2024年上海市中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：特殊三角形 綜合檢測過關(guān)卷（解析版）

專題10特殊三角形綜合過關(guān)檢測

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一、單選題（本題共10小題，每題3分，共30分）

1.如圖，A,3為4x4方格紙中格點(diǎn)上的兩點(diǎn)，若以AB為邊，在方格中取一點(diǎn)C（C在格點(diǎn)上），使得

為等腰三角形，則點(diǎn)C的個數(shù)為（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【分析】本題主要考查格點(diǎn)作等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的判斷即可得到結(jié)論，掌握等腰三角形的判定

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】①當(dāng)A3為腰時，如圖，

②當(dāng)為底邊時，點(diǎn)C無格點(diǎn)，

綜上可知：一為等腰三角形，則點(diǎn)C的個數(shù)有8個,

故選：B.

2.如圖，已知每個小方格的邊長為1,A,8兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請?jiān)趫D中找一個頂點(diǎn)C,使

ABC為等腰三角形，則這樣的頂點(diǎn)C有（）

--------------1-------------———

1

1

1

1

1

1

_____

1

L___jA'fL■■■J

1

1

1_______

1

1

1

1

B

A.8個B.7個C.6個D.5個

【答案】A

【分析】當(dāng)AB為底時，作的垂直平分線，當(dāng)A5為腰時，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作

弧，分別找到格點(diǎn)即可求解.

【詳解】解：當(dāng)為底時，作A8的垂直平分線，可找出格點(diǎn)C的個數(shù)有5個，

當(dāng)AB為腰時，分別以A、8點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作弧，可找出格點(diǎn)C的個數(shù)有3個；

，這樣的頂點(diǎn)C有8個.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在ABC中，AB^AC,/BAC=108。，點(diǎn)。在AC的垂直平分線上，AE平分/A4D,則

圖中等腰三角形的個數(shù)是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得AB=AC,進(jìn)而可得NB=NC,得出/3=NC=36。，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得

AD=CD,進(jìn)而得出/84。=108。-36。=72。，根據(jù)角平分線的定義得出NA4E=ND4E=36。，進(jìn)而可得

AE=BE,ZAED=ZADE,得出=ZCAE=ZAED=72°,得出C4=CE,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：在.ABC中，AB=AC,

「ABC是等腰三角形；

:.NB=NC,

ZBAC=108°,

/.ZB=ZC=36°,

點(diǎn)。在AC的垂直平分線DF上，

:.AD=CD,

.?..AOC是等腰三角形；

.*.ZZMC=ZC=36°,

.?.ZBAD=108°-36°=72°,

AE平分NBA。，

,\ZBAE=ZDAE=36°,

:.ZBAE=ZB,

:.AE=BEi

.—AEB是等腰三角形；

ZAED=NBAE+ZB=笆,ZADE=ADAC+AC=72°,

:.ZAED=ZADE,

AE=AD,

「ADE是等腰三角形；

ZBAD=ZADE=12°f

.BA=BD,

」.AB。是等腰三角形；

ZCAE=ZAED=72°,

CA=CE,

C4E是等腰三角形，

綜上所述，等腰三角形有-ABC,ADC,_AEB,ADE,^ABD,CAE共6個，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟

練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，BD是ABC的平分線，ZA=36°,ZABC=72°,交AB于E,則圖中等腰三角形的個

數(shù)是（）

B.4個C.3個D.2個

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判定,ABC為等腰三角形，然后由角平分線、平行線的性質(zhì)、等角對等邊

來找圖中的等腰三角形.

【詳解】解：：在.ABC中，/A=36?,NABCT1H,

：.ZABC=NC=72°,

/8。為—ABC的平分線，

ZCBD^ZABD=-ZABC=36°,

2

*.ZCDB=180°-36°-72°=72°,

/DE//BC,

ZA￡D=ZABC=NADE=NC=72°,2DBC=NEBD=NEDB=36,

；NABC=/C=7^,

,?ABC是等腰三角形；

NADE=NAED=71,

△WE是等腰三角形;

Z￡>BA=ZA=36°,

，,ABD是等腰三角形；

,/ZEBD=ZEDB=36°,

.DBE是等腰三角形；

,/ZBDC=ZC=72°,

.BCD是等腰三角形；

綜上，等腰三角形共有5個；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定.角的等量代換的運(yùn)用是正確解答本題的關(guān)鍵.

