中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：直線的一般式方程（知識清單8類）（原卷版）

第05講直線的一般式方程

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解與掌握直線的一般式方程的形式

及條件.會求直線的一般式方程。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求能掌握直線一般式方程的形式，

②能準(zhǔn)確的將直線的五種形式的方程進(jìn)

會求直線一般式方程，能進(jìn)行五種形式直線方程的相互

行形式上的轉(zhuǎn)換.理解直線的代數(shù)形式與幾

轉(zhuǎn)換，并能處理與直線位置有關(guān)的問題，并能解決與之

何意義。

有關(guān)的綜合問題.

③會用直線的一般式進(jìn)行有關(guān)的直線位置

的判定與參數(shù)的求解，能解決與直線有關(guān)的

綜合問題。

思維導(dǎo)圖

一般地，與直線企+與+c=o垂直的直線系方程都可表示為/-/}+"=0（其中

垂直直線系方程

M為參數(shù)），然后依據(jù)題設(shè)中的另一個條件來確定m的值.

E知識清單

知識點(diǎn)01：直線的一般式方程

定義:關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于1,y的二元一次方程—+為+。=。（其中

A,8不同時為0A?+笈w0）叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.

說明：

1.A、5不全為零才能表示一條直線，若A、5全為零則不能表示一條直線.

Ar（A

當(dāng)3。。時，方程可變形為y=-一x—-,它表示過點(diǎn)0,-瓦，斜率為-一的直線.

BB<DJB

C

當(dāng)6=0,AwO時，方程可變形為Ac+C=O,即工=——,它表示一條與無軸垂直的直線.

A

由上可知，關(guān)于％、y的二元一次方程，它都表示一條直線.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，一個關(guān)于x、y的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以

對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于尤、丁的一次方程.

3.解題時,如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.

【即學(xué)即練1】（多選）（2324高二上?河北石家莊?階段練習(xí)）下列命題中錯誤的是（）

A.若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負(fù)數(shù)B.任何直線都存在斜率和傾斜

角

C.直線的一般式方程為-+3y+C=。D.任何一條直線至少要經(jīng)過兩個象限

知識點(diǎn)02：直線的一般式方程與其它形式方程的互化

【即學(xué)即練2】（2324高二上?河南南陽?階段練習(xí)）已知A（3,-3）,3（0,2）,則AB邊所在直線的方程為（)

A.5x+3y—6=0B.3x-5y+15=0

C.%+13y+5^0D.3x+8y+15=0

知識點(diǎn)03：直線系方程

1.平行直線系方程

把平面內(nèi)具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線不+為+。=。平行的直線系方

程都可表示為Ax+5y+m=O（其中機(jī)為參數(shù)且加W。，然后依據(jù)題設(shè)中另一個條件來確定機(jī)的值.

【即學(xué)即練3］（2324高二下?上海?期末）過點(diǎn)（L3）且平行于直線x-2y+3=0的直線方程為.

2.垂直直線系方程

一般地，與直線Ar+5y+C=。垂直的直線系方程都可表示為m=0（其中加為參數(shù)）,然后

依據(jù)題設(shè)中的另一個條件來確定用的值.

【即學(xué)即練4］（2324高二上?云南臨滄?階段練習(xí)）已知直線/經(jīng)過點(diǎn)P（2,T）,且與直線2x+3y+l=0垂直,

則直線/的方程是（）

A.2x+3y—7=0B.3%+2y—8=0

C.2x-3y-l=0D.3x—2y—8=0

2

04題型精講

題型01直線的一般式方程及其辨析

【典例1】（2324高三上?山東青島?期末）對于直線-若y-6=0,下列選項(xiàng)正確的為（）

A.直線/傾斜角為g

B.直線/在丁軸上的截距為

C.直線/的一個方向向量為（3,6）

D.直線/經(jīng)過第二象限

【典例2】（多選）（2324高二上?寧夏銀川?期中）直線Ax+8y+C=0（A,8不同時為0）下列說法正確

的是（）

A.48片0則該直線與兩坐標(biāo)軸都相交B.A=0,則該直線與x軸平行

C.8=0,C=（）則該直線為y軸所在直線D.C=0,則該直線過原點(diǎn)

【典例3］（2122高二上?遼寧大連?階段練習(xí)）已知方程2-2m-3）x+（2m2+〃z-l）y+6-2m=0（meR）.

