九年級(jí)數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型例題

銳角三角函數(shù)：知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的定義：銳角三角函數(shù)定義：在△中，∠900,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，則∠A的正弦可表示為：，∠A的余弦可表示為∠A的正切：，它們弦稱(chēng)為∠A的銳角三角函數(shù)2、取值范圍<<<>】例1．如圖所示，在△中，∠C＝90°．第1題圖例2.銳角三角函數(shù)求值：在△中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，則c＝，例3．已知：如圖，△中，∠＝90°，⊥于R點(diǎn)，＝4，＝3．求：∠、∠、∠．典型例題：類(lèi)型一：直角三角形求值1．已知△中，求、和．2．如圖，⊙O的半徑＝16，⊥于C點(diǎn)，求及的長(zhǎng)．3．已知：⊙O中，⊥于C點(diǎn)，＝16，(1)求⊙O的半徑的長(zhǎng)及弦心距；(2)求∠及∠．已知是銳角，，求，的值對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：1．在△中，∠C＝90°，若＝1，，則的值為A．B．C．D．22．在△中，∠90°，，則的值等于（）.A．B.C.D.類(lèi)型二.利用角度轉(zhuǎn)化求值：1．已知：如圖，△中，∠C＝90°．D是邊上一點(diǎn)，⊥于E點(diǎn)．∶＝1∶2．求：、、．2．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，及x軸的正半軸交于點(diǎn)D，B是y軸右側(cè)圓弧上一點(diǎn)，則∠的值為（）A．B．C．D．3.如圖，角的頂點(diǎn)為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊上有一點(diǎn)P（3，4），則．4.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為10，⊥，，則這個(gè)菱形的面積=2．5.如圖，是的外接圓，是的直徑，若的半徑為，，則的值是（）A．B．C．D．6.如圖6，沿折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處．已知，，8,則的值為()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7.如圖7，在等腰直角三角形中，，，為上一點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為()A．B．C．D．8.如圖8，在△中，∠90°，8，∠A的平分線求∠B的度數(shù)及邊、的長(zhǎng).類(lèi)型三.化斜三角形為直角三角形例1如圖，在△中，∠30°，∠45°，2，求的長(zhǎng)．例2．已知：如圖，在△中，∠＝120°，＝10，＝5．求：∠的值．對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1．如圖，在△中，∠90°，點(diǎn)D在邊上，且△是等邊三角形．若2，求△的周長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）2．已知：如圖，△中，＝9，＝6，△的面積等于9，求．3.中，∠60°，6，4，則△的面積是A.22 .42C.62 D.122類(lèi)型四：利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形例1如圖所示，△的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為（）A．B．C．D．對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．如圖，△的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則A.2．如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)絡(luò)線的交點(diǎn)處，若將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為A.B.C. D.3．正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則的值是（）A．\F(\R(,5),5) B.\F(2\R(,5),5)C.\F(1,2)D.2特殊角的三角函數(shù)值銳角30°45°60°當(dāng)時(shí)，正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而例1．求下列各式的值．1）.計(jì)算：．2）計(jì)算：.3）計(jì)算：3－1+(2π－1)0－30°－45°4．計(jì)算：．5．計(jì)算：；例2．求適合下列條件的銳角．(1) (2)(3) (4)（5）已知為銳角，且，求的值（）在中，若，都是銳角，求例3.三角函數(shù)的增減性1．已知∠A為銳角，且A<，則∠A的取值范圍是A.0°<A<30°B.30°<A＜60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°已知A為銳角，且，則（）A.0°<A<60°B.30°<A<60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°例4.三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用1．已知：如圖，在菱形中，⊥于E，＝16，求此菱形的周長(zhǎng)．2．已知：如圖，△中，∠C＝90°，，作∠＝30°，交于D點(diǎn)，求：(1)∠；(2)∠、∠和∠．、∠、∠．4.如圖，在△中，∠90°，，點(diǎn)D在邊上，=6，求∠的值．5.如圖，△中，∠30°，，．求的長(zhǎng).解直角三角形：1．在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用的主要關(guān)系如下：在△中，∠C＝90°，＝b，＝a，＝c，①三邊之間的等量關(guān)系：．②兩銳角之間的關(guān)系：．③邊及角之間的關(guān)系：④直角三角形中成比例的線段．在△中，∠C＝90°，⊥于D．2＝；2＝；2＝；·＝．類(lèi)型一例1．在△中，∠C＝90°．(1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b；(2)已知：，，求∠A、∠B，c；(3)已知：，，求a、b；(4)已知：求a、c；(5)已知：∠A＝60°，△的面積求a、b、c及∠B．例2．已知：如圖，△中，∠A＝30°，∠B＝60°，＝10．求及的長(zhǎng)．例3．已知：如圖，△中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠＝60°．＝10．求的長(zhǎng)．例4．已知：如圖，△中，∠A＝30°，∠B＝135°，＝10．求及的長(zhǎng)．類(lèi)型二：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用仰角及俯角：例1．如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、45°，如果此時(shí)熱氣球C處的高度為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則兩點(diǎn)的距離是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn)．