5.如圖，在」1BC中，ZB=ZC=36°,D,E是邊BC上的兩點(diǎn)，且有NADE=/AED=72。，則圖中等

腰三角形的個數(shù)是（）

A.2B.6C.5D.7

【答案】B

【分析】根據(jù)等角對等邊、三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理逐一判斷即可.

【詳解】解：'：ZB=ZC=36°,ZADE=ZAED=72°,

」.△ABC和4ADE都是等腰三角形，ZDAB=ZADE-ZB=36°,ZEAC=ZAED-ZC=36°,

/.ZDAB=ZB,ZEAC=ZC,

ADAB和AEAC都是等腰三角形，

*/ZB+ZBEA+ZBAE=180°,ZC+ZCDA+/CAD=180°,

ZBAE=180°-ZB-ZBEA=72°,ZCAD=180°—NC—ZCDA=72°,

.\ZBAE=ZBEA,ZCAD=ZCDA,

ABAE和ACAD都是等腰三角形，

綜上：共有6個等腰三角形.

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰三角形的判定，掌握等角對等邊、三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理是

解決此題的關(guān)鍵.

6.如圖，在AABC中，ZB=ZC=40°,D,E是BC上的兩點(diǎn)，且NADE=/AED=80。，則圖中共有等

腰三角形（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】B

【分析】由三角形的外角性質(zhì)可求/BAD,/EAC的度數(shù)，由等腰三角形的判定可求解.

【詳解】解:

,/ZB=ZC=40°,ZADE=ZAED=80°,

AABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，

VZADE=ZB+ZBAD,

.\ZBAD=ZADE-ZB=40°,

ZB=ZBAD,

.?.△ABD是等腰三角形，

同理可求/EAC=ZC=40°,

...△AEC是等腰三角形，

,圖中共有等腰三角形4個，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，求出各角的度數(shù)相等，然后得到相等的角是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，ZABC.NACB的平分線相交于點(diǎn)孔過點(diǎn)尸作。E〃3c交于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E.下列結(jié)

論：①SDF、一CEF都是等腰三角形；@DE=BD+CE,③VADE的周長等于AB+AC,其中正確的是

A

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的定義，平行線的定義，熟練掌握等角對等邊是解答本

題的關(guān)鍵.①根據(jù)角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可證V瓦用是等腰三角形，同理也是等腰三角

形；②根據(jù)等量代換即可判定；③根據(jù)等量代換即可判定.

【詳解】解：①：的是/ABC的角平分線

ZABF=NCBF

又：DE//BC

：.NCBF=NDFB

：.ZABF=ZDFB

：.DB=DF,即NBDF是等腰三角形，

同理可得△CEF是等腰三角形，故①正確；

②?；NBDF是等腰三角形，

，DB=DF

同理：EF=EC

：.DE=DF+EF=BD+CE,故②正確；

③：DF=BD,EF=EC

，VADE的周長為AD+OE+AE=AD+DF+AE+EF=/1D+3O+AE+CE=AB+AC,故③正確；

故選D.

8.如圖，在四邊形A3CD中BC=DC,乙4=60。，點(diǎn)E在AD上，連接3。，CE相交于點(diǎn)F

CE〃AB.若CE=9,則CT的長為（）

A

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，中垂線的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用等邊三角形的判定是本題

的關(guān)鍵.連接AC交8。于點(diǎn)O,由題意可證AC垂直平分3Z）,AABD,DEF是等邊三角形，△AEC是

等腰三角形，作差計(jì)算即可.

【詳解】解：連接AC交于點(diǎn)。，

AB=AD=12,BC=DC,ZA=60°

二AC垂直平分80,△相￡>是等邊三角形，ZCAB=ACAD=-ABAD=30°,

2

ZADB=60°,

,；CE〃AB,

：.ZBAD=ZDEF=60°,ZCAB=ZACE=ZCAD=30°

DEF是等邊三角形，△AEC是等腰三角形，

/.DE=EF=AD-AE=3,AE=CE=9,

：.CF=CE-EF=6.

