人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《圓》單元測試卷（解析版）

2022—2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊必考重難點(diǎn)突破必刷卷（人教版）

【單元測試】第二十四章圓（夯實基礎(chǔ)培優(yōu)卷）

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.如圖，A3為半圓。的直徑，OCVAB,平分/BOC,交半圓于點(diǎn)。，交OC于點(diǎn)￡,則NAEO

的度數(shù)是（）

C

A.75°B.67.5°C.60°D.30°

【答案】B

【分析】連接由題意可知，ZCOB=ZAOC=90°,由角平分線性質(zhì)得到NOOB==45。，再

根據(jù)圓的半徑相等得到AO=OD,由三角形外角性質(zhì)及等邊對等角解得/。4。=22.5。，最后由直角三角形

兩個銳角互余解答.

【詳解】解：連接OD

OCYAB

:.ZCOB=ZAOC=90°

平分

:.ZDOB=-ZCOB=45°

2

AO=OD

ZOAD=ZADO=-ZDOB」x45°=22.5°

22

ZAEO=90°-ZOAE=90°-22.5°=67.5°

故選：B.

c

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，涉及等邊對等角、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形兩個銳角互余等知識，

是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

2.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小

明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）

A.第一塊B.第二塊C.第三塊D.第四塊

【答案】A

【分析】要確定圓的大小需知道其半徑，根據(jù)垂徑定理知第一塊可確定半徑的大小

【詳解】解：第一塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂

直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的

圓心.

3.下列圖形中的角，是圓心角的為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)圓心角的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A、頂點(diǎn)不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；

B、頂點(diǎn)不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；

C、是圓心角，故本選項符合題意；

D、頂點(diǎn)不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角的定義，能熟記圓心角的定義（頂點(diǎn)在圓心上，并且兩邊與圓相交的角，叫圓

心角）是解此題的關(guān)鍵.

4.下列命題中，正確的是（）

A.和半徑垂直的直線是圓的切線B.平分直徑一定垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.垂直于弦的直徑必平分弦所對的弧

【答案】D

【分析】根據(jù)圓與直線間的關(guān)系，利用其性質(zhì)定理及定義即可求解.

【詳解】A項還可能與圓相交，故錯誤不選；

B項過圓心的直線都平分直徑，但不一定垂直于弦，故錯誤不選；

C項如果半徑不等，則對應(yīng)的弧也不相等，故錯誤不選；

D項說法正確.

故答案選D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓與直線間的關(guān)系，需牢記相應(yīng)的性質(zhì)定理及判定條件并靈活運(yùn)用.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/、B、C的坐標(biāo)為（1,3）、（5,3）、（1,-1）,則A/BC外接圓的圓

心坐標(biāo)是（）

C.(2,3)D.(3,2)

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的外心的概念作出外心，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：連接/2、AC,分別作/以ZC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點(diǎn)P,

y

則點(diǎn)尸為小/呂。外接圓的圓心，

由題意得：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,1）,即A/BC外接圓的圓心坐標(biāo)是（3,1）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平

分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，點(diǎn)尸為回。外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作回。的切線以、PB,記切點(diǎn)為/、比點(diǎn)C為回。上一點(diǎn)，連接NC、

BC.若EL4cB=62。，則EL4尸3等于（）

A.68°B.64°C.58°D.56°

【答案】D

【分析】根據(jù)切線性質(zhì)求出配4。=即50=90。，圓周角定理求得的。瓦再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可求得.

【詳解】解：EB4、尸5是回。的切線，

SOASR4,OB^PB,

EE7%O=ELP3O=90°,

EIEL4(9B+aP=180°,

0EWCS=62°,

EB4O8=2EL4cB=2x62°=124°,

EEL4PB=180°-124°=56°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵熟記同弧所對的圓周角等于圓

心角的一半.

7.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。，點(diǎn)M在A8上，則/。監(jiān)的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【答案】D

【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接。C、ODQOE,如圖所示：

回正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,

EBCOD=孥=60°,則團(tuán)。0￡=120°,

6

WCME=；0。?！?60°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正〃多邊形的中心角為當(dāng)是解答的關(guān)鍵.

n

8.如圖，邊是國。內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)C在AB上，且8C是回。內(nèi)接正八邊形的一邊，若/C是回。

內(nèi)接正〃邊形的一邊，則〃的值是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360。+邊數(shù)，列式計算分別求出的08,勖OC的度數(shù)，可得a40c=15。，然后根

據(jù)邊數(shù)〃=360。+中心角即可求得答案.