已知∠＝60°，∠＝45°．點(diǎn)D到地面的垂直距離，求點(diǎn)B到地面的垂直距離．例3.如圖，一風(fēng)力發(fā)電裝置豎立在小山頂上，小山的高30m．從水平面上一點(diǎn)C測(cè)得風(fēng)力發(fā)電裝置的頂端A的仰角∠60°，測(cè)得山頂B的仰角∠30°，求風(fēng)力發(fā)電裝置的高的長(zhǎng)．例4.如圖，小聰用一塊有一個(gè)銳角為的直角三角板測(cè)量樹(shù)高，已知小聰和樹(shù)都及地面垂直，且相距米，小聰身高為1.7米，求這棵樹(shù)的高度.例5．已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)C的俯角為30°，測(cè)得岸邊點(diǎn)D的俯角為45°，又知河寬為50m．現(xiàn)需從山頂A到河對(duì)岸點(diǎn)C拉一條筆直的纜繩，求山的高度及纜繩的長(zhǎng)(答案可帶根號(hào))．例6．如圖，為測(cè)量某物體的高度，在D點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°，朝物體方向前進(jìn)20米，到達(dá)點(diǎn)C，再次測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，則物體的高度為（）A．10米B．10米C．20米D．米例7．超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車(chē)速．如圖，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在A處，離益陽(yáng)大道的距離（）為30米．這時(shí)，一輛小轎車(chē)由西向東勻速行駛，測(cè)得此車(chē)從B處行駛到C處所用的時(shí)間為8秒，∠75°．（1）求B、C兩點(diǎn)的距離；（2）請(qǐng)判斷此車(chē)是否超過(guò)了益陽(yáng)大道60千米/小時(shí)的限制速度？（計(jì)算時(shí)距離精確到1米，參考數(shù)據(jù)：75°≈0.9659，75°≈0.2588，75°≈3.732，≈1.732，60千米/小時(shí)≈16.7米/秒）類(lèi)型四.坡度及坡角例．如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡比是1：，堤壩高50m，則應(yīng)水坡面的長(zhǎng)度是（）A．100mB．100mC．150mD．50m類(lèi)型五.方位角1．已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時(shí)20海里的速度航行，1小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M在北偏西45°，問(wèn)該貨輪繼續(xù)向北航行時(shí)，及燈塔M之間的最短距離是多少(精確到0.1海里，)綜合題：三角函數(shù)及四邊形：1．如圖，四邊形中，∠135°，∠90°，2，∠\f(\r(,6),3)．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)．2．如圖，在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)A分別作⊥于點(diǎn)E，⊥于點(diǎn)F．（1）求證：∠∠；（2）若4，，，求的長(zhǎng)．三角函數(shù)及圓：1.已知：在⊙O中是直徑，是⊙O的切線，連接及⊙O交于點(diǎn)D,求證：∠2∠C若8，，求⊙O的半徑。2.如圖，是⊙O的直徑，及⊙O相切，E為切點(diǎn).連接交⊙O于點(diǎn)B，在上取一個(gè)點(diǎn)F，使.（1）求證是⊙O的切線;（2）若,9，求的長(zhǎng)．1．已知，則銳角A的度數(shù)是A．B．C．D．2．在△中，∠C＝90°，若＝1，，則的值為A．B．C．D．23．在△中，∠90°，，則的值等于（）.A．B.C.D.4.若，則銳角＝.5．如圖，在△中，∠C＝90°，＝3，2，則的值是A．B．C．D．6．將∠α放置在正方形網(wǎng)格紙中，位置如圖所示，則α的值是A．B．2C．D．7.△在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則的值是A. B.C. D.8．如圖，在直角三角形中，斜邊的長(zhǎng)為，，則直角邊的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．9．如圖，已知P是射線上的任意一點(diǎn)，⊥于M，且:4:5，則α的值等于（）A．B．C．D．10．如圖，為⊙O的弦，半徑⊥于點(diǎn)D，若長(zhǎng)為10，，則的長(zhǎng)是A.20B.16C.12D.811.在△中，∠90°，如果，則的值是A．B．C．D．12．如圖，在△中，∠∠90°，若，則∠的值為．計(jì)算：13．計(jì)算.14．計(jì)算：．15．已知在△中，∠C＝90°，，.解這個(gè)直角三角形16.如圖，在△中，∠90°，是∠的平分線，，求的值．17．如圖，某同學(xué)在樓房的處測(cè)得荷塘的一端處的俯角,荷塘另一端處、在同一條直線上，已知米，米，求荷塘寬為多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）18.（6分）如圖，在△中，點(diǎn)O在上，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，交于點(diǎn)D，已知2∠A+∠B=（1）求證：是⊙O的切線；（2）若6，8，求的長(zhǎng)19．如圖，在△中，∠90°，點(diǎn)D在邊上．若6，，∠，求的長(zhǎng)和的值．[來(lái)源:學(xué)|科|網(wǎng)]20．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處.（1）B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于的延長(zhǎng)線上，距離燈塔200海里的O處．已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進(jìn)入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險(xiǎn)．請(qǐng)判斷若海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)，并說(shuō)明理由．21．已知，如圖，在△中，，以為直徑作半圓，交邊于點(diǎn)F，點(diǎn)B在的延長(zhǎng)線上，連接，交于點(diǎn)E，．（1）求證：是的切線；DOACBFE（2）若DOACBFE22．如圖，為了測(cè)量樓的高度，小明在點(diǎn)C處測(cè)得樓的頂端A的仰角為30o，又向前走了20米后到達(dá)點(diǎn)D，點(diǎn)B、D、C在同一條直線上，并在點(diǎn)D測(cè)得樓的頂端A的仰角為60o，求樓的高．23．海船以5海里/小時(shí)的速度向正東方向行駛，在A處看見(jiàn)燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時(shí)后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)燈塔B在海船的北偏西45方向，