河北省唐山市遵化市2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中試題含解析

PAGE20-河北省唐山市遵化市2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中試題（含解析）一.單項選擇題（本小題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在平面直角坐標系中，直線+的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線方程得斜率，從而得傾斜角．【詳解】由直線方程知直角斜率為，在上正切值為1的角為，即為傾斜角．故選：B．2.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三視圖，確定三棱錐的高與底面，及底面面積后可得體積．【詳解】由三視圖知三棱錐中，與底面垂直，底面是等腰三角形，，，∴．故選：A．3.圓的圓心坐標和半徑分別為（）A.，5 B.， C.，5 D.，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)圓的標準方程即可求解.【詳解】由圓的方程為：，則圓心坐標為，半徑為.故選：D【點睛】本題考查了干脆求圓的圓心與半徑，考查了基本學問的駕馭狀況，屬于基礎題.4.如圖所示，將無蓋正方體紙盒綻開，直線，在原正方體中的位置關系是（）A.平行 B.相交 C.異面 D.相交成【答案】D【解析】分析】將原正方體盒子的綻開圖還原成直觀圖，再推斷的位置關系.【詳解】原正方體盒子的直觀圖如圖所示：則與相交，連接，有為等邊三角形,故選：D【點睛】本題考查空間中直線位置關系的推斷，考查正方體側面開展圖與原幾何體的關系，比較簡潔，只需畫出直觀圖即可解決問題.5.若點為圓的弦的中點，則弦所在直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得圓心坐標為，依據(jù)斜率公式求得，再由依據(jù)圓的弦的性質，得到，結合直線點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得，所以圓心坐標為，半徑為，又由斜率公式，可得，依據(jù)圓的弦的性質，可得，所以，所以弦所在直線方程為，即，所以弦所在直線方程為.故選：D.【點睛】本題主要考查了直線方程的求解，以及圓的弦的性質，其中解答中嫻熟應用圓的弦的性質是解答的關鍵，著重考查推理與運算實力.6.已知是球的球面上兩點，，為該球面上的動點．若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，利用三棱錐體積的最大值為36，求出半徑，即可求出球的表面積．【詳解】解：如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選：．【點睛】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大是關鍵，屬于中檔題．7.若直線y=x+b與曲線有公共點，則b的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：如圖所示：曲線即（x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓，直線與圓相切時，圓心到直線y=x+b距離等于半徑2，可得=2，∴b=1+2，b=1-2當直線過點（4，3）時，直線與曲線有兩個公共點，此時b=-1結合圖象可得≤b≤3故答案為C8.在正方體中，直線與面所成角的正弦為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結合題意，構造該直線與平面所成夾角，計算正弦值，即可．【詳解】連接AC交BD于點O，連接，因為，得到，所以為直線與面所成角，設，則，所以，故選B．【點睛】本道題考查了計算直線與平面所成角，考查了直線與平面垂直的判定，難度中等．二.多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分）9.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關系（）A平行 B.垂直 C.異面 D.重合【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)空間兩條直線的位置關系推斷．可以用模型說明．【詳解】視察正方體中與一條棱垂直的棱可知，ABC均可能，故選：ABC．10.設?是兩條不同的直線，??是三個不同的平面．