【詳解】解：連接。C,

2L45是回。內(nèi)接正六邊形的一邊，

回&4。8=360°+6=60°,

I3BC是團(tuán)。內(nèi)接正八邊形的一邊，

IWOC=360°+8=45°,

回S40c=EL4O3—勖OC=60°—45°=15°

幽=360°+15°=24.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中

心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，以點(diǎn)。為圓心的兩個同心圓把以。4為半徑的大圓。的面積三等分，這兩個圓的半徑分別為。8,

0C.則。4:03:OC的值是（）

c.6叵1D.3:后夜

【答案】c

【分析】根據(jù)圓的面積公式得出方程，根據(jù)算術(shù)平方根求出04、OB,0C的值，再代入即可得出答案

21

【詳解】解：以。4半徑的圓的面積是此2,則以08半徑的圓的面積是:W2,則以O(shè)C半徑的圓的面積是:

TIP2

21

團(tuán)TIOB1=—nr2,TIOC2——nr2,

33

回。8=1r，oc=2r.

33

B1OA：OB：0C=r：逅r：—r=^：0：1,

33

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，算術(shù)平方根，圓的面積的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出關(guān)于

CM、OB、OC的方程，難度不是很大.

10.把量角器和含30。角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長直角邊重合，移動量角器使外圓弧與斜邊

相切時，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度2處，短直角邊過量角器外沿刻度120處（即OC=2cm,40尸=120。）.則

陰影部分的面積為（）

【答案】C

【分析】先求出團(tuán)C0R進(jìn)而求出0E=0B=4cm,再求出進(jìn)而求出2E,最后用三角形的面積減去扇

形的面積，即可求出答案.

【詳解】在中，NC?=180。—NBO尸=60。，

^ZOFC=900-ZCOF=30°,

OC=2cm,

..OF=2OC=4cm,

連接OE,則0石=0b=4cm,

回外圓弧與斜邊相切，

^EBEO=90°,

在中，ZB=30°,

:.ADOE=60°,OB=2（9￡=8cm,

根據(jù)勾股定理得，BE=4OB1-OE1=4百，

??.S陰影=SSOE-S扇形oo￡=；BE-OE_^^=；x4百x4_：萬=186_g%]cm2,

2JoU23I3/

故選：c.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式和扇形的面積公式，

求出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個小題，每題3分，共18分）

11.A2為半圓。的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點(diǎn)尸在半圓上，斜邊過點(diǎn)8,一條直

角邊交該半圓于點(diǎn)。.若AB=2,則線段BQ的長為.

【答案】y/2

【分析】連接A。，BQ,根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得/QAB=/P=45。，根據(jù)直徑所對的圓周角是直

角可得AABQ是等腰直角三角形，進(jìn)而勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接AQ,BQ,

4=45。，

ZQAB=ZP=45°,

QAB為直徑，

AAQB=90°,

???AAB。是等腰直角三角形.

AB=2,

2BQ2=4,

BQ=y[2.

故答案為：血.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，。是以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，點(diǎn)尸是直線＞=-％+6上的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作。的一條切線

PQ,。為切點(diǎn)，則5相。的最小值為

【答案】V14

【分析】過點(diǎn)。作于點(diǎn)C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到。。，尸。，根據(jù)勾股定理用。尸表示出尸。，根據(jù)

三角形的面積公式求出0C,得到答案.

【詳解】解：過點(diǎn)。作OC_LAB于點(diǎn)C,

是。的切線，

：.OQ±PQ,

SpQO=^OQPQ,

，。。是（。的半徑，大小不變，

，當(dāng)尸。最小時，一尸。。的面積最小，

在Rt..OPQ中，PQ=^OP2-OQ2=VOP2-4,

則當(dāng)。尸最小時，PQ最小，

對于直線/=一尤+6,當(dāng)x=0時,y=6,當(dāng)y=。時,無=6,

貝OA=6,OB=6,

由勾股定理得：AB=y/o^+OB2=6A/2>

SAOB=^ABOC=^OA-OB,

貝dx6VLOC=』x6x6,

22

解得：0c=30，

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時，0P最小，。尸的最小值為3行，

則PQ的最小值為：J（3衣）2一4=”?，

SPQ0的最小值=：、2*JiZ=JiZ,

故答案為：V14.

