廣東省部分學(xué)校2025屆高三年級(jí)上冊(cè)8月摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含答案）

廣東省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期8月摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={y\y=log2x,x>1},集合B=(y\y=拉>1},則2nB=()

A.(1,1)B.(0,1)C.(0,1)D.0

2.已知等邊三角形力BC的邊長(zhǎng)為1,-AC+AC-AB+AB-'BC=()

A.-B.——C.—5D.―

3.已知sina+cosa=1,ae(0,兀)，則2；in2a=()

5、'1—tan2a'7

724

A.——B.---C.-1D.2

4.已知?i為異面直線，m_L平面a,n1平面若直線E滿足/1m,I1n,lUa,1鄴,則()

A.a//13,l//aB.a與￡相交，且交線平行于I

C.a1I1aD.a與￡相交，且交線垂直于I

5.移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)給人們的溝通交流帶來(lái)了方便.某種移動(dòng)社交軟件平臺(tái)，既可供用戶彼此添加“好友”單獨(dú)交

流，又可供多個(gè)用戶建立一個(gè)“群”(“群里”的人彼此不一定是“好友”關(guān)系)共同交流.如果某人在平臺(tái)

上發(fā)了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，現(xiàn)有一個(gè)10人的“群”，其

中一人在平臺(tái)上發(fā)了一條信息，“群”里有3人說(shuō)看到了，那么這個(gè)“群”里與發(fā)信息這人是“好友”關(guān)

系的情況可能有()

A.56種B.120種C.64種D.210種

6.已知函數(shù)/(%)=爐+32—X的圖象在點(diǎn)4(1/(1))處的切線方程為y=4*—3,則函數(shù)/(x)的極大值為()

A.-1B.——C.——D.1

7.已知拋物線C:y2=8%,圓尸:0一2)2+y2=4(點(diǎn)F為其圓心)，直線上y=fc(x-2)(fcW0)自上而下順次與

上述兩曲線交于Ml、M2、“3、”4四點(diǎn)，則下列各式結(jié)果為定值的是()

A.\MXM3\■\M2M4\B.IFMJ■|FM4|C.\M^M2\■\M3M4\D.\FMX\■\MrM2\

8.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,/(2+x)+/(-x)=0,對(duì)任意的％i，x26[1,+oo)(%1<x2),均有/(冷

)-/(xi)>°>已知a,b(a芋b)為關(guān)于x的方程久2-2I+/_3=0的兩個(gè)解,則關(guān)于t的不等式

/(a)+/(b)+/(t)>0的解集為()

A.(1,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(-2,2)

第1頁(yè)，共11頁(yè)

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.設(shè)4B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(一1,0),(1,0),直線AM,相交于點(diǎn)M,設(shè)直線AM、的斜率分別為的、

k2,下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)上的=-拊，點(diǎn)M的軌跡是橢圓的一部分

B.當(dāng)心?=4時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一部分

C.當(dāng)心一矽=2時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一部分

D.當(dāng)好+七=2時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是橢圓的一部分

10.已知函數(shù)/'(久)=Acos(a)x+w)(4>0,3>0,|如<$的圖象如圖所示，令g(x)=/(久)一，(x)，則下列

說(shuō)法正確的是()

A.遍)=2

B.函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=/ot+巖(kGZ)

C.若函數(shù)九(x)=g(x)+2的兩個(gè)不同零點(diǎn)分別為久1，x2>則|孫-型1的最小值為三

D.函數(shù)。(久)的圖象上存在點(diǎn)P,使得在點(diǎn)P處的切線斜率為-2

11.定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)，f(Z)=Z2就是一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù).給定多項(xiàng)式復(fù)變函

數(shù)/(z)之后，對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)zo,通過(guò)計(jì)算公式zn+i=/(z“)，neN可以得到一列值z(mì)o,z2,....

zn，….如果存在一個(gè)正數(shù)M,使得|Zn|<M對(duì)任意neN都成立，則稱(chēng)Zo為f(z)的收斂點(diǎn)；否則，稱(chēng)z0為

/(z)的發(fā)散點(diǎn).則下列選項(xiàng)中是/(z)=z2的收斂點(diǎn)的是

A.V2B.—iC.1—iD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

第2頁(yè)，共11頁(yè)

12.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為4B,C,若sin4sinB,sinC成等差數(shù)列，則角B的取值范圍是

13.中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式.

例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)(古人稱(chēng)方臺(tái))體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解.下圖(1)為俯視圖，圖

(2)為立體切面圖,E對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體，B,D,H,F對(duì)應(yīng)四個(gè)三棱柱，A,C,I,G對(duì)應(yīng)

四個(gè)四棱錐.若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12,四個(gè)四棱錐的體積之和為4,則該正四棱臺(tái)的體積為.

圖⑴圖⑵

14.袋中裝有10個(gè)除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率

是(現(xiàn)從該袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X,貝傷(X)=.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知力，B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量訪=(2-2sin4sinA+cos4)與ri=(sinA-cos4,l+sin力)共線，

且荏?前＞0.

(1)求角4

(2)求函數(shù)y=2sin2-1+cos￡1O的值域.