下列四個命題中正確命題是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】AB【解析】【分析】直線與平面平行與垂直，平面與平面平行與垂直的判定與性質，對選項進行逐一推斷，推出結果即可．【詳解】解：若，，則，是直線和平面垂直的判定，A正確；若，，，則，推出，滿意直線和平面垂直的判定，B正確；若，，則，兩條直線可能相交，也可能異面，C不正確．若，，則中與可能相交或異面．考慮長方體的頂點，與可以相交．D不正確．故選：AB．【點睛】本題考查線線平行與垂直的判定，線面垂直的判定，面面平行的判定，是基礎題.11.已知圓上有且僅有兩個點到直線3415=0的距離為1，則實數(shù)a的可能取值（）A.15 B.6 C.0 D.1【答案】BC【解析】【分析】確定圓心不過已知直線，與已知直線平行且距離為1的直線有兩條，這兩條直線一條與圓相交，一條與圓相離即可得．由此求出的范圍后可推斷各選項．【詳解】圓標準方程是，圓心為，半徑為（），圓心到已知直線的距離為，則圓心到與直線平行且距離為1的直線的距離分別為3和5，由題意，解得．只有BC滿意．故選：BC．【點睛】方法點睛：本題考查考查直線與圓的關系，解題方法的得出是由于到已知直線距離為1的點在兩條平行線上，與已知直線的距離是1，要滿意題意，則這兩條直線一條圓相交，一條與圓相離（圓心不在直線上）．由直線與圓的位置關系求解．12.如圖，在正方體ABCD中，點P在面對角線AC上運動，給出下列四個命題，則其中正確的命題的是（）A.平面B.C.平面PD⊥平面D.三棱錐體積不變【答案】ACD【解析】【分析】確定平面平面，可推斷A，取特別點可推斷B，證明平面后得面面垂直，可推斷C，由棱錐體積公式可推斷D．【詳解】如下圖，正方體中，由線面平行的判定定理，得平面，同理平面，因此可得平面平面，從而平面內的直線平面，A正確；如下圖，當是與交點時，是銳角，B錯；如下圖，由正方體中，可得平面，從而，同理有，因此有平面，∴平面平面，C正確；如上圖，的面積是矩形面積的一半，不變，到平面的距離不變是，因此三棱錐即三棱錐的體積不變，D正確．故選：ACD．【點睛】關鍵點點睛：本題考查空間線面關系，棱錐的體積，駕馭線面平行的判定，線線垂直、線面垂直與面面垂直的關系是解題關鍵．解題時對三個垂直的間相互轉化需嫻熟駕馭．三.填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在題中橫線上）13.已知正四棱錐的高為4，側棱長為3，則該棱錐的側面積為___________.【答案】【解析】【分析】由高和側棱求側棱在底面射影長，得底面邊長，從而可求得斜高，可得側面積．【詳解】如圖，正四棱錐，是高，是中點，則是斜高，由已知，，則，是正方形，∴，，，側面積為側．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求正棱錐的側面積．在正棱錐計算中，解題關鍵是駕馭四個直角三角形：如解析中圖中，正棱錐的幾乎全部量在這四個直角三角形中都有反應．14.經過點作圓的切線，則切線的方程為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題中條件，先求出切線斜率，進而可得切線方程.【詳解】因為點在圓上，所以，因此切線斜率為2，故切線方程為，整理得．故答案為：.15.正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1【答案】45°【解析】【詳解】試題分析：解：如圖，設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標系，則A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），∴=(0，1，0)，=(-1，1，1)，設面ABC1的法向量為=(x，y，z)，∵?=0，?=0，∴y=0，-x+y+z=0，∴=(1，0，1)，∵面ABC的法向量=(0，0，1)，設二面角C1-AB-C的平面角為θ，∴cosθ=|cos＜，＞|=，∴θ=45°，答案為45°．考點：二面角的平面角點評：本題考查二面角的平面角及求法，是基礎題．解題時要仔細審題，留意向量法的合理運用16.當點在圓上運動時，它與定點的連線的中點的軌跡方程是________________.【答案】【解析】【分析】設動點，，的中點，由中點坐標公式可解出，，將點點的坐標代入已知圓的方程，化簡可得到所求中點的軌跡方程.【詳解】解：設動點，，的中點，由題意可得：，，解得：，，又點在圓上運動，，化簡得：，即為所求的軌跡方程.故答案為：.【點睛】方法點睛：求軌跡方程的基本步驟：①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，設是軌跡上的隨意一點；②找尋動點所滿意的條件；③用坐標表示條件，列出方程；④化簡方程為最簡形式；⑤證明所得方程即為所求的軌跡方程，留意驗證.