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題

的關(guān)鍵.

13.如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1,點(diǎn)尸在以斜邊為直徑的半圓上，〃為PC的中點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)尸沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)3時，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長是.

【答案】顯兀

4

【分析】取A3的中點(diǎn)。、AC的中點(diǎn)￡、BC的中點(diǎn)/，連接OC、OP、OM、0E、OF,EF,可得四

邊形CE。尸是正方形，由OP=OC得OM0PC,則可得點(diǎn)M的運(yùn)動路徑，從而求得路徑的長.

【詳解】取A3的中點(diǎn)。、AC的中點(diǎn)E、5c的中點(diǎn)尸，連接OC、OP、OM,0E、OF、EF,如圖,

則OE〃BC,S.OE=-BC=-,OF//AC,OF=-AC=~,

2222

團(tuán)四邊形CEO尸為平行四邊形,

a4c=BC,a4c2=90°,

團(tuán)四邊形CEOF為正方形，

EICE=CF=J,EF=OC,

由勾股定理得：EF=OC=—,

2

回在等腰RtaABC中，AC=BC=1,

回AB=6,BC=&，

0OC=-AB=—,OP=-AB=—,

2222

團(tuán)〃為PC的中點(diǎn)，

0ZCMO=90°,

回點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)P點(diǎn)在點(diǎn)A時，M點(diǎn)在￡點(diǎn)；點(diǎn)尸點(diǎn)在點(diǎn)3時，M點(diǎn)在尸點(diǎn),

回M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，

團(tuán)點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長=L%.

224

故答案是：^^萬.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)及

正方形的判定，確定點(diǎn)M的運(yùn)動路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn).

14.若正六邊形ABCDE/和正五邊形按如圖所示的方式放置，其中兩個正多邊形底邊重合，則

【答案】120

【分析】據(jù)正五邊形和正六邊形性質(zhì)得出各內(nèi)角度數(shù)，進(jìn)而可得答案.

52xl8

【詳解】解：回在正六邊形/5CDEF和正五邊形N8G質(zhì)中，0ABG=（~）°=i08°,0

5

皿―",

EBGBCuEMBC-EL45G=120°-108°=12°,

故答案為：12。.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，多邊形的內(nèi)角與外角，利用了正五邊形的內(nèi)角，正六邊形的內(nèi)角.

15.如圖，矩形48co的對角線/C,2。交于點(diǎn)O,分別以點(diǎn)力,。為圓心，長為半徑畫弧，分別交48,

。于點(diǎn)E,F.若BD=6,回C48=30。，則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留n）

DC

AEB

【答案】；3乃

【分析】利用矩形的性質(zhì)求得O/=OC=O5=OD=3,再利用扇形的面積公式求解即可.

【詳解】解：回矩形N8CD的對角線NC,8。交于點(diǎn)O,且8。=6,

囿4。=2。=6,

SiOA=OC=OB=OD=3,

noco2x30"x323

回$陰影=2s扇形AOE=盤。=不"'

3

故答案為：■

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積等知識，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想

解答.

16.跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形A3c和

等邊三角形3跖組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若AB=27厘米，則這個正六邊形的周長為

_________厘米.

【答案】54

【分析】設(shè)N8交￡尸、FO與點(diǎn)N□跖AC交EF、ED于點(diǎn)G、H,BC交FD、ED于點(diǎn)O、P,再證明0FAW、

EL4NG、^BMO.WOP,^CPH,EKGX是等邊三角形即可求解.

【詳解】設(shè)AB交EF、FD與點(diǎn)、NUM,AC交EF、ED于點(diǎn)G、H,BC交FD、ED于點(diǎn)、O、P,如圖，

回六邊形MNGHPO是正六邊形，

B3GMW=I3MWO=120°,

a3EM0=EIFA/N=6O°,

團(tuán)MW是等邊三角形，

同理可證明BUNG、05M。、前。尸、回。尸"、MG"是等邊三角形,

^MO=BM,NG=AN,OP=PD,GH=HE,

皿NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB,GH+PH+OP^HE+PH+PD^DE,

團(tuán)等邊的等邊EIDER

^\AB=DE,

l?L45=27cm,

l?]D￡=27cm,

團(tuán)正六邊形MNGHPO的周長為：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm,

故答案為：54.

