指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)

1.了解指數(shù)幕的拓展過

指數(shù)函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，應(yīng)當(dāng)熟練掌握指數(shù)函數(shù)的概

程，掌握指數(shù)幕的運(yùn)算

念、圖象和單調(diào)性等?？贾R(shí)點(diǎn).在近三年的高考中，考查了指數(shù)

性質(zhì).

型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，或與分段函數(shù)結(jié)合，以選擇題或填空題的形

2.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際

式出現(xiàn).

意義，理解指數(shù)函數(shù)的

預(yù)計(jì)2025年高考可能會(huì)考查利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小、指數(shù)

概念.

型函數(shù)圖象的識(shí)別與應(yīng)用以及指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，題型為選

3.會(huì)畫指數(shù)函數(shù)的圖象，

擇題或填空題，難度中檔；也可能會(huì)以指數(shù)或指數(shù)函數(shù)為載體，結(jié)

探索并理解指數(shù)函數(shù)的

合新定義、初等數(shù)論等以創(chuàng)新型題目出現(xiàn)在第19題，難度較大.

單調(diào)性與特殊點(diǎn).

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.根式

(1)如果x"=a,那么工叫做a的"次方根，其中心1,且"WN*.

(2)式子心叫做02根式,其中〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

n03

a.

當(dāng)力為奇數(shù)時(shí)，\04

'a1a；

M_a,Q20,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，而=|M=

~a,a<0.

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

m〃

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累，=而1(a>0,m,〃￡N*,n>V).

%J_]

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累,a~n==~(?>0,m,〃WN*,n>Y).

an0m

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于■。，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

3.指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

廢廢=幽亡；(/)S=L2Z]Q；(a&y=蹌。，方(a>0,b>0,r,sWR).

1

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴概念：函數(shù)>=或(°>(),且aWl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R,。是

底數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<a<l

V1y=axy=?'\『

四，――y=>一…1Dg

圖象

o\1~~X0|~~1~~*

定義域R

值域^^(0,+0°)

圖象過一點(diǎn)同(0,1),即當(dāng)x=0時(shí)，y=l

當(dāng)x>0時(shí)，Tv>k

性質(zhì)當(dāng)x〈0時(shí),回歸；當(dāng)x>0時(shí),同Ovyvl

當(dāng)x<0時(shí)，S3Q<V<1

在(一8,+8)上是［JH］增函數(shù)

在(一8,十8)上是減函數(shù)

常用

(1)任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有一個(gè)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù).

(2)畫指數(shù)函數(shù)尸〃(心0,且內(nèi))的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1,a),(0,1),t1,a\

(3)如圖是指數(shù)函數(shù)①?y=bx,③歹二^,④y=/的圖象，底數(shù)a,b,c,4與1之間

的大小關(guān)系為c>d>l>a>6>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)歹=〃(0

>0,aWl)的圖象越高，底數(shù)越大.

(4)指數(shù)函數(shù)了=〃與y=］)(a>0,且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

診斷自測(cè)

1.概念辨析(正確的打y”，錯(cuò)誤的打“X”)

4____

(l)VF4)4=-4.()

2

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

(2)2"2=2叫()

［

(3)H后I—=(f3l―)"=。.()

6,----1

(4)^F3)2=(—3)3.()

(5)函數(shù)是指數(shù)函數(shù).()

答案(l)x(2)x(3)x(4)x(5)x

2.小題熱身

(1)(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題4.1T1改編)下列運(yùn)算中正確的是()

A.yJ(2—it)2=2—nB.a,\J=\/--a

1_32

C.(m4/?8)8=勺D.(x3~y^)3+-\^=x9

n3

答案c

解析對(duì)于A,因?yàn)?—7i<0,所以1(2—7i)2=n—2,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)橐?>(),所以

a

I~i1_31_3

a<0f則八/=-(—a)-I——=—a,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)?加4〃8)8=(加4)8.(幾8)8

\la\—a

2

=F，故C正確；對(duì)于D,因?yàn)?爐-巾)3+讓=X9-2=/，故D錯(cuò)誤.

n$

(2)已知指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一1,2),那么這個(gè)函數(shù)也必定經(jīng)過點(diǎn)()

C.(1,2)

答案D

(3)函數(shù)y=2"i的圖象是()

答案A

(4)若函數(shù)y=/(a>0,且aWl)在區(qū)間［0,1］上的最大值與最小值之和為3,則。的值為.

