2025屆江西省豐城市東煌外語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2025屆江西省豐城市東煌外語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知A，B，C，D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（）A. B.C. D.2．橢圓與(0<k<9)的（）A.長(zhǎng)軸的長(zhǎng)相等B.短軸的長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等3．在等差數(shù)列中，若，則的值為（）A. B.C. D.4．已知，那么函數(shù)在x＝π處的瞬時(shí)變化率為（）A. B.0C. D.5．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°6．設(shè)a，b，c非零實(shí)數(shù)，且，則（）A. B.C. D.7．在數(shù)列中，，則等于A. B.C. D.8．若數(shù)列等差數(shù)列，a1=1，，則a5=（）A. B.C. D.9．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值是（）A. B.C. D.10．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.11．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是3，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.9 B.7C.5 D.312．已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2+n，則an＝_____14．如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸八等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的值為__________15．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______16．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________．甲組乙組三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).18．（12分）給出以下三個(gè)條件：①；②，，成等比數(shù)列；③．請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并完成作答．若選擇多個(gè)條件分別作答，以第一個(gè)作答計(jì)分已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，______（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在第一象限且為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，且△恰為等邊三角形（1）求拋物線的方程；（2）若直線與交于兩點(diǎn)，向量的夾角為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知圓C的方程為.（1）直線l1過(guò)點(diǎn)P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；（2）求過(guò)點(diǎn)P(3，1)且與圓C相切的直線l2的方程.21．（12分）近年來(lái)，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢(shì)，一方面，化肥的施用對(duì)糧食增產(chǎn)增收起到了關(guān)鍵作用，另一方面，也成為環(huán)境污染，空氣污染，土壤污染的重要來(lái)源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進(jìn)糧食增產(chǎn)，減少對(duì)周圍環(huán)境的污染成為需要解決的重要問(wèn)題.研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量的關(guān)系，成為解決上述問(wèn)題的前提.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為y（單位：百公斤）.參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于化肥施用量x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測(cè)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量y的值；（3）經(jīng)生產(chǎn)技術(shù)提高后，該化肥的有效率Z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得Z大致服從正態(tài)分布N），那這種化肥的有效率超過(guò)58%的概率約為多少？附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；②若隨機(jī)變量，則有，；③取.22．（10分）某校從高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，將其成績(jī)分成，，，，的組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；（2）估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）若成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中男生占.現(xiàn)從成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析，求人中恰有名女生的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由題意畫出幾何體的圖形，把、、、擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，由此能求出球的表面積【詳解】把、、、擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，，，是正三角形，，，球的表面積為故選：C2、D【解析】根據(jù)橢圓方程求得兩個(gè)橢圓的，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】橢圓與(0<k<9)的焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上，前者a2＝25，b2＝9，則c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，則顯然只有D正確故選：D3、C【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)可求得，由可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，解得：；又，.故選：C.4、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到結(jié)論【詳解】由題設(shè)，，所以，函數(shù)在x＝π處瞬時(shí)變化率為，故選：A5、B【解析】取AD中點(diǎn)為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補(bǔ)角，據(jù)此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點(diǎn)為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補(bǔ)角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補(bǔ)角，當(dāng)∠EGF＝60°時(shí)，∠FEG＝60°，當(dāng)∠EGF＝120°時(shí)，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B6、C【解析】對(duì)于A、B、D：取特殊值否定結(jié)論；對(duì)于C：利用作差法證明.【詳解】對(duì)于A：取符合已知條件，但是不成立.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：取符合已知條件，但是，所以不成立.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所?故C正確；對(duì)于D：取符合已知條件，但是，所以不成立.故D錯(cuò)誤；故選：C.7、D【解析】分析：已知逐一求解詳解：已知逐一求解．故選D點(diǎn)睛：對(duì)于含有的數(shù)列，我們看作擺動(dòng)數(shù)列，往往逐一列舉出來(lái)觀察前面有限項(xiàng)的規(guī)律8、B【解析】令、可得等差數(shù)列的首項(xiàng)和第三項(xiàng)，即可求出第五項(xiàng)，從而求出.