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握正六邊

的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，共52分；第17T8每小題5分，第19-22每小題6分，第

23小題8分,第24小題10分)

17.已知銳角sABC內(nèi)接于〈:。，ODABC于點(diǎn)D.

(1)若N&1C=6O。，弦3c的長為2百，求，。的半徑；

(2)請用無刻度直尺畫出ABC的角平分線(不寫作法，保留作圖痕跡)

【答案】⑴。的半徑2

(2)見解析

【分析】(1)連接08,OC.解直角三角形08。即可.

(2)延長。D交回。于連接射線即為EB/C的角平分線.

【詳解】(1)解:連接08,OC.

EESOC=205/C,勖/C=60°,

00SOC=12OO,

0OD05C,OB=OC,

^D=CD=6,05OD=；EBOC=6O。，

00050=30°,

^OB2=BD2+OD2,

SOB2=(V3)2+(1G>B)2,

005=2,

解：延長0D交回。于M,連接/“，射線即為血C的角平分線.

0OZJ05C,

^BM=MC<

^BBAM=^CAM.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)

知識解決問題.

18.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)尸（x,y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y-x稱為尸點(diǎn)

的“坐標(biāo)差"，而圖形G上所有點(diǎn)的"坐標(biāo)差"中的最大值稱為圖形G的"特征值".

②拋物線y=-/+3x+3的"特征直為

(2謀二次函數(shù)尸一/+云+^^為淵崎征值為-1,點(diǎn)B(加，0)與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x

軸和7軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)2與點(diǎn)C的"坐標(biāo)差”相等.

①直接寫出m=—；(用含c的式子表示)

②求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

(3汝口圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M(2,3)為圓心，2為半徑的圓與直線y=x相交于點(diǎn)D、E,

請直接寫出M的"特征值"為.

【答案】⑴①2；②4；

(2)①/〃=-<?；②y=-x?+3x-2；

⑶1+20.

【分析】(1)①②根據(jù)"坐標(biāo)差"，"特征值"的定義計算即可；

(2)因為點(diǎn)8與點(diǎn)C的"坐標(biāo)差”相等,推出B(-c,0),把(-c,0)代入〉=一1+法+。,得到：0=-<?-bc+c,

推出。=1-6,因為二次函數(shù)y=-x2+fex+c(exO)的“特征值"為-1,所以y一%=一工2+。一1)》+1-6的最大

值為-1，可得T。一。)一僅一1)一=T,解得6=3,由此即可解決問題；

-4

(3)如圖，設(shè)M(2,3),作MKElx軸于K,交EM于N,朋7取軸于，，作ELMV的平分線交IW于T,觀察

圖象，根據(jù)"特征值"的定義，可知點(diǎn)7的"坐標(biāo)差”的值最大.

【詳解】(1)①點(diǎn)4(1,3)的"坐標(biāo)差"為=3-1=2,

故答案為2；

②設(shè)尸(xfy)為拋物線y=-/+3工+3上一點(diǎn)，

坐標(biāo)差=一/+2%+3=-(％-1)2+4,最大值為4,

所以拋物線y=-X2+3x+3的〃特征值〃為4

故答案為4.

(2)①由題意：0-加=c-0,可得冽=-c.

②團(tuán)C(0,。)，

又回點(diǎn)B與點(diǎn)C的〃坐標(biāo)差〃相等，

魴(-c,0),

把(-c,0)代入yn-f+bx+G得到：0=-O2_6C+G

回。=1-瓦

團(tuán)二次函數(shù)丁=一/+"+。(CHO)的〃特征值〃為-1

所以y-尤=4+(b-1)x+l-b的最大值為-1,

回-4(1-6)-e-1)2=_],

-4

解得6=3,

0c=-2,

回二次函數(shù)的解析式為J=-x2+3x-2.

(3)

如圖，設(shè)M（2,3）,作軸于K,交IW于N,該跑軸于J,作ELZAW的平分線交IW于7,觀察圖象,

根據(jù)"特征值"的定義，可知點(diǎn)7的"坐標(biāo)差"的值最大.

