浙江協(xié)作體2024年高二年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024學(xué)年第一學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題

高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級、姓名、試場號、座位號及準(zhǔn)考證號.

3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.

選擇題部分

一、選擇題：本題8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求.

1.已知集合&=印1<4},B={x|-4<x<l},則AnB=（▲）

A.{X|X<2}B.{X|-2<X<1}C.{X|-4<X<1}D.{X|-4<X<2）

2.記復(fù)數(shù)z的共根復(fù)數(shù)為三，若z（2+i）=2—4i,則同=（▲）

A.1B.V2C.2D.2V2

3.甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6,乙中靶的概率為0.7,

且兩人是否中靶相互獨(dú)立，若甲、乙各射擊一次，則（▲）

A.兩人都中靶的概率為0.12B.兩人都不中靶的概率為0.42

C.恰有一人中靶的概率為0.46D.至少一人中靶的概率為0.74

4.已知向量°=，若（a+2石）〃+,貝（▲）

A.X"=1B.Xjn=—1C.丸+〃=—1D.4+〃=1

5.已知％夕是兩個(gè)互相垂直的平面，丸〃是兩條直線，?？谙?機(jī)則“〃〃機(jī)”

是“〃//a”的（▲）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.設(shè)函數(shù)〃力=小|,則不等式〃21083%）+/（3-1083%）<0的解集是（▲）

A.（七,27]B.fo,—C.（0,27）D.（27,+8）

試卷第1頁，共4頁

7.已知函數(shù)/'（x）=V^sin[x+T的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)楫?dāng),5

則的取值范圍是（▲）

兀4兀]「兀5兀5兀5兀2兀4兀

A.一,—B.一,—C.D.

23237'可T'T

8.如圖，在正方體ABCO-AMGA中，E是棱BC的中點(diǎn)，歹是側(cè)面BCC再上的動點(diǎn),

且4尸〃平面ARE，則下列說法正確的個(gè)數(shù)有（▲）

①二面角F-AD.-E的大小為常數(shù)

②二面角F-D.E-A的大小為常數(shù)

③二面角F-AE-D,的大小為常數(shù)

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某次校十佳歌手評比中，10位評委給出的分?jǐn)?shù)分別為占,馬,…,/，計(jì)算得平均數(shù)7=7,方差

$2=2,現(xiàn)去掉一個(gè)最高分10分和一個(gè)最低分5分后，對新數(shù)據(jù)下列說法正確的是（▲）

A.極差變大B,中位數(shù)不變

C.平均數(shù)變小D.方差變大

10.已知a,b,c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，則下列命題中正確的是（▲）

A.若A>3,貝iJcosAvcosB

rrjr

B.若8b=lc=6，貝lJC=T

6f4

C.若。是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，S.\OB-OC\=\OB+OC-2OA\,

則△ABC是直角三角形

D.若B=J,b=l,則赤.衣的最大值是:

o2

11.四面體ABCD中，AC=8C=A3=3,BD=5,CD=4,記四面體ABCD外接球的表面積為S,

當(dāng)變化時(shí)，則（▲）

A.當(dāng)4。=3時(shí)，S=~n

11

B.當(dāng)四面體A8C￡>體積最大時(shí)，S=28K

C.S可以是16兀

D.S可以是1007t

試卷第2頁，共4頁

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知累函數(shù)/(%)=(根2-5m+7)X”的圖象關(guān)于>軸對稱，則實(shí)數(shù)旭的值是▲.

13.已矢口x>1,y>1且log3x=41ogy3,則%v的最小值為▲.

14.在正四面體ABCD中，分別為AB,BC的中點(diǎn)，~AG=-AD,截面EFG將四面體分成兩部

3

分，則體積較大部分與體積較小部分的體積之比是一

四、解答題：(共5大題，共77分，其中第15題13分，第16題、第17題每題15分，第18

題、第19題每題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟).

15.已知aeR,A={x|a(尤+a)(x+2)>。},B=

(I)當(dāng)。<0時(shí)求集合A；

(II)若BqA,求a的取值范圍.