【詳解】令得，令得，所以數(shù)列的公差為，所以，解得，故選：B.9、C【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式可以求出的面積是關(guān)于的一個(gè)式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為..當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：C.10、B【解析】利用正弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.11、A【解析】根據(jù)橢圓定義求得即可.【詳解】由橢圓定義知，點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2×6-3=9.故選：A12、A【解析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過(guò)已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令，則根據(jù)題意可知，，∴g(x)是奇函數(shù)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∵g(x)是奇函數(shù)，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調(diào)遞減，由不等式得，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2n【解析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.【詳解】由題,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí).當(dāng)時(shí)也滿足.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求通項(xiàng)公式的方法,屬于基礎(chǔ)題.14、28【解析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為由橢圓的幾何性質(zhì)可知：，同理可得，且，故,故答案為.15、【解析】構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于等于零得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算函數(shù)最小值得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，所以在上是增函數(shù)，，則上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以故答案為：16、【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結(jié)合莖葉圖進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知：甲組名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽力測(cè)試中的成績(jī)分別；乙組名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽力測(cè)試中的成績(jī)分別，因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以有，又因?yàn)橐医M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（2）0.【解析】（1）求得，對(duì)參數(shù)分類討論，即可由每種情況下的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意求得，利用進(jìn)行放縮，只需證即，再利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)證明從而得到恒成立，則問(wèn)題得解.【小問(wèn)1詳解】以為，其定義域?yàn)?，又，故?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，且令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，故可得，則，；下證恒成立，令，則，故在單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故在恒成立，即；因?yàn)?，故，令，下證在恒成立，要證恒成立，即證，又，故即證，令，則，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞增，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，也即；令，則，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞減，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，也即；又，故恒成立，則在恒成立，又，故當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的處理；本題第二問(wèn)處理的關(guān)鍵是通過(guò)分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)，證明恒成立，屬綜合困難題.18、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選②，則根據(jù)，，成等比數(shù)列，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選③，則根據(jù)，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d選擇①，由題意得，又，則，所以；選擇②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，或（舍去），所以；選擇③，由，得，解得，所以【小問(wèn)2詳解】由題意知，∴①②①－②得∴，即.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)△恰為等邊三角形由題意知：得到，再利用拋物線的定義求解；（2）聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)的夾角為，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意知：，由拋物線的定義知：，由，解得，所以拋物線方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由，得，則，，則，，因?yàn)橄蛄康膴A角為，所以，，則，且，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.20、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計(jì)算可得；（2）依題意可得點(diǎn)在圓外，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率不存在直線得到直線方程，但直線的斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為故；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線方程是，此時(shí)與圓C：相切，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離為解得此時(shí)，直線的方程為，所以滿足條件的直線的方程是或.21、（1）；（2）；810公斤；（3）.【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，結(jié)合給定模型的性質(zhì)直接判斷適合的模型即可.（2）將（1）中模型取對(duì)得，結(jié)合題設(shè)及表格數(shù)據(jù)求及參數(shù)，進(jìn)而可得參數(shù)c，即可確定回歸方程，進(jìn)而估計(jì)時(shí)糧食畝產(chǎn)量y的值.（3）由題設(shè)知，結(jié)合特殊區(qū)間的概率值及正態(tài)分布的對(duì)稱性求即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖，呈現(xiàn)非線性的變化趨勢(shì)，故更適合作為關(guān)于的回歸方程類型.【小問(wèn)2詳解】對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，由表中數(shù)據(jù)得：，，，則，∴關(guān)于的回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量約為810公斤.小問(wèn)3詳解】依題意，，則有，∴，則，∴這種化肥的有效率超過(guò)58%的概率約為.22、（1）（2）77（3）【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1的