九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形的判定學(xué)生版知識(shí)點(diǎn)例題

相像三角形的斷定【學(xué)習(xí)目的】1、理解相像三角形的概念，駕馭相像三角形的表示方法及斷定方法；2、進(jìn)一步探究相像三角形的斷定及其應(yīng)用，進(jìn)步運(yùn)用“類比〞思想的自覺(jué)性，進(jìn)步推理實(shí)力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相像三角形在和中，假如我們就說(shuō)及相像，記作∽.k就是它們的相像比，“∽〞讀作“相像于〞.要點(diǎn)詮釋：

(1)書寫兩個(gè)三角形相像時(shí)，要留意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一樣，即∽，則說(shuō)明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對(duì)于相像比，要留意依次和對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，假如兩個(gè)三角形相像，則第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相像比.當(dāng)相像比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.要點(diǎn)二、相像三角形的斷定定理1．?dāng)喽ǚ椒ā惨弧常浩叫杏谌切我贿叺闹本€和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相像.2．?dāng)喽ǚ椒ā捕常杭偃鐑蓚€(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)三角形相像.3．?dāng)喽ǚ椒ā踩常杭偃鐑蓚€(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，則這兩個(gè)三角形相像.要點(diǎn)詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)斷定兩個(gè)三角形相像，應(yīng)用時(shí)必需留意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，推斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.4．?dāng)喽ǚ椒ā菜摹常杭偃缫粋€(gè)三角形的兩個(gè)角及另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相像.要點(diǎn)詮釋：

要斷定兩個(gè)三角形是否相像，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，假設(shè)有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相像.

要點(diǎn)三、相像三角形的常見(jiàn)圖形及其變換：【典型例題】類型一、相像三角形1.以下可以相像的一組三角形為().舉一反三：以下圖形中，必是相像形的是〔〕．

A．都有一個(gè)角是40°的兩個(gè)等腰三角形B．都有一個(gè)角為50°的兩個(gè)等腰梯形C．都有一個(gè)角是30°的兩個(gè)菱形D．鄰邊之比為2：3的兩個(gè)平行四邊形類型二、相像三角形的斷定2.如下圖，中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE及BC相交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相像三角形，并求出相應(yīng)的相像比.

3.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，EF及BD交于M．

〔1〕求證：△EDM∽△FBM；

〔2〕假設(shè)DB=9，求MB的長(zhǎng)．

4.：如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2＝PE·PF．

舉一反三：1、如圖，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于點(diǎn)F，求證：AF·FD=CF·FE．2、如圖，F(xiàn)是△ABC的AC邊上一點(diǎn)，D為CB延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且AF=BD,連接DF, 交AB于E.求證：.3、：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)．

求證：△ADQ∽△QCP．4、如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：.4、如圖，小正方形邊長(zhǎng)均為1，則圖中的三角形〔陰影部分〕及相像的是哪一個(gè)？

圖〔1〕圖〔2〕圖〔3〕圖〔4〕

如圖，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD及EF的交點(diǎn)．

〔1〕求證：≌．

〔2〕假設(shè)，，，求的值．

【穩(wěn)固練習(xí)一】一、選擇題

1.以下推斷中正確的選項(xiàng)是().

A.全等三角形不一定是相像三角形B.不全等的三角形一定不是相像三角形

C.不相像的三角形一定不全等2．△ABC的三邊長(zhǎng)分別為、、2,△A′B′C′的兩邊長(zhǎng)分別是1和,假如△ABC及△A′B′C′相像,則△A′B′C′的第三邊長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)是().

A.B.C.D.3．如圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相像三角形的是〔〕．

①②③④A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④4.在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC及以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形相像的條件().①②C.①和②分別都是D.①和②都不是5．在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點(diǎn)，假設(shè)∠AEF＝90°，則一定有〔〕.A．ΔADE∽ΔAEFB．ΔECF∽ΔAEFC．ΔADE∽ΔECFD．ΔAEF∽ΔABF6.如下圖在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，則CD的長(zhǎng)為().A.二、填空題

7.如下圖，D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上，且DE和BC不平行，請(qǐng)你填上一個(gè)你認(rèn)為相宜的條件_______使△ADE∽△ACB.

8如下圖，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，則AC=________.

9.如下圖，在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，假如點(diǎn)C在x軸上(C及A不重合)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______或________時(shí)，使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形及△AOB相像(至少找出兩個(gè)滿意條件的點(diǎn)的坐標(biāo)).10.如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，則AB=__________.

11.如圖，CD∥AB，AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F分別在AC、BD上，且EF∥AB,則圖中及△OEF相像的三角形為_(kāi)________.12．如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于點(diǎn)F,則圖中相像三角形共有_________對(duì).三．解答題13.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的長(zhǎng)度．

14.如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求證：BD⊥CD．15.在Rt△ABC中，∠△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相像嗎？為什么？

【穩(wěn)固練習(xí)二】一、選擇題1.△A1B1C1及△A2B2C2的相像比為4：3，△A2B2C2及△A3B3C3的相像比為4：5，則△A1B1C1及△A3B3C3的相像比為().A.16：15B.15：16C.3：5D.16：15或15：16

2．如圖，P是RtΔABC的斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做直線截ΔABC，使截得的三角形及ΔABC相像，滿意這樣條件的直線共有〔〕.A．1條B．2條C．3條D．4條3.如圖，在△ABC中，M是AC邊中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AB，連結(jié)EM并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于D，此時(shí)BC：CD為().A.2：1B.3：2C.3：1D.5：24.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕.A．∠AEF＝∠DECB．FA∶CD＝AE∶BCC．FA∶AB＝FE∶ECD．AB＝DC

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足為D，則圖中相像三角形有〔〕．

A．4對(duì)B．3對(duì)C．2對(duì)D．1對(duì)6.如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，以下條件中，不能推出△ABP及△ECP相像的是().A.∠APB=∠EPCB.∠APE=90°C.P是BC的中點(diǎn)D.BP：BC=2：3

二、填空題

7.如圖,∠1=∠2=∠3,則圖中及△CDE相像三角形是________和________.8.如圖，P為線段AB上一點(diǎn)，AD及BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，則圖中相像三角形有_________對(duì).9.如圖，是正方形ABCD的外接圓，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,則CF:EF的值是________________.10.如圖，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在AM上，CM=CN,,則①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正確的有___________.11.如圖，在平行四邊形ABCD中，M,N為AB的三等分點(diǎn)，DM,DN分別交AC于P,Q兩點(diǎn)，則AP：PQ:QC=____________.12.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AE=EB,MN=1.線段MN的兩端在CB,CD邊上滑動(dòng)，當(dāng)CM=______時(shí)，△AED及以M、N、C為頂點(diǎn)的三角形相像.三、解答題13.如圖，和都是等邊三角形，且B、C、D共線，BE分別和AC、AD相交于點(diǎn)M、G，CE和AD相交于點(diǎn)N．

求證：〔1〕CG平分．〔2〕∽．14.如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BD＝CE，AD及BE相交于點(diǎn)F．

〔1〕試說(shuō)明△ABD≌△BCE；

〔2〕△EAF及△EBA相像嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．

15.點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)