⑴求該方程表示一條直線的條件；

（2）當(dāng)相為何實(shí)數(shù)時，方程表示的直線斜率不存在？求出這時的直線方程；

⑶已知方程表示的直線I在無軸上的截距為-3,求實(shí)數(shù)m的值；

⑷若方程表示的直線/的傾斜角是45。，求實(shí)數(shù)m的值.

【變式1］（多選）（2024高三?全國?專題練習(xí)）（多選）下列結(jié)論正確的是（）

3

A.經(jīng)過點(diǎn)尸（一2,5）,且斜率為一a的直線的方程是3x—4y+26=0

B.過點(diǎn)3,5）且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為無-y+8=0

C.過點(diǎn)（尤/,”），（尤2,>2）的直線的方程為（j—V7）（X2—X/）=（"一”）（X—X/）

D.任意一條不過點(diǎn)（0,2）的直線均可用方程（y—2）=1形式表示

【變式2］（多選）（2324高二上?貴州,開學(xué)考試）已知直線/：而+8y+C=0（A,8不同時為0），貝U（）

A.當(dāng)A=0,8w0時，/與x軸垂直

B.當(dāng)Aw0,8=0,C=0時，/與>軸重合

C.當(dāng)C=0時，/過原點(diǎn)

D.當(dāng)A>0,B>0時，/的傾斜角為銳角

【變式3］（多選）（2324高二上?貴州貴陽?期中）已知直線/：Ax+2y+C=0,其中A3不全為0,則下

列說法正確的是（）

A.當(dāng)C=0時，/過坐標(biāo)原點(diǎn)

B.當(dāng)AB>0時，/的傾斜角為銳角

C.當(dāng)3=0,Cw0時，/和X軸平行

D.若直線/過點(diǎn)直線/的方程可化為A"—%）+3（y—%）=0

題型02直線的一般式方程與其他形式的相互轉(zhuǎn)化

【典例1】（2324高二上?河北邢臺?期末）已知經(jīng)過點(diǎn)（3,1）的直線/的一個方向向量為（3,2）,貝I"的方程為

（）

A.3%+2y—11=0B.2?！?y-3=0

C.2%+3y—9=0D.3x—2y-7=0

【典例2】（2324高二上?寧夏銀川?期末）傾斜角為45。，在>軸上的截距是-2的直線方程為.（寫

成一般式方程）

【典例3］（2024高二上?全國?專題練習(xí)）根據(jù)下列條件求直線的一般式方程.

⑴直線的斜率為2,且經(jīng)過點(diǎn)A（L3）；

（2）斜率為百，且在，軸上的截距為4;

（3）經(jīng)過兩點(diǎn)4（2,-3）,B（-l,-5）；

⑷在尤,y軸上的截距分別為2,t.

【變式1】（2324高二上?海南?期末）已知直線/的方向向量為〃=（3,2）,且/經(jīng)過點(diǎn)（3,1）,則/的方程為（）

A.2x-3y-6=0B.2%—3y—3=0

C.3x+2y-n=0D.3x—2y—7=0

3

【變式2]（2324高二上,廣東佛山?期末）斜率為號且經(jīng)過點(diǎn)（1,-1）的直線方程為（）

A.3x+4y-l=0B.3x+4y+1=0

C.3x—4y—7=0D.3x-4y-l=0

【變式3】（2324高二上?廣東珠海?期末）已知ABC的三個頂點(diǎn)是A（4,0）,3（6,7）,C（0,4）.