答案2

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

3

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

考點(diǎn)一指數(shù)事的運(yùn)算

31

例x,y>0,

答案一IQy

31

3x~4y2

解析原式=31=-

力于

(2)計(jì)算：圖10.752+6-2x*j3=.

答案1

解析原式4呼+工@31=3—d+U)，3-+L9=L

36236216364

【通性通法】

有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無括號(hào)的先

算指數(shù)運(yùn)算

先乘除后加減，負(fù)指數(shù)暴化成正指數(shù)

賽的倒數(shù)

指

數(shù)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小

￥

一般數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化

的成假分?jǐn)?shù)

運(yùn)原則

算若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，盡可

能用嘉的形式表示，運(yùn)用指數(shù)嘉的運(yùn)

算性質(zhì)來解答

運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指

數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，

形式力求統(tǒng)一

【鞏固遷移】

因」-4班-1)3

IUJ2-](心0,b>0)=

(0.1)-1,(tZ3-/73)2

答案I

4

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

33_3

2?42q2b2

解析原式=—rr

10a2b2

1_1

2.若N+x2=3,則N+h2=.

答案47

1］

解析由落+%2=3,得、+%-1=7,再平方得12+工-2=47.

考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

例2（1）（2024?安徽合肥八中月考）函數(shù)①y=〃；?y=bx；?y=cx；④歹二砂的圖象如圖所示，a,

b,c,d分別是下列四個(gè)數(shù):j3g中的一個(gè)，則a,b,c,d的值分別是（）

答案C

解析由題圖，直線x=l與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為小心小人而他.」」,

423

故選C.

（2）（2024?江蘇南京金陵高三期末）若直線y=3a與函數(shù)〉=爐一1|（°>0,且°W1）的圖象有兩個(gè)

公共點(diǎn)，則。的取值范圍為.

答案I3J

解析當(dāng)0<。<1時(shí)，了=|出一1］的圖象如圖1所示，由已知得0<3a<l,A0<a<1;當(dāng)d>\時(shí)，

了=|出一1］的圖象如圖2所示，由已知可得0<3。<1,；.0va<g,結(jié)合a>l可得a無解.綜上可

知，a的取值范圍為1°，

5

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

【通性通法】

(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線X=1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷.

(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象可從指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到.特別

地，當(dāng)?shù)讛?shù)。與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.

(3)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足

則排除.

【鞏固遷移】

3.(2024?廣東深圳中學(xué)高三摸底)函數(shù)y=e-N(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大致圖象是()

答案C

解析y=e-N=x20,易得函數(shù)>=「同為偶函數(shù)，且圖象過(0,1),>=釬慟>0,函數(shù)

e",x<0,

在(一8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，故c符合題意.故選C.

4.(多選)若實(shí)數(shù)x,y滿足半+5%=9+4乃則下列關(guān)系式中可能成立的是()

A.l<x<yB.x=y

C.0<x<y<lD.j^<x<0

答案BCD

解析設(shè)兀r)=4*+5x,g(x)—5x+4x,則兀r),g(x)都是增函數(shù)，畫出函數(shù)於)，g(x)的圖象，

如圖所示，根據(jù)圖象可知，當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=g(0)=l；當(dāng)x=l時(shí)，/(l)=g(l)=9,依題意，

不妨設(shè)/(x)=g(y)=/,則x,y分別是直線y=/與函數(shù)y=/(x),y=g(x)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)

69時(shí)，若兀v)=g(j),則故A不正確；當(dāng)t=9或，=1時(shí)，若/(x)=g(y),則x=y=l

或x=y=0,故B正確；當(dāng)1?<9時(shí)，若/(x)=ge),則0<x勺<1,故C正確；當(dāng)/〈I時(shí)，若

?=g(y)>則yq<0，故D正確?故選BCD.