易知回力WF是等腰直角三角形，

?TF=FM=e,EF=KM=3,EK=FK=M=亞,

0OE=OK-EK=2-6,TE=3+亞,

半徑為2的圓的"特征值”為3+&-（2-0）=1+20.

故答案為1+20.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、"坐標(biāo)差"，"特征值"的定義、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識,

解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會構(gòu)建函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題.

19.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，N點(diǎn)坐標(biāo)為（0,m）（加＞0）,8點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,以N點(diǎn)為圓心O/為

半徑作的，將△N05繞2點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)a角（0。＜&＜360。）至處.

圖3備用圖

⑴如圖1,4=4,?=90°,求0'點(diǎn)的坐標(biāo)及48掃過的面積；

⑵如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、。、左三點(diǎn)在同一直線上時，求證：是回。的切線；

⑶如圖3,〃?=2,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)直線8。與朋相交時，直接寫出a的范圍.

【答案】（1）。'（2,2）,N5掃過的面積為57r

（2）見解析

⑶當(dāng)直線80'與曲相交時，a的范圍為：?！?lt;（/<90°或180°<0<270°

【分析】（1）先判斷出旋轉(zhuǎn)后。歸取軸，從而得出點(diǎn)。'的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷出是N5掃過的面積是以為半

徑，圓心角為90。的扇形的面積，

（2）先判斷出dAO'3絲一A'O'3.即可得出AO'=A'O;進(jìn)而得出AO'=即可得出結(jié)論；

（3）找出50'與姐相切時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)即可確定出范圍.

【詳解】（1）當(dāng)a=90°時，?！?擊軸，

由旋轉(zhuǎn)知，O'B=OB=2,

0O'（2,2）,

在比A/OB中，08=2,OA=m=4,

0AB=26

由旋轉(zhuǎn)知，四繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)90。到歷T,

BL4B掃過的面積=雙五生魚=5兀；

360

（2）由旋轉(zhuǎn)知，AB=A'B,

SZBAA'=ZBA'A,

dA、。、4三點(diǎn)在同一直線上,

^ZAO'B=ZA'O'B=90°,

在△/OB和△/'OB中，

AAO'B=ZA'O'B=90°

<ZBAA'=ZBA'A,

AB=A'B

團(tuán)AO'B^A'O'B.AO'=A'O',

由旋轉(zhuǎn)知，A'O'=AO,

回AO'=AO,

回。'8是回。的切線；

(3)

團(tuán)加二2,

的(0,2),

財(0,2),

旗14=OB=2,

當(dāng)順時針旋轉(zhuǎn)時，8。與財相切時，四邊形AOBOC剛好是正方形，

00°<?<90°,30'與財相交，

同理：180°<(z<270°時，30'與的相交，

即：當(dāng)直線30'與明相交時，a的范圍為：0°<0<90°或180°<c<270°.

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股

定理，解本題的關(guān)鍵判斷出，,AO'BZA'O'B,是一道中等難度的中考常考題.

20.如圖1,菱形N8CD的邊長為12cm,05=60°,M,N分別在邊N8,CD.上，AM=3cm,DN=4cm,

點(diǎn)尸從點(diǎn)M出發(fā)，沿折線M3-3C以lcm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(不與點(diǎn)C重合)；的PC的外接圓團(tuán)。

與CD相交于點(diǎn)E,連接尸￡交NC于點(diǎn)足設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為舊

(1)EL4P￡=°；

(2)若回。與相切,

①判斷回。與CD的位置關(guān)系；

②求APC的長；

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在8C上運(yùn)動時，求的最大值，并判斷此時尸￡與NC的位置關(guān)系；

⑷若點(diǎn)N在回。的內(nèi)部，直接寫出/的取值范圍.

【答案】⑴60。

（2）①回。與CD相切；②=

⑶C戶的最大值為3cm,此時AC^PE

⑷當(dāng)OV<1時或17<”21時，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)易證明C￡?為等邊三角形，根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可得到的尸E的度數(shù)；

（2）①先找出回。與/。相切時的情況，根據(jù)切線長定理即可證明回。與CD相切；②根據(jù)切線長定理和菱

形的性質(zhì)，可求得圓的半徑，根據(jù)弧長公式即可求解；

（3）要使b取得最大值，則4尸應(yīng)該取最小值，當(dāng)/。叩￡時，/尸最小，此時CF取得最大值，求出即可；

（4）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)尸在48上時和當(dāng)點(diǎn)P在3C上時.