⑴求8c邊上的中線的直線方程;

（2）求8C邊上的高的直線方程

⑶求AC邊的垂直平分線

題型03根據(jù)直線平行求參數(shù)

【典例1】（2324高三上?廣東深圳?階段練習(xí)）已知直線辦+2y+6=。與直線彳+（。+1）〉+片+5=0互相平

行，則實(shí)數(shù)。的值（）

A.2B.2或1C.2D.1

【典例2]（2324高三上,山東青島,期末）"形=3"是"直線2:mx+y+i=。與J3x+O-2）y-3%=。平行”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例3】（2324高二上?甘肅?期末）若直線（3a+2）x+效+6=0和直線以-y+3=0平行，則（）

A.〃=0或〃=」B.〃=-1或。=-2

3

C.a=~\D.a=—2

【典例4】（2324高二上?吉林遼源?期末）已知直線4：x+ay+6=。，直線&：（。-2）%+3沖+18=0,且乙〃

12,貝U。的值為.

【變式1】（2324高二上?廣西百色?期末）若直線內(nèi)+2y+l=0和x+（a+l）y+a=。平行，則。的值為（）

A.a=—2B.a=l

C.〃=—2或〃=1D.a=-l

【變式2］（2324高二上?河北石家莊?階段練習(xí)）若直線ov+3y-4=0與尤+（a+2）y+2=0平行，則。=（）

3

A.1B.-3C.1或-3D.——

2

【變式3］（2324高二上?福建福州?階段練習(xí)）已知直線/1：x+（〃?+l）y+機(jī)=。，，l2:mx+2y+1=0,則"〃///

的必要不充分條件是（）

A.m=—2B.m=l

C.m=—2或根=1D.m=2

【變式4］（2324高二上?四川瀘州?期中）若直線依+2y+2=。與直線8x+ay+4=0平行,則實(shí)數(shù)。等于（）

A.4B.-4C.4或TD.2

題型04根據(jù)直線垂直求參數(shù)

【典例1］（2324高二下?上海?階段練習(xí)）"a=l"是"直線x+4-1=0與直線辦-丁+1=0相互垂直”的（）

條件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要

【典例2】（2324高二上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）已知直線/i：（，〃+2）x+3y=2-枕，4"+沖=1,若/［，4，則實(shí)

數(shù)機(jī)=（）

A.2B.-3C.——D.-2

2

【典例3）（2324高三下?云南曲靖?階段練習(xí)）若。"為正實(shí)數(shù)，直線x+（2a-l）y+l=0與直線6x+2y-l=。

互相垂直，則他的最大值為.

【典例41（2324高二?全國?課后作業(yè)）已知直線乙：（m+2）x-（m-2）y+2=。，直線:3x+my-5=0,且41Z2,

求m的值.

【變式1】（2324高二上?福建福州?期末）若直線小火+2y-1=0與直線/2：（。_1）》_>-3=0垂直，則實(shí)數(shù)

。的取值是（）

A.〃=—1或〃=2B.a=-l

c2

C.a=2D.a——

3

【變式2］（2324高二上?江蘇連云港?階段練習(xí)）設(shè)。為實(shí)數(shù)，若直線以+2ay+l=0垂直于直線

（a-l）x-（a+l）y-l=0,則。=（）

A.0或3B.0C.3D.3

【變式3］（2324高二上?安徽亳州?階段練習(xí)）已知直線4：6+（2—A）y-2=0與3（左一2）x+（2A:-l）y-l=0

互相垂直，則實(shí)數(shù)后=（）

A.1B.-2C.1或一2D.1或2

【變式4］（2324高二上?貴州黔西,期中）已知直線4：（?！猯）x+y—l=O和直線/2：（。一1卜一y+l=O互相垂

直，則實(shí)數(shù)〃的值為.