6

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用（多考向探究）

考向1比較指數(shù)式的大小

例3（2023?天津高考）若0=1.01%6=1.01。.6,c=005,則0,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.d>b>cD.b>a>c

答案D

解析解法一：因?yàn)楹瘮?shù)兀0=1.0"是增函數(shù)*且0.6>0.5>0,所以1.010-6>1.01°-5>1,即析A1.

因?yàn)楹瘮?shù)3（x）=06是減函數(shù)，且0.5>0,所以0.6。5<0,6。=1,即c<l.綜上，6>a>c.故選D.

解法二：因?yàn)楹瘮?shù)加）=1.0產(chǎn)是增函數(shù),且0.6>0.5,所以1.0汰6>1.01%即6>a.因?yàn)楹瘮?shù)九（尤）

=好5在（0,+8）上單調(diào)遞增，且1.01>0.6>0,所以1,01。5>0.6。.5,即0>c.綜上，6>介<?.故選

D.

【通性通法】

比較兩個(gè)指數(shù)式的大小時(shí)，盡量化成同底或同指.

（1）當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.

（2）當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小；或構(gòu)造同一幕函數(shù)，

然后利用募函數(shù)的性質(zhì)比較大小.

（3）當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，常借助1,0等中間量進(jìn)行比較.

【鞏固遷移】

5.（2023?福建泉州高三質(zhì)檢）已知a=Q6=0Mc=[k則（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.b>a>c

答案c

中島?用在

解析因?yàn)镽上是增函數(shù)，所以

所以玳

即c>a>b.

考向2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式

7

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

例4⑴侈選)若4」平<5--5一，，則下列關(guān)系式正確的是()

A.x<yB.尸

C.4>心D曰。)

答案AD

解析由中一4'<5r—5方，得4*-5"<4丫一5-乙令於)=4工一5二，則於)磯V).因?yàn)間(x)=4l

/x)=一5、在R上都是增函數(shù)，所以人月在R上是增函數(shù)，所以x勺，故A正確；因?yàn)镚(x)

=芯-3在(0,十8)和(一8,0)上都單調(diào)遞減，所以當(dāng)x<y<0時(shí)，x~3>y~3,故B錯(cuò)誤；當(dāng)x<0,

尸0時(shí)，也，心無意義，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閥=0-'在R上是減函數(shù)，且x勺，所以

即Q1<3r,故D正確.故選AD.

彳xXQ

(2)已知實(shí)數(shù)函數(shù)於)=,''若Hl—a)=Aa—1),則。的值為

2「工，X<0,

答案1

2

解析當(dāng)時(shí)，41一。=21,解得。=1；當(dāng)。>1時(shí)，無解.故。的值為1.

22

【通性通法】

x)g(x)

(1)解指數(shù)方程的依據(jù)：a^=a(a>0f且aWl)u次x)=g(x).

(2)解指數(shù)不等式的思路方法：對(duì)于形如優(yōu)>/(Q>0,且aWl)的不等式，需借助函數(shù)>=出的

單調(diào)性求解，如果Q的取值不確定，則需分Q>1與0VQV1兩種情況討論；而對(duì)于形如優(yōu)>人

的不等式，需先將6轉(zhuǎn)化為以。為底的指數(shù)幕的形式，再借助函數(shù)歹=〃的單調(diào)性求解.

【鞏固遷移】

1

6.函數(shù)歹=(0.5、一8)-2的定義域?yàn)?

答案(一8,—3)

--1

解析因?yàn)?gt;=(0.5%—8)2=丁一，所以O(shè)S—8>0,貝I12r>23,即一%>3,解得％v—3,故

40.5、一8

1

函數(shù)y=(0.5%—8)2的定義域?yàn)?一8,—3).

7.當(dāng)0令2時(shí)，方程/=1(a>0,且aWl)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

2x

答案(4,+°°)

解析依題意，當(dāng)xet0'力時(shí)，y=成與y=l的圖象有交點(diǎn)，作出y=L的部分圖象，如圖所

XX

8

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

例5(1)函數(shù)的值域?yàn)?/p>

答案(0,3］

解析設(shè)，=—x2+1,則|%<1,所以0<3W3,故函數(shù)/(x)的值域?yàn)?0,3］.