16.為了了解某項(xiàng)活動的工作強(qiáng)度，隨機(jī)調(diào)查了參與活動的100名志愿者，統(tǒng)計(jì)他們參加志愿者服

務(wù)的時(shí)間(單位：小時(shí))，并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖.

(I)估計(jì)志愿者服務(wù)時(shí)間不低于18小時(shí)的概率；

(II)估計(jì)這100名志愿者服務(wù)時(shí)間的眾數(shù)，平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替)；

(III)估計(jì)這100名志愿者服務(wù)時(shí)間的第75百分位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù)).

世

0.075

a

O.(KM>

()1011182226：W時(shí)間/小

17.已知函數(shù)/(%)=sin(x+_cos(x+j)+sinI—+xI.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

171

(II)將函數(shù)/(X)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移一個(gè)單位,

26

得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(a)=—2且工2],求cos2a的值.

612

試卷第3頁，共4頁

18.如圖，已知四棱錐尸-ABCO中，PB=PD=4,PA=6,ZAPB=ZAPD=60°,且

(I)求證：BD1PA；

(II)求直線PA與平面ABCD所成角的正弦值；

(III)若平面PAC與平面ABC。垂直，PC=3,求四棱錐P-ABC。的體積.

19.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)槿舸嬖诔?shù)左(左＞。)，使得對。內(nèi)的任意X,都有

/(尤)=/("］，則稱"X)是，反比例對稱函數(shù)".設(shè)“x)=log2X.log8電，g{x}=ax+--m.

(I)判斷函數(shù)〃x)=log2x.log8F是否為“反比例對稱函數(shù)”，并說明理由；

(II)當(dāng)。=1時(shí)，若函數(shù)“X)與g(x)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn),求加的值;

(III)當(dāng)。＞1時(shí)，設(shè)心)=/(為-83,已知拉⑺在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)再,尤2，證明：Xrx2＜16.

試卷第4頁，共4頁

2024學(xué)年第一學(xué)期浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考參考答案

高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科

一、選擇題:

題號12345678

答案BCCADBDB

、多選題

題號91011

答案BCACDABD

題號121314

答案28111:7

四、解答題

15.(I)a＜0,a(x+a)(x+2)＞。

所以（龍+“）（尤+2）<0,解得-2<x<-a

所以A=｛司-2＜無＜-a].........................5分

（II）B=｛x|l<x<2｝

①當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)锽qA,所以一。22,得。（一2；.......................7分

②當(dāng)。=0時(shí)A=<!>不合；............9分

③當(dāng)0<°42時(shí)，4=",<一2或彳>-々｝成立，所以3=4成立；............11分

④當(dāng)a22時(shí)時(shí)，4=｛天,<-々或了>-2｝成立，所以81A成立;

綜合得a4-2或a＞0...............................................................13分

16.解析：(I)由已知，志愿者服務(wù)時(shí)間不低于18小時(shí)的概率為1-(0.02+0.06)x4=0.68.

---------4分

(II)由頻率分布直方圖可看出最高矩形底邊上的中點(diǎn)值為20,故眾數(shù)是20；------------7分

由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)x4=1,角軍得a=0.07,

(0.02+0.06)x4=0.32,且(0.02+0.06+0.075)x4=0.62,

(0.02X12+0.06X16+0.075x20+0.07x24+0.025x28)x4=20.32；------------11分

(III)又,.?(0.02+0.06+0.075)x4=0.62,(0.02+0.06+0.075+0.07)x4=0.9,

???第75%位數(shù)位于22?26之間,設(shè)第75%位數(shù)為＞,

y-220.75-0.6213

貝niI」l上----=----------解得y=22+—b23.86.15分

26-220.9-0.62

第1頁共4頁

TT

17.(1)解析：/(%)=2sin(%+—),--------------------------3分

6

令元十二￡2^71+—,2^71+—Ikji+—<x<Ikji+—,

622」33

7T4

/(%)的單調(diào)減區(qū)間為+2^71,-71+2bi],左eZ---------------6分

TT7T

(II)解析：由題意得g(x)=2sin(2x——),則g(a)=2sin(2?！?=——........8分

665

.,_7T.3LE、r/兀51、rtc冗TC21、

sin(2df---)=——，又因?yàn)?--,——),則2a---G(z-----,——)