四.解答題（本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟）17.已知直線和直線，（1）當時，求的值；（2）當與平行時，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)兩直線垂直，列出方程，即可求出結果；（2）依據(jù)題意，先得到，求出，再代入直線方程檢驗，即可得出結果.【詳解】（1）由題意，若，則，解得；（2）若與平行，則，解得或，當時，與重合，不滿意題意；當時，和平行，滿意題意.故.18.如圖正方形中，證明：（1）；（2）平面【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，再由線面垂直的性質可得；（2）由線面垂直的判定定理證明平面，從而得出，再由，得出平面.【詳解】（1）連接在正方體中底面，底面為正方形又底面，又平面，平面，平面又平面（2）連接在正方體中,側面，側面為正方形又側面,，又平面，平面，平面,又平面,由（1）可知.，平面，平面平面【點睛】本題主要考查了證明線線垂直以及證明線面垂直，屬于中檔題.19.已知的頂點，，，求（1）邊上的中線所在直線的方程；（2）求點關于直線對稱點坐標．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的中點的坐標，從而可求的直線方程.（2）求出直線的方程，設所求對稱點的坐標為，依據(jù)中點和垂直兩個關系得到關于的方程組，求解后可得所求的對稱點的坐標.【詳解】（1）由題設有，故，故直線的方程為：即.（2），故直線的方程為：，設點關于直線對稱點坐標為，則，解得，故點關于直線對稱點坐標.【點睛】本題考查直線方程以及點關于直線的對稱點的求法，后者留意利用中點和垂直來構建關于對稱點的坐標的方程組，本題屬于基礎題.20.如圖，在三棱柱ABC中，各個側面均是邊長為2的正方形，D為線段AC的中點.（1）求證：BD⊥平面AC；（2）求證：直線A平面BD.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用正三棱柱的性質得，，則證得線面垂直；（2）設，連接DO，由中位線定理得，從而可得線面平行．【詳解】(1)證明:由三棱柱ABC中，各個側面均是邊長為2的正方形可知三棱柱為正三棱柱由D為線段AC的中點，可知BD⊥AC，因為BD⊥A，，所以BD⊥平面AC(2)證明:連接，且，連接DO在中為中點，為中點，所以DO平面BD，A平面BD所以A平面BD．【點睛】關鍵點點睛：本題考查證明線面垂直與線面平行，解題關鍵是駕馭線面平行與線面垂直的判定定理．解題時留意要滿意定理的全部條件，缺一不行，在全部條件滿意的狀況下可由定理得出結論．21.如圖，圓與圓(點在點的右側)與軸分別相切于，兩點，另兩圓外切且與直線分別相切于，兩點，若.（1）求圓與圓的標準方程；（2）過B作直線EF的垂線L，求直線L被圓E截得的弦的長度.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先由題意，得到圓的半徑為，進而可得的方程；再由題意，得到、、三點共線，設圓的半徑為，由題意，得到，再求出，即可得出圓的方程；（2）先由題意，聯(lián)立直線與圓的方程求出，以及直線L的方程，依據(jù)幾何法，即可求出圓的弦長.【詳解】（1）因為點，圓與軸分別相切于，所以，即圓的半徑為，所以圓；因為圓與圓(點在點的右側)與軸分別相切于，兩點，與直線分別相切于，兩點，且兩圓外切，所以、、三點共線，設圓的半徑為，則有，即，解得，即，則又在直線上，所以，即，因此，圓；(2).聯(lián)立，解得，所以，又；所以過點且與垂直的直線L為:，即，因為點E到直線L的距離所以直線L被圓截得弦長.【點睛】方法點睛：求圓的弦長的方法：（1）代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，依據(jù)韋達定理，以及弦長公式，即可求出結果；（2）幾何法：先求圓心到直線的距離，依據(jù)圓心到直線距離的平方與弦長一半的平方之和等于半徑的平方，即可求出弦長.22.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC與△A1B1C1都為正三角形且AA1⊥面ABC，F(xiàn)、F1分別是AC，A1C1（1）平面AB1F1∥平面C1BF（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由棱柱的性質及中點得B1F1∥BF，AF1∥C1F（2）先證明B1F1⊥平面ACC1A【詳解】