⑵函數(shù)尸眇-gD+17的單調(diào)遞增區(qū)間為.

答案[-2,+8)

設(shè)/K3-2+1在(。,w調(diào)遞減，在(……

解析

由Q}W4,得X\—2,,得x<~2,而函數(shù)/=0"在R上單調(diào)遞減，所以函

遞增.

數(shù)8-L1+17的單調(diào)遞增區(qū)間為［—2,+-).

【通性通法】

涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，

涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

【鞏固遷移】

8.(多選)已知定義在［―1,1］上的函數(shù)人工)=-2?尹+4-3，，則下列結(jié)論中正確的是()

A.段)的單調(diào)遞減區(qū)間是［0,1］

B.兀0的單調(diào)遞增區(qū)間是［―1,1］

C.加)的最大值是｛0)=2

D./)的最小值是｛1)=一6

答案ACD

1

解析設(shè)E=33xE［—1,1］,貝卜=3%是增函數(shù)，且/￡|_33」，又函數(shù)>=—21+4/=—2。

1J

—1)2+2在bf」上單調(diào)遞增，在口，3］上單調(diào)遞減，因此於)在［—1,0］上單調(diào)遞增，在［0,

1］上單調(diào)遞減，故A正確，B錯(cuò)誤；/(x)max=A0)=2,故C正確；火-1)=；,h1)=一6,因

9

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

此人勸的最小值是{1）=—6,故D正確.故選ACD.

fXlox2+2x+3CAX

9.若函數(shù)於）=13j的值域是〔’9」，則人x）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案（-8,-1]

解析,.,7=@是減函數(shù)，且加0的值域是10'%,；./=ax2+2x+3有最小值2,則a>0且

=2,解得4=1,因此f=N+2x+3的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,-1],故人月的單調(diào)遞

4a

增區(qū)間是（一8,-1].

課時(shí)作業(yè)

基礎(chǔ)鞏面素

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024?內(nèi)蒙古阿拉善盟第一中學(xué)高三期末）已知集合N={x|3曠i》l},5={x|6x2-x-2<0},

貝U/U8=（）

答案D

1,+8]

解析集合/={x|3"i》l}=L2J,5={x|6x2-x-2<0}={x|(3x-2)(2x+1)<0}=

f-i21f-1ool

I23j,所以/U8=〔2+J.故選D.

2.（2024?山東棗莊高三模擬）已知指數(shù)函數(shù)y=〃的圖象如圖所示，則y=aN+x的圖象頂點(diǎn)橫

坐標(biāo)的取值范圍是（）

解析由圖可知，<?G（0,1）,而歹="2+》=°["2?J—L（a=0）,其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為了=一^

4。2a

10

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

—8,一］故選A.

所以大

3.已知函數(shù)人對(duì)=/丁，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有（）

A.X-x)+/x)=0B.A-x)-/x)=0

D-火一x)-/(x)=g

C.A-x)+Xx)=i

答案c

112X.1=1,故A錯(cuò)誤,C正確;八一x)—/W=]12>

解析八―x)+/(x)=

l+2-x1+2X1+2X1+2x

12X12X~17

1一—-,不是常數(shù)，故B,D錯(cuò)誤.故選C.

1+211+2%1+2%2X+12*+1

421

4.已知4=23,6=45,c=53,則（)

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

答案A

422222

解析因?yàn)?=23=43,6=45,所以Q=43>45=6,因?yàn)?=45=(46)15=409615,c=53=(55)

15=3125凡所以綜上所述,q>6>c.故選A.

