2024-2025學年江蘇省揚州市某中學高三（上）期初數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年江蘇省揚州市寶應中學高三(上)期初

數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

l.sin(1050°)=()

2.已知集合4={%|2才一1>0},B={x\x2+2x-3<0},則408=()

A.(0,3)B.(0,1)C.(-3,+oo)D.(-1,+8)

TT

3.已知函數(shù)f(久)=ax-sinx(aeR),則“a=1”是“/(久)在區(qū)間(萬,+8)上單調遞增”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.已知/(久)=為奇函數(shù)，則m+?i=()

A.1B.2C,0D.-1

5.某圓錐母線長為1,其側面積與軸截面面積的比值為2兀，則該圓錐體積為()

A--邪式pn

A-8RB.8rC--Dn-百

6.已知隨機變量f?N(2Q2),且P(f<1)=P(f>a),貝吐+臺(0<久<a)的最小值為()

A.5B.當C樣D.y

7.7知角a,0滿足tcma=2,2sin^=cos(a+0)s譏a,則tan/?=()

A-|BlC.|D.2

8.已知/(%)及其導函數(shù)f'Q)的定義域均為R,記g(%)=/'(%)，5(5.5)=2,若/(%+1)關于％=-1對稱,

g(2x+1)是偶函數(shù)，則。(-0.5)=()

A.-2B.2C.3D.-3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知a>0,b>0,a+2b=1,下列結論正確的是()

A.5+W的最小值為9B.a2+%2的最小值為*

C.log2a+log2b的最小值為一3D.2a+4b的最小值為2”

第1頁，共9頁

10.已知函數(shù)/(%)=sin2a)xcos(p+cos2a%s譏9(3>0,0Vg<$的部分圖象如圖所示，貝！J()

B.3=2

TT

C./(%+%)為偶函數(shù)

TT1

D.f(久)在區(qū)間［0)7］的最小值為-5

11.Sigmoid函數(shù)S(x)=舟與是一個在生物學中常見的S型函數(shù)，也稱為S型生長曲線，常被用作神經網

絡的激活函數(shù).記s'(%)為Sigmoid函數(shù)的導函數(shù)，則()

A.S'(%)=S(x)[l-S(x)]B.Sigzno以函數(shù)是單調減函數(shù)

C.函數(shù)S'(x)的最大值是％D.引箋[S(k)+S(-k)]=2025

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點P(-2,l),則cos(jr+a)=

13.已知正實數(shù)a,b滿足ab—b+2=0,則5+3b的最小值是.

14.已知f(x)的定義域為(0,+8)且/(2)=2,對于任意正數(shù)比1，%2都有/(久1%2)=901)+。(%2)-1，且當

X＞拊，/(%)＞0,則不等式fO)W3的解集為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=a-2，+上是定義域為R的偶函數(shù).

(1)求實數(shù)a的值；

(2)若對任意工GR,都有/(%)＞吟二成立，求實數(shù)k的取值范圍.

16.(本小題15分)

已知a=(2cos萬%),b=(sin(x—^),1),設

23

TTTT

(1)Xe[適可時，求函數(shù)f(x)的值域;

(2)若配€[獸，爭，且/'卷)=專求tan(2%o-瑞)的值.

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17.(本小題15分)

7T

如圖，三棱錐P-4BC中，4ABe=2,AB=BC=2,PA=PB,。是棱4B的中點，點E在棱4C上.

(1)下面有①②③三個命題，能否從中選取兩個命題作為條件，證明另外一個命題成立？如果能，請你選

取并證明(只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分)；

①平面P4B1平面4BC；

@DE1AC；

③PE1AC.

(2)若三棱錐P-4BC的體積為奈以你在(1)所選的兩個條件作為條件，求平面PDE與平面PBC所成二面角的

大小.

18.(本小題17分)

在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通

過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進入最后

決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲利第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者

對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲得第三名；最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，

敗者獲利第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p(。<p<1),且不同對陣的結果相互獨立.

(1)若p=0.6,經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣?。?/p>

①求甲獲得第四名的概率；

②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學期望；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至

決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)9(久)—2Zn(—t—1)+cos(—1-2).

(1)函數(shù)/O)與g(X)的圖像關于龍=-1對稱，求/(X)的解析式；

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(2)/(比)—1Wax在定義域內恒成立，求a的值;

(3)求證:￡'+"(＞1今1＜》4,nEN*.

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參考答案

1.5

2.B

3.5

4.2

5.B

6.D

7.B

8.A

9.AD

IQ.ACD

11.ACD

12等.

13.2m+7

14.(0,4]

15.解：(1)由偶函數(shù)定義知：/(-x)=/(%),

即。?2r+—^-7=a-2~x+2-2x=a-2X+2-Tx,

Zx1

(a-2)-(2x-2-x)=0對VxeR成立，a=2.

(2)由(1)得：/(x)=2(2'+2f)；

■.-2x>0,2(2、+2-x)>￡2,.2r=4,

當且僅當2，=2f即x=0時等號成立，

,'1/(x)min=4,

...4>吟tl,即(3k-<0,解得：k<0或曰<k<L

KK3

綜上，實數(shù)k的取值范圍為(-8,0)U([l).