16.(本小題12分)

如圖，已知四邊形4BCD和四邊形A8EF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且它們所在的平面互相垂直.”、N兩點(diǎn)分

第3頁(yè)，共11頁(yè)

別在正方形對(duì)角線AC和上移動(dòng)，且CM=BN=a（0＜a＜避）.

（1）當(dāng)M、N分別為力C、BF的中點(diǎn)時(shí)，求證：MN〃平面BCE;

（2）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求平面MM4與平面MNB夾角的余弦值.

17.（本小題12分）

一般地，我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)％,尸2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于IF1&I）的點(diǎn)的軌跡叫做

雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距.

（1）請(qǐng)用上述定義證明反比例函數(shù)曠=;的圖象是雙曲線；

（2）利用所學(xué)的知識(shí)，指出雙曲線y=%k〉0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程；

（3）我們知道，雙曲線y=%k＞0）上的任意一點(diǎn)到x=0與y=0的距離之積是常數(shù)，即xy=北探討雙曲

線今爺=1（。＞。力＞0）上的任意一點(diǎn)是否有類(lèi)似結(jié)論，若有，寫(xiě)出結(jié)論并證明;若沒(méi)有，則說(shuō)明理由?

18.（本小題12分）

立德中學(xué)為了解全校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)的情況，從高三年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測(cè)

試，并且規(guī)定體能達(dá)標(biāo)測(cè)試成績(jī)小于60分的為“不合格”，否則為“合格”.若高三年級(jí)“不合格”的人數(shù)不

超過(guò)總?cè)藬?shù)的5%,則該年級(jí)體能達(dá)標(biāo)為“合格”，否則該年級(jí)體能達(dá)標(biāo)為“不合格”，需要重新對(duì)高三年級(jí)學(xué)

生加強(qiáng)訓(xùn)練.現(xiàn)將這40名學(xué)生隨機(jī)分成甲、乙兩個(gè)組，其中甲組有24名學(xué)生，乙組有16名學(xué)生.經(jīng)過(guò)測(cè)試后，

兩組各自將測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下:甲組的平均成績(jī)?yōu)?0,標(biāo)準(zhǔn)差為4;乙組的平均成績(jī)?yōu)?0,標(biāo)準(zhǔn)差為6.（數(shù)

據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）

（1）求這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分h和標(biāo)準(zhǔn)差s（結(jié)果保留整數(shù)）；

（2）假設(shè)高三學(xué)生的體能達(dá)標(biāo)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布Not。?）,用樣本平均數(shù)又作為由的估計(jì)值"用樣本標(biāo)準(zhǔn)差

s作為。的估計(jì)值H利用估計(jì)值估計(jì),高三學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測(cè)試是否“合格”；

第4頁(yè)，共11頁(yè)

(3)為增強(qiáng)趣味性，在體能達(dá)標(biāo)的跳繩測(cè)試項(xiàng)目中,同學(xué)們可以向體育特長(zhǎng)班的強(qiáng)手發(fā)起挑戰(zhàn).每場(chǎng)挑戰(zhàn)賽都采

取七局四勝制.積分規(guī)則如下:以4:0或4:1結(jié)束，獲勝隊(duì)員積4分，落敗隊(duì)員積0分;以4:2或4:3結(jié)束，獲勝隊(duì)員

積3分，落敗隊(duì)員積1分.假設(shè)體育特長(zhǎng)生小強(qiáng)每局比賽獲勝的概率均為|,求小強(qiáng)在一場(chǎng)挑戰(zhàn)賽中所得積分為

3分的條件下，他前3局比賽都獲勝的概率.

附：；〃個(gè)數(shù)的方差52三￡憶1(%-%)2;

②若隨機(jī)變量Z?N(出。2),則尸(的Z</z+ff)=0.6826,P(/z-2o-<Z<〃+2G=0.9544,P(〃-3b<Z<〃+3。尸0.9974.

19.(本小題12分)

對(duì)于函數(shù)f(x)QeD),若存在正常數(shù)r,使得對(duì)任意的久eD,都有/(%+T)N/(X)成立，我們稱(chēng)函數(shù)

f(x)為“7同比不減函數(shù)”.

(1)求證：對(duì)任意正常數(shù)7,/(%)=/都不是“T同比不減函數(shù)”；

TT

(2)若函數(shù)/(無(wú))=kx+sinx是同比不減函數(shù)”，求k的取值范圍；

(3)是否存在正常數(shù)T,使得函數(shù)/(x)=x+|x-l|-|x+1|為“T同比不減函數(shù)”，若存在，求T的取值范

圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第5頁(yè)，共11頁(yè)

參考答案

l.c

2.D

3.X

4.B

5.C

6.D

7.C

8.A

9.ABC

IQ.ACD

11.BD

TT

12.(0同

13.28

14.|

15.解：(1)由題設(shè)知：(2—2smi4)(l+sinA)—^sinA+cosA)(sinA-cosA)=0,

2(1—sin2i4)—sin2i4+cos2A=0,

???sir^A=-|,

4

又a為三角形內(nèi)角，所以shM=岑，

由樂(lè)?赤>o知a為銳角，

(2)由⑴及題設(shè)知：B+C=^,

所以：y—2sin2-1+cos(^--B)=1—cosB+cos?！狟)

=1+岑sinB—|cosB=1+sin(B—^),

又0<B<^,

第6頁(yè)，共11頁(yè)

17T

???一萬(wàn)<sin(B-%)<1,

yG8,2),

因此函數(shù)y=2s出2?+cos￡/的值域?yàn)?，2).

