福建省寧德市2024-2025學年高一數(shù)學上學期期末考試試題含解析

PAGE20-福建省寧德市2024-2025學年高一數(shù)學上學期期末考試試題（含解析）（考試時間:120分鐘試卷總分:150分）留意事項:1.答題前，考生務(wù)必將自己的校名、姓名、準考證號填寫在答題卷的相應(yīng)位置上.2.全部答案在答題卡上完成，答在本卷上無效.一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡的相應(yīng)位置填涂.1.已知全集則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，再求交集即可.【詳解】因為，所以故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集和補集的運算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個扇形的面積為（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)扇形面積公式即可求解.【詳解】由扇形面積公式可得這個扇形面積為故選：A【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由零點存在性定理求解即可.【詳解】，，，，因為，，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是故選：A【點睛】本題主要考查了零點存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)得到，，計算出，即可得到.【詳解】函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則所以故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5.如圖，是我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形，假如小正方形的面積為1，大正方形的面積為5，直角三角形中較小的銳角為，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意求出直角三角形的面積以及斜邊的長，由勾股定理以及三角形面積公式列出等式，求解即可.【詳解】因為大正方形的面積為5，所以直角三角形的斜邊為小正方形的面積為1，大正方形的面積為5，則每一個直角三角形的面積為設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為：，則有解得：則故選：B點睛】本題主要考查了勾股定理、三角形面積公式以及求正切，屬于基礎(chǔ)題.6.已知則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式將綻開，平方后化簡得到，求出，即可得出.【詳解】因為所以，化簡得到又，所以，即，即所以所以故選：C【點睛】本題主要考查了兩角和的余弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，則的最小值是（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】將綻開化簡得到，再由化簡得到，依據(jù)的范圍，即可得到的最小值.【詳解】因為，所以當時，取最小值：故選：A【點睛】本題主要考查了向量的基本運算以及模長的求法，屬于中檔題.8.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)奇偶性解除D，取特別值解除A，C，即可得出答案.【詳解】令，則函數(shù)為奇函數(shù)所以解除D，解得：，因為，，所以解除A，C故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，屬于基礎(chǔ)題.9.若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，利用對數(shù)的運算得出，利用指數(shù)的運算化簡并與比較，即可得出答案.【詳解】因為，，所以故選：C【點睛】本題主要考查了比較大小，屬于中檔題.10.已知函數(shù)則的最大值為（）A.1 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，利用換元法以及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為，所以令，則,二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為故選：D【點睛】本題主要考查了求函數(shù)正弦的二次式的最值，屬于中檔題.11.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象都經(jīng)過點，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得出，依據(jù)平移變換得到，由結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到,或,，由即可得到答案.【詳解】因為，，所以由題意可得，解得：,或,即,或,當時，故選：C【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的平移變換等，屬于中等題.12.高斯函數(shù)是數(shù)學中的一個重要函數(shù)，在自然科學社會科學以及工程學等領(lǐng)域都能看到它的身影.設(shè)，用符號表示不大于的最大整數(shù)，如，則叫做高斯函數(shù).給定函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個解，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】證明函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，并依據(jù)時，的圖象畫出，，將方程的解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點個數(shù)，探討的取值，依據(jù)圖像，列出相應(yīng)不等式即可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，當時，，則要使得有5個解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個交點.當時，函數(shù)與函數(shù)，的圖象如下圖所示不滿意題意當時，函數(shù)與函數(shù)，的圖象如下圖所示要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個交點，則函數(shù)的圖象低于點A，不低于點B故有，解得：故選：D【點睛】本題主要考查了依據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于難題.二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡相應(yīng)位置13.若向量與共線，則實數(shù)___________;【答案】【解析】【分析】由向量共線得到，即可得到.【詳解】向量與共線，則，解得故答案為：【點睛】本題主要考查了由向量共線求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14.求值=___________.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式得到，逆用兩角和的余弦公式，即可求解.【詳解】則故答案為：【點睛】本題主要考查了兩角和的余弦公式的逆用，屬于基礎(chǔ)題.15.