【詳解】（1）解：回四邊形/BCD為菱形，05=60°,

釀。=勖=60°,AD=CD,

EIEL4CD為等邊三角形，

0EL4C￡=6O°,

EB4PE=EL4CE=60°,

故答案為：60°.

（2）

A___________D

如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)8時，回。與AD相切,

①團(tuán)四邊形/BCD為菱形,

^AD=CD,

盟。與相切,

盟。與CO相切;

②連接OD,

由(1)可知，0ADC=6O。，

EL4O、CD分別與回。相切，

EEADO=!a<DC=30°,

a4O=AZ)xtan30o=12x—=45/3,

3

0APC=-x(2zrx4A/3)=TI；

33

(3)

由圖可知：CF=AC-AF,

SAB=BC,05=60°,

的48c為等邊三角形，則NC=12cm,a4c8=60°,

回要使C尸取得最大值，則4F應(yīng)該取最小值，

當(dāng)/CHPE時，Z尸最小，此時CF取得最大值，

13點(diǎn)。為胤4PC外接圓圓心，

^\OA=OC=OP=—AC=6cm,

2

團(tuán)財CB=60°,

0CF=CP*cos60°=3cm,

綜上：CF的最大值為3cm,此時ZCWPE.

(4)

①當(dāng)點(diǎn)尸在ZB上時，

回四邊形NPCE為圓的內(nèi)接四邊形,

加尸C+04EC=18O°,

酮4￡Z>++胤4EC=180°,

^\APC^AED,

在的PC和回OE4中，

AC=AD,即％C=肛^APC^AED,

的4PC醐M4,

射P二DE,

當(dāng)點(diǎn)石與點(diǎn)N重合時，DE=DN=AP=4,

[WP=4-3=lcm,

0Z=15,

當(dāng)0<”1時，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；

②當(dāng)點(diǎn)。在BC上運(yùn)動時，

釀4EP二胤4cp=60°,

團(tuán)0APE為等邊三角形,

^AP=AE,皿E=60°,

團(tuán)曲。=60°,

團(tuán)曲。二團(tuán)小￡,

在曲尸和團(tuán)C4E中，

AB=AC,曲4PR1C4E,AP=AE,

^\BAP^\CAE,

國BP=CE,

當(dāng)點(diǎn)E與帶你N重合時，CE=CN=BP=12-4=8cm,

MP+BP

此時t==9+8=175,

1

當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C時，f=21s,

當(dāng)17V<21時，點(diǎn)N在圓內(nèi)部;

綜上：當(dāng)0</<1時或17<，<21時，點(diǎn)N在圓內(nèi)部.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，切線長定理，以及和圓相關(guān)的內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.注意在解題過程中靈活運(yùn)用“同弧所對的圓周角相等"這一定理.

21.如圖，。為正五邊形ABCDE的外接圓，已知CF=g8C,請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的

畫圖痕跡.

⑴在圖1中的邊DE上求作點(diǎn)G,使。G=B；

（2）在圖2中的邊DE上求作點(diǎn)H,使EH=CF.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）連接并延長與CD相交，連接跖交/O延長線于連接8〃與。E的交點(diǎn)即為所求作；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接2。并延長與?！晗嘟?，連接/G交2。延長線于N,連接CN并延長即可.

【詳解】（1）連接/O并延長與CD相交，連接￡尸交/O延長線于“，連接交DE于點(diǎn)G,則點(diǎn)G為

所求作，如圖1所示；

理由：

03。為正五邊形的外接圓，

回直線49是正五邊形/3CDE的一條對稱軸，點(diǎn)3與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)。分別是一對對稱點(diǎn).

回點(diǎn)〃■在直線20上，

國射線與射線時關(guān)于直線對稱，從而點(diǎn)尸與點(diǎn)G關(guān)于直線/。對稱，

0CF與DG關(guān)于直線AO對稱.

^DG=CF.

ffil

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，連接2。并延長與DE相交，連接/G交2。延長線于N,連接CN,如圖2所示;

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖：無刻度直尺作圖，考查了正五邊形的對稱性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

22.已知回。的半徑和正方形4?。的邊長均為1,把正方形48CD放在回。中，使頂點(diǎn)4。落在回。上，

此時點(diǎn)/的位置記為4,如圖1,按下列步驟操作：

如圖2,將正方形ABCD在回。中繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落到回。上，

完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點(diǎn)2順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落到回。上，完成第二次旋轉(zhuǎn)；……

(1)正方形N8CD每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為。；

(2)將正方形N2CD連續(xù)旋轉(zhuǎn)6次，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)8與4之間的距離的最小值為.