5.（2024?江蘇連云港海濱中學(xué)高三學(xué)情檢測(cè)）若函數(shù)外）=處心0,且aWl）在［—1,2］上的最

大值為4,最小值為%,則實(shí)數(shù)加的值為（）

欄B-^

D.1或工

*216

答案D

解析當(dāng)。>1時(shí)，兀0=出在［—1,2］上單調(diào)遞增，則/（x）max=/（2）=q2=4,解得4=2,此時(shí)

/）=21機(jī)=/（X）min=2—1=金；當(dāng)0<0<1時(shí)，加0="在［―1,2］上單調(diào)遞減，所以火X）max=/（一

1）=屋1=4,解得°=；,此時(shí)y（x）=Q，加=/（X）min=/（2）=0=工.綜上所述，實(shí)數(shù)加的值

16

為",故選D

6.（2023?新課標(biāo)I卷）設(shè)函數(shù)加）=2小丁）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則〃的取值范圍是（）

B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+8)

11

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

答案D

解析函數(shù)了=2工在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)兀0=2/1)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=

x(x—0)=(^—J'—］在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此;三1,解得所以°的取值范圍是［2,

+°°).故選D.

2x—2^>0

7.(2023?遼寧名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)次x)滿足於)=?J'若/(a)次一a),則實(shí)數(shù)a

2Tx,x<0,

的取值范圍是()

A.(-1,0)U(0,1)

B.(-1,0)U(l,+°°)

C.(-8,-1)U(1,+8)

D.(—8,-l)U(0,1)

答案B

解析當(dāng)x>0時(shí)，~x<0,八一￡)=2_2*=_(2*_2)=—/)；當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,八一乃=2二

—2=一(2—2「)=—段)，則函數(shù)作)為奇函數(shù)，所以丸a)次—a)=-/(a),即人0>0,作出函

數(shù)作)的圖象，如圖所示，由圖象可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一1,0)U(l,+°°).故選B.

m-ifii-ira-i

8.（2024?福建漳州四校期末）已知正數(shù)a,b,c滿足2a+LJa=4,36+3=6,4c+U

=8,則下列判斷正確的是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

答案A

解析由已知可得Q+D=2,b+D=2,c+口=2,則a,b,c可分別看作直線歹=2—

x和歹=D\》=日\(chéng)歹=［1的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出直線》=2—］和歹=日，

y=D的大致圖象，如圖所示，由圖象可知avXc故選A.

12

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列各式中成立的是（）

A.LwJ="7疝（">0,m>0）

B.」行=]

D.[3）2（62）3]—；=0-26-2（心0,6>0）

答案BCD

解析U=%=〃7m—7（〃>0,別>o）,故A錯(cuò)誤；一月孕=-312=—33='口，故B正確；

nv

=、/^=\/31=的，故C正確；[（人白扶>]3=3656）^=a~2b~2（a>0,Z?>0）,故D正確.故

選BCD.

10.已知函數(shù)4）=￡石，下列說法正確的是（）

A.段）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.40的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

C./）的值域?yàn)椋ㄒ?,1）

D.V.xi,xzGR,且xi#X2,兀⑴人必）<0

Xi—X2

答案AC

尸―1V—1

解析由人―力=不有=一1"=—段），可得函數(shù)人勸為奇函數(shù)，所以A正確；因?yàn)槿?）

=0,八2）=37（0）差42）,所以B錯(cuò)誤；設(shè)V：31匚，可得3%=吐=所以1±2>0,即上匕<0,

5八八3葉1l~yl~yy-1

解得一1勺<1,即函數(shù)於）的值域?yàn)椋?1,1）,所以c正確；4）=31%—=11—二?為增函數(shù),

所以D錯(cuò)誤.故選AC.

13

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

三、填空題

121

11.0.25-2-(-2X16O)2X(2-3)3+^2X(4-3)-I=.

答案3

.1-m-1

解析原式=[(0.5)2]2—(—2x1)2x2-2+23x23=12)-4、,+2=2—1+2=3.

4

12.不等式的解集為.

答案[1,+°°)

解析由1C—6工一3工三1,可得[io)+。+[io)W1.令於)=(jo)+[5]+[10],因?yàn)槭?/p>

[ld，y=Q｝,y=[lJ均為R上的減函數(shù)，則大x)在R上單調(diào)遞減，且五1)=1,所以｛工)勺(1),

所以故不等式10'—6、一的解集為[1,+8).

