡市荊州中學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆湖北省黃岡市荊州中學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.2．在中，、、所對的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.3．正方體的棱長為，為側(cè)面內(nèi)動點(diǎn)，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.4．空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（）A. B.C. D.5．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（）A. B.C. D.6．?dāng)?shù)列2，，9，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.7．我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“一百八十九里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意為：“有一個人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地.”則該人第一天行走的路程為（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里8．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.曲線上 B.曲線上C.直線上 D.直線上9．已知某班有學(xué)生48人，為了解該班學(xué)生視力情況，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本已知3號，15號，39號學(xué)生在樣本中，則樣本中另外一個學(xué)生的編號是（）A.26 B.27C.28 D.2910．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.811．若，則（）A.0 B.1C. D.212．已知數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)n都有，若，則（）A.2019 B.2020C.2021 D.2022二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的前5項為______.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，定點(diǎn)，若直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在、中間），且與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則的長為______.15．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為__________.16．長方體中，，已知點(diǎn)與三點(diǎn)共線且，則點(diǎn)到平面的距離為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.19．（12分）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值.20．（12分）已知：，:.(1)當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知在公差不為0的等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列的前三項（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項和請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答22．（10分）如圖，在長方體中，，，是棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由等差數(shù)列基本量法求出通項公式，用裂項相消法求得，求出的最大值，然后利用關(guān)于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關(guān)系求得其范圍【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴若對于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求數(shù)列的和，考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值，其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立2、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對大角，結(jié)合正弦定理，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.3、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點(diǎn)的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)所以，得，所以因為平面，所以故△面積的最小值為故選：B4、A【解析】由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，再由平面平行和距離公式計算可得選項.【詳解】解：由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.5、C【解析】先聯(lián)立方程得，再求得直線的點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線過點(diǎn)，，進(jìn)而得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線與直線的交點(diǎn)為設(shè)直線的點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得所以直線關(guān)于直線對稱的直線過點(diǎn)，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C6、C【解析】用檢驗法，由通項公式驗證是否符合數(shù)列各項，結(jié)合排除法可得【詳解】第一項為正數(shù)，BD中求出第一項均為負(fù)數(shù)，排除，而AC均滿足，A中，，排除A，C中滿足，，，故選：C7、B【解析】根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，分析可得每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以的為公比的等比數(shù)列，由求得首項即可【詳解】解：根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，則數(shù)列是以的為公比的等比數(shù)列，又由這個人走了6天后到達(dá)目的地，即，則有，解可得：，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的通項公式以及前項和公式的運(yùn)用，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.8、B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，先化簡，進(jìn)而求出，再由復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因此復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，可知其在曲線上.故選：B9、B【解析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個容量為4的樣本時,將48人按順序平均分為4組,由已知編號可得所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號為,則,進(jìn)而求解即可【詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個容量為4的樣本時,將48人分為4組,第一組編號為1號至12號；第二組編號為13號至24號；第三組編號為25號至36號；第四組編號為37號至48號,故所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號為,則,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號,屬于基礎(chǔ)題10、D【解析】根據(jù)雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點(diǎn)三角形的余弦定理中即可求解【詳解】雙曲線，，所以，根據(jù)雙曲線的對稱性，可假設(shè)在第一象限，設(shè)，則，所以，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，解得：，所以故選：D11、D【解析】由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求，再求模即可.【詳解】由題設(shè)，，故2.故選：D12、C【解析】先令代入中，求得，再根據(jù)遞推式得到，將與已知相減，可判斷數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而確定，求得答案.【詳解】因為，令，則，又，故，即，故數(shù)列是等比數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)列的通項公式可得答案.【詳解】因為，所以數(shù)列的前5項為.故答案為：14、【解析】分別過點(diǎn)、作、垂直于拋物線的準(zhǔn)線于、，則，求出直線的方程，可求得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得線段的長.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)、作、垂直于拋物線的準(zhǔn)線于、，則，由得，所以，，又，所以，直線的方程為，所以，，則，則拋物線的方程為，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由，得或，因為點(diǎn)在、之間，則，所以，.故答案為：.15、【解析】直線與橢圓相交，求交點(diǎn)，利用列式求解即可.【詳解】聯(lián)立方程得，因為，所以,即，所以，.故答案為：.16、【解析】利用坐標(biāo)法，利用向量共線及垂直的坐標(biāo)表示可求，即求.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為點(diǎn)與三點(diǎn)共線且，，設(shè)，即，∴，∴，∴，即，∴點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）直接利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調(diào)性，由時，，時，；然后去掉絕對值，利用等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】是等差數(shù)列，公差；即；【小問2詳解】，則由（1）可知前五項為正，第六項開始為負(fù).18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，也滿足上式，數(shù)列的通項公式為：.【小問2詳解】由（1）可得，①②①②得，19、（1）（2），【解析】（1）由，計算出公差，再寫出通項公式即可.（2）直接用公式寫出，配方后求出最小值.【小問1詳解】設(shè)公差為，由得，從而，即又，【小問2詳解】由（1）的結(jié)論，，，當(dāng)時，取得最小值.20、(1)；(2).【解析】(1)將代入即可求解；(2)首先結(jié)合已知條件分別求出命題和的解，寫出，然后利用充分不必要的特征即可求解.【詳解】(1)由題意可知，，解得，故實數(shù)的取值范圍為；(2)由，解得或，由，解得，故命題：或；命題：，從而：或，因為是的充分不必要條件，所以或或，從而，解得，故實數(shù)的取值范圍為.21、（1），（2）答案見解析【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到，即可求，從而求出的通項公式，所以，即可求出等比數(shù)列的公比，從而求出的通項公式；（2）若選①：則，利用裂項相消法求和即可；若選②：則，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算可得；若選③：則利用分組求和法求和即可；【小問1詳解】解：設(shè)的公差為，成等比數(shù)列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小問2詳解】解：若選①：則，；若選②：則，；若選③：則，.22、(1)證明見解析（2）（3）存點(diǎn)，【解析】(1)先證明平面，由平面，可證明結(jié)論.(2)