16.解：(1)因為a=(2COSX,^L~),b=(sin(%-§),1),

所以/(%)=a?b=Icosxsin(x—^)+乎=2cosx(^sinx—^-cosx)+岑

=sinxcosx—y/^cos2x+^=^sin2x—^-cos2x=sin(2x—

2，2J

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因為xG［?］，所以2久苫e［一靜

所以sin（2x苫）e［-1,1］,

所以函數(shù)/（x）的值域為［―品］；

⑵因為/（￡）=?!，所以sin（x（）苫）=今

因為配6既爭,所以曲-賓箴］,

所以3（皿苫）=|,tang苫）=舞謂|=?

所以tan（2x°-抗）=含第號=言=一等

所以tan（2&—駕）=tan［（2xo_17r）+5］==匚誓=等

17.1?：（1）證明：選擇①②，可證明③.

因為P4=PB,。是線段48的中點，所以PD1AB.

又平面P4B1平面4BC,平面P4Bn平面力BC=AB,且PDu平面P4B；

所以P。1平面4BC,又ACu平面力BC,所以PC1AC,

又DE1AC,PDCDE=D,PD,DEu平面PDE,

所以AC_L平面PDE,又PEu平面POE,所以AC1PE,

若選擇①③，可證明②.

因為PA=PB,。是線段A8的中點，所以PD1AB.

又平面P4B1平面ABC,平面P4BC平面ABC=AB,且PDu平面P4B,

所以PO1平面4BC,又ACu平面4BC,

所以PD1AC,又PE1AC,PDCPE=P,PD,PEu平面PDE,

所以AC_L平面PDE,又DEu平面PDE,所以AC1DE.

選擇②③，可證明①.

因為P2=PB,。是線段48的中點，所以PD1AB,

因為PE1AC,DE1AC,PD,PEu平面PDE,DECPE=E,

所以AC_L平面PDE,又PDu平面POE,所以PD1AC,

ABC\AC=A,AB,ACu平面ABC,

所以PD1平面ABC,又PDu平面PAB,

所以平面P4B1平面ABC；

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(2)如圖，延長ED交CB的延長線于Q,連接PQ,

則平面PDEn與平面PBC=PQ.

由三棱錐P—ABC的體積為|,且"8C=7,

AB=BC=2,得|=*(1x2x2).PD,解得PD=1.

又由N28C=會及。是線段AB的中點，DE1AC,

在等腰直角三角形CEQ中，CE=|#,CQ=3,

連結CD,在Rt△CPD中，PD=1,CD=4，PC=心，

在等腰直角三角形BDQ中，BD=BQ=1,QD=也，

在Rt中，PQ=避,

在△CPQ中，由PC2+PQ2=CQ2,所以PC1PQ,

又由(1)知，CE1平面PDE,PE是PC在面PDE內射影，

由三垂線逆定理得：PE1PQ,

則NCPE即為二面角C-PQ-E的平面角，

CE-A/2R

sin.PE=m=/=號,

所以面PDE與面PBC所成二面角的大小為半

18.解：⑴若p=0.6,經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣??；

①記“甲獲得第四名”為事件4貝十(4)=(1—0.6)2=0.16；

②記甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量X,

則X的所有可能取值為2,3,4,

連敗兩局：P(X=2)=(1-0.6)2=0.16,

X=3可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負；負勝負；勝負負；

P(X=3)=0.62+(1-0.6)X0.6x(1-0.6)+0.6X(1-0.6)x(1-0.6)=0.552,

P(X=4)=(1-0.6)X0.6X0.6+0.6X(1-0.6)X0.6=0.288,

故X的分布列如下：

第7頁，共9頁

X234

P0.160.5520.288

故數(shù)學期望E(X)=2X0.16+3x0.552+4x0.288=3,128,

則甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學期望為3.128；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至

決出最后的冠軍，

“雙敗淘汰制”下,甲獲勝的概率P=p3+p(l-p)p2+(l-p)p3=(3-2p)p3,

在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為p2,

由(3-2p)p3—p2=p2(3p-2P2—1)=p2(2p—且0<p<1,

所以pGgl)時，(3-2p)p3>p2,“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；

VG竭)時，(3—2p)p3<p2,“單敗淘汰制”對甲奪冠有利；

pW時，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.

19.解：(1)依題意，設/(尤)圖像上任意一點坐標為(曲,火)，

則其關于％=-1對稱的點(-2-在g(%)圖像上，

則yo=/(%o)=9(—2—汽o),則f(%o)=g(-%o-2)=2Zn(x0+1)+cosxQ,(X0>T)

故/(%)=2Zn(x+1)+cosx,(%>—1)；

(2)令九(%)=/(%)—1—ax=2Zn(x+1)+cosx—l—ax,(%〉—1),

則在h(%)4o在％e(-1,+8)恒成立，

又h(0)=0,且h(%)在％€(-1,+8)上是連續(xù)函數(shù)，貝!J%=0為h(%)的一個極大值點，

2

〃(％)=+^—sinx—a,"(0)=2—a=0=a=2,

下證當a=2時，h(x)<0在X6(-1,+8)恒成立，

1