題型05由兩條直線平行求方程

【典例1】（2024?山東?二模）已知直線/與直線》-，=。平行，且在y軸上的截距是-2,則直線/的方程是

（）.

A.x-y+2=0B.x-2y+4=0

C.x-y-2=0D.x+2y-4=0

【典例2】（2324高二上?青海西寧?期末）經(jīng)過點(diǎn)A（3,2）,且與直線4x+y-2=0平行的直線方程是（）

A.4x-y-10=0B.無+4y—11=0

C.4x+y—14=0D.%—4y+5=0

【典例3】（2324高二上?上海?階段練習(xí)）過點(diǎn)P（0,l）且與直線%+y=0平行的直線的方程為.

【變式1］（2324高二下?江西開學(xué)考試）過點(diǎn)（L-3）且與直線1-2y+l=0平行的直線方程是（）

A.x-2y-7=0B.x+2y+5=。

C.2x+y+l=0D.2兀-y-5=0

【變式2］（2024高二上?全國?專題練習(xí)）過點(diǎn)（5,0）且與x+2y-2=0平行的直線方程是（）

A.2x+y+5=0B.2x+y-5=0

C.x+2y-5=0D.x+2y+5=0

【變式3］（2324高二上?上海?期末）已知直線/與直線2x+y-l=。具有相同的法向量，且經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,

則直線I的一般式方程為.

題型06由兩條直線垂直求方程

【典例1】（2324高二上?廣西南寧?階段練習(xí)）過點(diǎn)A（2,3）且垂直于直線2x+y-5=。的直線方程為（）

A.2x+y+5=0B.2x+y—7=0

C.x-2y+3=0D.x—2y+4=0

【典例2】（2324高二上?湖北?期末）過點(diǎn)/（2,-3）且與直線％+2y-9=0垂直的直線方程是（）

A.2x-y+8=0B.%—2y+7=0C.x+2y+4=0D.2x—y—7=0

【典例3】（2324高二上?寧夏銀川?期末）過點(diǎn)A（2,3）且與直線x+2y-6=0垂直的直線方程是.

【變式1］（2324高二上?浙江金華?期末）過點(diǎn)P（T,2）且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是（）

A,x-2y+5=0B,x+2y-3=0C.2x-y+4=0D.2x-y=0

【變式2］（2324高二上?北京?期中）經(jīng)過點(diǎn)”（1,2）且與直線2x-y+8=0垂直的直線方程為.

【變式3］（2324高二上?福建福州?期末）過點(diǎn)尸（2,1）與直線2x-y+l=0垂直的直線的方程是.

題型07直線過定點(diǎn)問題

【典例1】（2324高二上?北京?期中）已知直線/的方程為無-四+2=0,則直線/（）

A.恒過點(diǎn)（-2,0）且不垂直x軸

B.恒過點(diǎn)（-2,0）且不垂直y軸

C.恒過點(diǎn)（2,0）且不垂直無軸

D.恒過點(diǎn)（2,0）且不垂直y軸

【典例2】（2324高二上?全國?課后作業(yè)）不論。為何實(shí)數(shù)，直線（。+3次+（24-1）?+7=0恒過第_象限.

【典例3】（2324高二上?陜西安康?期末）直線（m-2）尤-y+2m+1=0恒過定點(diǎn).

【變式1］（2324高二下?上海寶山?期末）若無論實(shí)數(shù)加取何值，直線/：》+（m+l）y+l=0都經(jīng)過一個定點(diǎn)，

則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【變式2］（2324高二上?福建泉州,期末）直線/：》+（加+1*-2〃2-4=0恒過定點(diǎn).

【變式3］（2024高三?全國?專題練習(xí)）當(dāng)機(jī)變化時，直線（m+2）x+（2—相）>+4=0恒過定點(diǎn).