若函數(shù)在上的最大值為2，則實數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】先確定的解，畫出函數(shù)的圖像，依據(jù)圖像分析即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，解得；，解得函數(shù)的圖像如下圖所示由圖可知，要使得函數(shù)在上的最大值為2，則【點睛】本題主要考查了依據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)，屬于中檔題.16.若函數(shù)同時滿意下列兩個條件，則稱該函數(shù)為“和諧函數(shù)”:（1）隨意恒成立;（2）隨意且，都有以下四個函數(shù):①；②；③；④中是“和諧函數(shù)”的為________________（寫出全部正確的題號）.【答案】③④【解析】【分析】先由單調(diào)性以及奇偶性定義得到“和諧函數(shù)”滿意的條件，再以此為依據(jù)，分別推斷奇偶性以及單調(diào)性，即可推斷.【詳解】隨意恒成立，則隨意即函數(shù)在上為奇函數(shù)取，因隨意且，都有，所以在上增函數(shù)①函數(shù)的定義域為，故①不是和諧函數(shù)；②，令，則函數(shù)在上為奇函數(shù)，但，即不是增函數(shù)，故②不是和諧函數(shù)；③令，定義域為，則函數(shù)在上為奇函數(shù)；設(shè)，因為，所以，即所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故③為和諧函數(shù)；④令，定義域為，則函數(shù)在上為奇函數(shù)；設(shè)，因為，，所以即即函數(shù)在上為增函數(shù)，故④是和諧函數(shù)；故答案為：③④【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的證明以及奇偶性的證明，屬于中等題.三、解答題:本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明或演算步驟.17.已知全集，集合（1）求（2）假如，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】(1)化簡集合B，求出集合A的補集，即可求解(2)依據(jù)集合A與集合C沒有公共部分，畫出韋恩圖，列出相應(yīng)不等式，即可求解.【詳解】解：（1）因為，或，（2）因為，所以集合A與集合C沒有公共部分或故有或，解得：或即實數(shù)的取值范圍是或【點睛】本題主要考查了集合的交并補運算以及已知集合間的關(guān)系求參數(shù)，屬于中等題.18.如圖，在矩形ABCD中，點E是AC的中點，點F在邊CD上.（1）若點F是CD上靠近C的三等分點，試用表示;（2）若AB＝2，BC＝3，當時，求DF的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)平行四邊形法則得到，，結(jié)合三角形法則并化簡得；(2)建立直角坐標系，用坐標表示、，即可得到DF的長.【詳解】解：（1）因為是中點，所以.因為是上靠近的三等分點，所以，.所以.（2）如圖，以為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立平面直角坐標系設(shè)的長為,則.所以.因為，所以,所以,即的長為.【點睛】本題主要考查了用基底表示向量以及已知數(shù)量積求模長，屬于中檔題.19.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）若，且求的值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】(1)利用二倍角的余弦公式、誘導(dǎo)公式、協(xié)助角公式化簡，依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間化簡得到的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)依據(jù)函數(shù)的解析式以及化簡得到，再由確定，再由兩角和的正切公式求出.【詳解】解：（1）由已知得：由得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為,所以,即.因為所以因此即所以.【點睛】本題主要考查了求正弦型函數(shù)的單調(diào)性以及兩角和的正切公式，屬于中檔題.20.在國慶期間，某商場進行實惠大酬賓活動，在活動期間，商場內(nèi)全部商品按標價的80％出售;同時，當顧客在該商場內(nèi)消費滿肯定金額（元）后，還可按如下方案獲得相應(yīng)金額（元）的獎券:依據(jù)上述實惠方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重實惠例如，購買標價為300元的商品，則消費金額為240元，獲得的實惠額為:（元）.設(shè)購買商品得到的，試問:（1）購買一件標價為800元的商品，顧客得到的實惠率是多少?（2）對于標價在（元）內(nèi)的商品，要使顧客購買某商品獲得30％的實惠率，則該商品的標價是多少?【答案】（1）購買一件標價為元的商品，顧客得到的實惠率是（2）購買標價為元的商品可以得到的實惠率【解析】【分析】(1)依據(jù)題意求出實惠額，利用題設(shè)所給公式即可得到實惠率；(2)設(shè)購買標價為元的商品可以得到的實惠率，分別探討和，依據(jù)實惠率列出等式，求出相應(yīng)的標價，即可得出滿意題意的標價.【詳解】解：（1）標價為元商品實惠額為:元,所以實惠率為：.答：購買一件標價為元的商品，顧客得到的實惠率是.（2）設(shè)購買標價為元的商品可以得到的實惠率.當時，，實惠率為：，解得.因為，所以不合題意，舍去.當時，，實惠率為：，解得.因為，符合題意.答：購買標價為元的商品可以得到的實惠率.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題.21.已知函數(shù)是函數(shù)的零點，是函數(shù)圖象的對稱軸，且.（1）求函數(shù)的解析式;（2）若函數(shù)在上有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)依據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸以及，得出，由，列出方程組，解出，依據(jù)得出，；(2)將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點問題，依據(jù)圖像，求出的取值范圍.【詳解】解：（1）是函數(shù)圖象的對稱軸，且，則由已知得所以所以,又因為所以，，故（2）依題意知函數(shù)與在上有個交點結(jié)合圖象可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，；當時，；當時，；所以的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定解析式以依據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于中檔題.22.已知函數(shù)（1）當時，求滿意方程的的值;（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).①若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍;②已知函數(shù)滿意，若對隨意且，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】(1)解方程求出的值即可；(2)依據(jù)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，由定義列出方程，求出，對于①，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明的單調(diào)性，利用單調(diào)性化簡不等式得到，由，即可得到實數(shù)的取值范圍；對于②，由的解析式得到的解析式，化簡，結(jié)合換元法以及基本不等式得到實數(shù)的最大值.11【詳解】解：（1）因為，，所以