故選C.

9.如圖，等邊一ASC的邊長為3,點(diǎn)P是AC邊上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)延長CB至點(diǎn)

Q,使得BQ=AP,連接PQ交A2于點(diǎn)E,則DE之長為（）

D,

P

QBC

35

A.1B.—C.2D.一

22

【答案】B

【分析】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；由

60。角可嘗試作平行線構(gòu)造等邊三角形，接著證明全等是解決本題的關(guān)鍵.過點(diǎn)尸作尸尸〃3c交于點(diǎn)

F,先證明，AFP是等邊三角形，再證明EFP^EBQ,得出E尸=8E=；BF,根據(jù)POLAB可得

DF=^AF,最后根據(jù)AE=EF+DF求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作P/〃BC交AB于點(diǎn)R

ZFPE=ZQ,

ABC是等邊三角形，

ZA=ZABC=ZC=60°,

:.ZAFP=ZABC=6O°,ZAPF=ZC=60°,

:.ZA^ZAFP^ZAPF=6O°,

.?...47是等邊三角形，

:.FP=AP,

BQ=AP,

:.FP=BQ,

在4EFP和NEBQ中，

/FPE=ZQ

</FEP=NBEQ,

FP=BQ

EFP空￡BQ（AAS）,

：.EF=BE=-BF,

2

PD±AB,

:.DF=-AF,

2

ii3

.,DE=EF+DF=-（BF+AF）=-AB=-,

故選：B.

10.如圖，已知_ABC和-CD石都是等邊三角形，且A、C、E三點(diǎn)共線，AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC

交于點(diǎn)尸，BE與CD交于點(diǎn)、Q,連接PQ.有以下五個結(jié)論:

①AD=BE；②ZADB=60。；③AP=8Q；④APCQ是等邊三角形；⑤尸?！ˋE.其中正確結(jié)論的個數(shù)

是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)，易證ACD^BCE（SAS）,即可判斷①結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，到

ZCAD=ZCBE,再由三角形內(nèi)角和定理，得出/4。3=60。，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可判斷②結(jié)

論；證明,ACP絲,3CQ（ASA）,即可判斷③結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定，即可

判斷④結(jié)論：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出NACP=NCPQ=60。，即可判斷⑤結(jié)論；

【詳解】解:MC和，CDE是等邊三角形，

:.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6O°,

/.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

:.NACD=NBCE,

在/ACD和BCE中，

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

ACD^BCE(SAS),

:.AD=BE,①結(jié)論正確；

ACD-BCE,

:.NCAD=NCBE,

ZAPC=ZBPO,

:.ZAOB=1SO°-ZCBE-ZBPO=1SQ°-ZCAD-ZAPC=ZACB=60°,

NAO5是50。的外角，

:.ZAOB=ZADB+/DBO,

.\ZADB=ZAOB-ZDBO<60°f②結(jié)論錯誤；

ZPCQ=180?！猌ACB-ZDCE=60°,

/.ZACB=ZPCQ,

在△ACP和/XBCQ中，

ZCAP=ZCBQ

<AC=BC,

ZACP=ZBCQ

[ACP空gCQ(ASA),

.?.AP=3Q,③結(jié)論正確；

?.?△ACPdBCQ,

:.CP=CQf

又NPCQ=60。，

???.PC。是等邊三角形，④結(jié)論正確；

/.ZCPQ=60°,

/.ZACP=ZCPQ=60°,

'.PQ//AE,⑤結(jié)論正確；

即正確結(jié)論的個數(shù)是①③④⑤，共4個，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形判定和的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外

角的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二、填空題（本題共10小題，每題3分，共30分）

11.如圖，在等腰三角形中，AB=AC,。為3C延長線上一點(diǎn)，EC±AC^AC=CE,垂足為C,

連接班，若貝hBCE的面積為.

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，過A作于過E作

EF/5C于尸，利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：過A作于過后作石尸工區(qū)。于R

:.ZAHC=NEFC=90。,

ZCAH+ZACH=90°,

VAB=AC,BC=6,

：.BH=HC=3,

???NACE=90。，

???ZACH+/ECF=90。,

:?NECF=NCAH,

在/ACH與△CEF中，

/AHC=NCFE

<ZCAH=ZECF,

AC=CE

；?_ACH均CEF,

：.EF=CH=3,

，_3CE的面積=」BC?EF=』x6x3=9.