題型08直線綜合

【典例1】（2024?山東濰坊?模擬預(yù)測）已知直線加：?x+y+3=0與直線“：3x+（26—l）y—l=0,（a,6>0）,

21

且加_L〃，則一+7的最小值為（）

ab

A.12B.8+4A/3C.15D.10+2^

【典例2】（2324高二下?上海?期中）已知點(diǎn)A（l,0）,

⑴設(shè)meR,若直線A3與直線x-2y+l=0垂直，求機(jī)的值；

（2）求過點(diǎn)5且與直線2x-y+1=0夾角的余弦值為專的直線方程.

【典例3】（2324高二上?貴州?階段練習(xí)）已知直線/的方程為（2相+1）元+（a+2）y-14祖-13=0.

⑴證明：不論加為何值，直線/過定點(diǎn)V.

⑵過（1）中點(diǎn)且與直線/垂直的直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形的面積最小時，求直線/的

方程.

【變式1]（2024?河北滄州?三模）光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介

質(zhì)2相對介質(zhì)1的折射率.如圖，一個折射率為a的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一束光以45。

的入射角從空氣中射入點(diǎn)A（-2,0）,該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為.

【變式2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知直線方程為（加―1）無+（〃?+2）y—3—3機(jī)=0.

⑴求證：無論機(jī)為何值，直線一定經(jīng)過第一象限；

（2）若直線分別與x軸、y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn)，求AAOB面積的最小值及此時直線的方程.

【變式3】（2324高二上?上海嘉定?期末）已知方程（m2-2相-3）尤+（2"?2+〃Ll）y+6-2〃?=。（meR）.

⑴求該方程表示直線的條件；

（2）當(dāng)加為何實(shí)數(shù)時，方程表示的直線斜率不存在？求出此時的直線方程；

⑶直線是否過定點(diǎn)，若存在直線過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)，若不存在，說明理由.

「強(qiáng)化訓(xùn)練

05

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2324高二上?安徽馬鞍山,階段練習(xí)）過點(diǎn)尸卜道,1）,傾斜角為60的直線方程是（）

A.yf3x+y+4=0B.尤-石y+26=0

C.底-y+4=0D.x+島+26=0

2.（2324高二下?云南?開學(xué)考試）己知直線/的傾斜角。與直線6x+y-l=0的傾斜角互補(bǔ)，則。=（）

A.30B.60C.120D.150

3.（2324高二下?浙江?階段練習(xí)）已知直線乙：mx+y+l=0,Z2：3x+（m+2）y+3m=0,若I川則加

的值為（）

A.1B,-3C.1或一3D.—1或3

4.（2324高二上?北京石景山?期末）已知直線4：》+3,-7=0,直線/2：丘-，-2=0.若4，/2，則實(shí)數(shù)后=（）

C11

A.-3B.——C.-D.3

33

5.（2324高二上?貴州遵義?期末）已知直線/過點(diǎn)A（l,0）,且傾斜角為直線y=后傾斜角的一半，則直線/

的方程為（）

A.x-若y-l=OB.s[3x-2y-\[3=0

C.x-^y-V3=0D.3+2y+0=0

6.（上海市虹口區(qū)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期末學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試數(shù)學(xué)試卷）已知兩條直線

4:2x+y-1=。和：2x+y-3=0,以下說法正確的是（）.

A.I川2B.4與4重合

c./,1Z2D.乙與4的夾角為60

7.（2024?安徽?模擬預(yù)測）"a=2"是"直線辦+2y+2=0與直線x+（q-l）y+l=0平行"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知直線分+辦-2=0（々＞0點(diǎn)＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1,4）,則：+（的最小值為（）

25

A.4B.8C.9D.——

2

二、多選題

9.（2324高二上?福建漳州?期末）已知直線4：（。-2）尤+＞+。=。，l2:ax+（a-2）y-l=0,則（）

A.4過定點(diǎn)(T-2)B.當(dāng)a=2時，4-L4

C.當(dāng)a=0時，4〃12