16.解：(1)如圖,連接CE,AE,

???M、N分別為AC、BF的中點(diǎn),

■-■N是4E中點(diǎn)，

MN//CE,

又MNU平面BCE,CEu平面8CE.

???MN〃平面BCE.

（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

則X(l,0,0),C(0,0,l),F(l,l,0),￡(0,l,0),

CM=BN-a,,0,1-N\__oi

----->aci

???MN=（0,殺聲I）,

...|MN|=，（哀—」）2+（。―/）2+（1一a）2=,2—J2a+1；

當(dāng)。=字時(shí)，|MN|最小，最小值為孝；此時(shí)M,N為中點(diǎn)時(shí)，MN最短,

第7頁(yè)，共11頁(yè)

則M(1,O,1),W(|,1,O),取MN的中點(diǎn)G,連接4G,BG,

則,3

???AM=AN,BM=BN,???AG1MN,BG1MN,

N4GB是平面MN力與平面MNB所成二面角,

設(shè)平面MM4與平面MNB的夾角為a,

???褊=&[-6，而=(《，U)

\GA?GB\1

???cosa=^=；~.

\GA\-\GB\3

-1

???平面MM4與平面MNB夾角的余弦值是w.

-I111

17.1?：(1)證明：(1)對(duì)于y=-，有％=[,注意到1=T='，

xyy*

則函數(shù)y=;的反函數(shù)為其本身.

故y=3關(guān)于直線y="對(duì)稱(chēng)，

同時(shí)又因y=—%與y=久垂直，

故反比例函數(shù)y=§的兩條對(duì)稱(chēng)軸分別為y=±久，

則若其符合雙曲線的定義，其焦點(diǎn)一定在y=x上.

而y=》與雙曲線丫=5的兩個(gè)交點(diǎn)AM—1,—1),4(1,1)是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn).

則實(shí)軸長(zhǎng)2a=2避，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為％(-避，-也)，尸2(&，避).

設(shè)點(diǎn)P(x,y)在函數(shù)y=§的圖象上，則y=1,即P(x9,

(E)當(dāng)久>0時(shí)，x+1>2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，

所以|PF1|一|PF2I=+V^)2+(1---+(工\/5)2

=+1)+也]2_j[(x+])一避]2=(x+1)+避一(x+《)+也=2”.

第8頁(yè)，共11頁(yè)

(ii)當(dāng)x<0時(shí)，從而x+§W-2,當(dāng)且僅當(dāng)乂=一1時(shí)，取等號(hào)，

同理，有IPF2HPF1I=2避.

因此，無(wú)論點(diǎn)P(x,y)在第一象限或者在第三象限，

均有IIPF1HPF2II=2M(小于[%尸2|).

所以函數(shù)y=?的圖象是雙曲線.

(2)函數(shù)y=*k>0)的圖象是以Fi(—Jn,—J很)，F(xiàn)2a2kz2k)為兩焦點(diǎn)、，

實(shí)軸長(zhǎng)2a=2網(wǎng)的雙曲線，兩漸近線方程分別為％=0和丫=0.

(3)因?yàn)閤=0與y=0是雙曲線y=§(k>0)的兩條漸近線，有孫=k.

27

類(lèi)似地：雙曲線左=l(a>0力>0)上的任意一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積是常數(shù).

證明：設(shè)。(右,月)是雙曲線:—j|=l(a>0,b>0)上任意一點(diǎn)，

則有爐話=a2b2

雙曲線今-，=l(a>0,b>0)的漸近線方程為b%±ay=0.

于是點(diǎn)。到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為辭篇1?埠=儼于吸=碧蘇結(jié)論成立.

b7a+a2+b21a2+b2

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18.解：(1)由題意可得，這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分返金(70X24+80X16)=74,

故這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分74,

22

由公式s2=/，=i(X廠%)2=京(xJ+/H---Fxn)-nX],

設(shè)甲組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為修，必，…，切4，

設(shè)乙組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為犯5,必6,…，必0，

222

則甲組的方差為(XJ+MH---1-%24)-24X70]=4,

則(X12+X22+,**+^242)=24(16+702)

22,,，+222

則乙組的方差為*2=9(X25+X26+X4O)-16X80]=6,

則(X252+X26^--卜入4()2)=16(36+802),

則這40名學(xué)生的方差為(煌+歷2+…+如2)+(X252W+-+W)-40X742]

1

=—[24(16+702)+16(36+802)-40X742]=48,

所以s=0^=4平27,

故這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為7；

(2)由久=74,s七7,得口的估計(jì)值&=74,◎的估計(jì)值3=7.

P(|i-2o<^<n+2o)=P(60<^<88)=0.9544,

1—o9S44

■■.P(X<60)=P(X288)=；