65612623

—7T4

所以cos(2a---)=----------------------------------------------11分

cosla=cos(2a)

66

15分

/c乃、乃./c乃、.乃3+4近

=cos(2cr---)cos---sin(2?---)sin—=-------

666610

18.(I)解析：由題意，在三角形PA2與三角形/⑦中用余弦定理可得:

AB=AD=2手,一2分

取中點(diǎn)連由AB=AD,PB=PD,可得AD_LAM,BDA.PM,

故BD_L平面ARM,因?yàn)锳Pu平面APM,所以2￡>_LPA----------4分

(II)因?yàn)?。，平面APM,所以平面PAM±平面ABCD,故點(diǎn)P在平面ABC。上的投影在兩平

面的交線40上，所以ZPAM為所求線面角，----------5分

在RtAPBD中，<BM=DM=PM=272；在RtAADW中，可得40=26,-------7分

^一舄PA2+AM2-PM2275g、1.45

故在二角形PAA/中：cosZPAM=----------------=----,所以sm/PAA/=——,

2PAAM55

即所求線面角的正弦值為更

---8分

5

(III)解析：因?yàn)槠矫鍼AM,平面A5CD,故點(diǎn)P,C四點(diǎn)共面,

所以點(diǎn)C三點(diǎn)共線,10分

第2頁共4頁

2/s

所以在APAC中，cosZPAC=-^-,所以2。2=尸&+人。2—2PA-AC-COSNPAC=9,

5

94解得4C=竽或AC=34,

即36+AC2--^AC=9—-12分

A/5

若AC=竽，則四邊形ABCD為凹四邊形，矛盾.所以AC=3宕---------------13分

因?yàn)?，所以S四邊形的------------------------------15分

所以/棱錐P_ABCB=§,S四邊形ABCD,尸,S^n/尸^^=120.17分

19.(I)解析：是.理由如下：-------------------------------------1分

Vx>0,—>0,

x

1616-------------------------3分

//6、,16,lnVInxInxlnV,，、

/(—)=log——logx=—■—=—?—=/(x)

x2x8m2In8m2In8

故/a)=iog2兀1og8?是“反比例對稱函數(shù)”.------------------------4分

(II)解析：設(shè)力(%)=/(%)—g(x),XG(0,+8),

由(I)知/(—)=F(%)，驗(yàn)證知^(―)=g(x)

XX

故h(x)=h(——).----------------------------------------------------------6分

x

由題意函數(shù)〃%)與g(%)的圖像恰有一個(gè)交點(diǎn)，即久了)恰有一個(gè)零點(diǎn)，

故由對稱性零點(diǎn)只能為4.-------------------------------------------------7分

20

由/z(4)=0,^m=—,-----------------------------------------8分

下檢驗(yàn)此時(shí)久了)恰有一個(gè)零點(diǎn).

由對勾函數(shù)性質(zhì)知，g(x)在(0,4］上單調(diào)遞減，［4,+00)上單調(diào)遞增.

「/、Inx(lnl6-lnx)'幾,?/、“(In16一〃)

J(x)=-------------,攻〃=In尤,J(x)=---------

v7In21n8，'7In21n8

/(X)關(guān)于u在(o,ln4］上單調(diào)遞增，［In4,+8)上單調(diào)遞減,

因此〃x)在(0,4］上單調(diào)遞增，［4,+CQ)上單調(diào)遞減.

故在(0,4］上單調(diào)遞增，［4,+00)上單調(diào)遞減.

故此時(shí)〃(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)4.-----------------------------10分

注:充分必要性步驟交換亦可。充分性也可通過不等式的方法

第3頁共4頁

Inx(lnl6—Inx)4,、、4結(jié)合取等條件得到

〃x)=

In21n8In21n8

法二:g（x）=x+——%在（0,4］為減函數(shù)，在［4,+oo）為增函數(shù)

/（x）=glog?x（4-log2x）在（0,4］為增函數(shù),［4,+00）為減函數(shù)

記6（%）=〃引