13.若函數(shù)〃)=|2*—a|—1的值域?yàn)閇-1,+8),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

答案(0,+°°)

解析令g(x)=Rx—a],由題意得g(x)的值域?yàn)閇0,+8),又>=2工的值域?yàn)?0,+8),所以

—Q〈0,解得a>0.

2^x~a

14.已知函數(shù)人x)=,+'''關(guān)于x的不等式/)W/(2)的解集為/,若/(—8,2],則

2Xa,x>0,

實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(一8,—1)

解析當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可得人x)A/(2)的解集是(一8,2],不符合題意.當(dāng)a<0時(shí)，2"

。>2。，由于危)在區(qū)間(一8,0]和(0,2]上單調(diào)遞增，所以要使"c)《/(2)的解集/滿足/(一

8,2],則2一。次2)=22+。，解得a<—1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-1).

四、解答題

15.(2024?遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)校高三月考)已知函數(shù)｛x)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)g(x)

=Xx)+e"是定義在R上的偶函數(shù).

(1)求函數(shù)段)的解析式；

(2)求不等式八的解集.

解(l)；g(x)=/(x)+ex是定義在R上的偶函數(shù)，

，g(—x)=g(x)，即八一》)+—工=/3)+守，

V#x)是定義在R上的奇函數(shù)，

:?卜4=一及)，

-AQ+er=A的+e1，

14

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

P~X_pxa

(2)由(1),知------》工得2er一2^—320,

24

即2(ex)2+3d—2W0,

令t=ex,t>0,則2/2+3/-2W0,

解得OvwL

2

.?.0<收1,

2

二?xW—In2,

a

???不等式於)2：的解集為(一8,-In2].

16.(2024?山東荷澤高三期中)已知函數(shù)/(x)=〔2j.

(Xp+kH

(1)解關(guān)于％的不等式，Q￡R；

(2)若左￡(1,3),VmG(l,2),filmnx—4)~f[x2+nx)+x2~\~nx—2mnx+4^0,求實(shí)數(shù)〃的取

值范圍.

[lL3+ax+l

解⑴由U>(2j,得好+燒爐+辦+匕即(1—Q)X<1.

當(dāng)1—4=0,即4=1時(shí)，不等式怛成立，

|l|x3+ax+l

則加戶⑸的解集為R；

當(dāng)1—〃>0,即a<\時(shí)，x<----，

1—a

fXlx3+^+l?Ix<——-——,

則於)>3的解集為hl1-4；

當(dāng)1—〃<0,即a>\時(shí)，x>----，

1—a

pX3+ar+l,I—-—.

則於)>匕)的解集為卜I1—a.

綜上所述，當(dāng)。=1時(shí)，不等式的解集是R；

當(dāng)時(shí)1時(shí)，不等式的解集是hii-j；

當(dāng)a>\時(shí)，不等式的解集是bI\-a.

(2)因?yàn)?gt;=工3和歹=%均為增函數(shù),

所以y=/+x是增函數(shù)，

15

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

因?yàn)榱?吩是減函數(shù)，

所以火X)是減函數(shù)，則g(x)=?r)—X是減函數(shù).

由filmnx—4)—fix1+nx)+x2+nx—2mnx+4^0可得，

g(2mnx-4)=fi2mnx—4)—(2mnx—4)^/(x2+nx)—(x2+nx)=g(x2+nx),

所以2加內(nèi)一42N十幾x,

所以2冽九一〃三%+"能成立，

x

又X+422\/X--=4,當(dāng)且僅當(dāng)%=-,

X\1XX

即x=2時(shí)，不等式取等號(hào)，即V冽￡(1,2),2冽九一恒成立，

2n—九24,

由一次函數(shù)性質(zhì)可知，?解得〃》4,

4〃一〃24,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［4,+-).

面圈素養(yǎng)提演

17.(多選)已知函數(shù)次x)=a-12j+6的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且無限接近直線y=2,但又不與該直

線相交，則下列說法正確的是()

A.a+b=0

B.若加)=%)，且x壬