【答案】302-&

【分析】根據(jù)題意可知△04。是等邊三角形，每一次旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)化為等邊三角旋轉(zhuǎn)60度，則正方形各頂點(diǎn)

構(gòu)成正六邊形，邊長為1,進(jìn)而求得每次旋轉(zhuǎn)的角度；在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，第三次旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)3與4

之間的距離的最小值為（。的直徑減去正方形的對角線的長度

【詳解】.回。的半徑和正方形NBCD的邊長均為1,

是正三角形

:.ZOAD=60°

ZB0AB=120°-90°=30°

即正方形每一次旋轉(zhuǎn)的角度為30。，

如圖，B點(diǎn)的運(yùn)動路徑如圖中線—…一舔部分,

?.?正方形的邊長為1,

,正方形的對角線長為0,

)0的半徑為1

，最短距離為2-0

故答案為：30,2-V2

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，找到正方形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律

是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，以西3c的8c邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過48兩點(diǎn)，且與2c邊交于點(diǎn)￡,ZXM8E于點(diǎn)O,

連接40交2c于尸，若AC=FC.

⑴求證：NC是回。的切線：

(2)若B尸=8,DF=2?,求回。的半徑；

⑶若0AD2=6O。，BD=1,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號)

【答案】⑴見解析

(2)6

【分析】（］）連接。/.由OA=OD,可得NOAT）=NOD4.由AC=CF,可得NC4F=NCE4.由OD_L8E,

可得"03=/。0尸=90。，所以NOFD+NODA=90。.結(jié)合NOW=NODA,Z.CAF=ZCFA,

ZOFD=ZCFA,可得NC4F+/Q4Z）=90。.

所以O(shè)4_LAC,即/C是。的切線.

（2）設(shè)。的半徑為r,所以3。=。。=廠.由3尸=8,可得O尸=8—r.在RtODP中，由勾股定理得

OF2+OD2=DF2,結(jié)合D尸=2西，可得（8-萬+/=（2而）2,解得r=6或廠=2（不符合題意舍），故二O

的半徑為6.

(3)由于30=00,BD=1,在Rf.BOD,由勾股定理得BO?+0￡P(guān)=臺。?，解得BO=DO=①,所以CO

2

的半徑為也.由ZADB=60。，可得ZAOB=120。.可求出NAOC=180。-NAOB=60。.由于。4_LAC,可得

2

刖聾.即

NQ4c=90°.所以在中，tanAOC=tan60°=—=.由QA=亞，可得AC=

OA2

60。若A

.故

可求出：SKRiIZAlyAC=c-OA.AC=-CCC4,、一71

AOAC22224。扇形Q4E一

360012

S陰影=SRIAOAC-S扇形OAE=°，——

【詳解】（1）證明：連接。4

OA=OD

ZOAD=ZODA

AC=CF

ZCAF=ZCFA

OD±BE

ZDOB=ZDOF=90°

???NOFD+NODA=90。

ZOAD=ZODA,ZCAF=ZCFA,ZOFD=ZCFA

ZCAF^-ZOAD=90°

OA±AC

即4。是C。的切線.

A

解：設(shè)。的半徑為V

，BO=DO=r

BF=8

OF=8-r

NDOF=90。

.,.在RtODF中，由勾股定理得。產(chǎn)+O￡p=￡>F2

DF=2回

(8-r)2+r2=(2A/10)2

解得：r=6或r=2(不符合題意舍)

故的半徑為6

(3)

解：BO=DO,BD=1,"03=90。

???在RtBOD,由勾股定理得BO2+OD2=BD-

，解得8。=￡＞。=變

2

即的半徑為走

ZADB=60°

ZAOB=2ZADB=120°

，ZAOC=180°-ZAOB=60°

OA1AC

，ZOAC=90°

在RtAOAC中，tanAOC=tan60°==.

OA

OA上

2

AC=yfiOA=—

2

10#660。%（交了

—OA.AC=—xx=,_。