22

故答案為:9.

12.如圖，—ABC中，ABAC=90°,AB=AC,8。平分/ABC,CE1.BD交3D延長線于E.若△BCD

的面積為8,則CE=.

【答案】2&

【分析】首先可證明A4CFMA4BD,可知3D=CF,只要證明=3尸，由等腰三角形的性質(zhì)即可證明

BD=2CE.再根據(jù)SBCD=；B"CE=8,則;X2CE-CE=8,即可求解.

【詳解】證明：如圖，延長CE、54相交于尸，

ZBAC=90°,CELBD,

:.ZABD+ZF=90°,ZACF+ZF=90°

:.ZACF=ZABD,

在△ACF和△ABD中，

ZCAF=ABAD=90°

<ZACF=NABD,

AC=BC

:..ACF^..ABD（ASA）,

:.BD=CF,

,?BD平分NABC,

：.ZABD=NCBD,

BE±CF,

:.ZBEC=ZBEF=90°,

.NCBD+ZBCE=90。,ZABD+ZF=90°f

:.ZBCF=ZFf

:.BC=BF,

BE1.CF,

：.CE=EF,

BD=2CE.

SBCD=|BDCE=8,

-x2CECE=8,

2

?*-CE=2亞.

故答案為：2夜.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是利用全等三角形的對應(yīng)邊相等解決問題，屬于中考常考題型.

13.如圖，已知ABC中，AB=AC,AZ）為高，BE為中線，AD與班相交于點(diǎn)。，若3C=6,

AD=7,則"OE的面積為.

【答案】3.5

【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)和重心的性質(zhì)以及利用三角形的面積公式解答即可.

【詳解】解：MC中，AB=AC,為高，BE為中線，BC=6,AD=1,

718。的面積='貿(mào)*池=21,

2

121

:._ABE的面積=-AABC的面積=—,

ABC中，AB=AC,AD為高，BE為中線，

為一ABC的重心,

1121

AOE的面積=]ABE的面積=§、另=3.5.

故答案為：3.5.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形的重心，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)解答.

14.如圖，―ABC和△ADC都是等邊三角形，點(diǎn)E,廠分別在邊BC和CO上，且ZE4F=60。，若的

周長最小時，則的大小是.

【答案】30。/30度

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定：先通過等邊三角形的

性質(zhì)證明uAECqAED,得因?yàn)棰镕=60。，所以△AEF是等邊三角形，貝U當(dāng)AEL8c時，

的周長最小，止匕時N54E=2NB4C,即可作答.

2

【詳解】解：：ABC和△ADC都是等邊三角形，S.AC=AC,

：.AABC咨AADC,

則/54C=〃AC=60。，AD=AC,ZACB=ZADC=60°,

,/ZEAF=60°,

：.ZEAC=ZFAD,

：.一AEC空AFD(ASA),

AE=AF,

,/ZE4F=60°,

△AEF是等邊三角形，

則△AEF的周長=3AE,

.?.當(dāng)AE_LBC時，AE有最小值，

:等邊三角形的三線合一，

ABAE=-ABAC^3Q0.

2

故答案為：30°.

15.如圖，ABC與V45C1是全等的兩個等邊三角形，AB,4在同一條直線上，。為線段3^上一動

點(diǎn)，若45+CD的最小值為5,則等邊三角形A3C的邊長為

【答案】|

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，連接證明

CBD沿幺50e人5)得到0)=4。，進(jìn)而推出當(dāng)A、D、4三點(diǎn)共線時，AD+AQ最小，即此時

AD+CD,最小值為他，再由AD+CD的最小值為5,得到例=5,則A8=gA4,=|,據(jù)此可得答

案.

【詳解】解：如圖所示，連接A。，

VABC與VA2G是全等的兩個等邊三角形，

BC=AB=\B,NABC=NA3G=60。，

ZCBD=180。—ZABC—N”。=60°,

NCBD=NABD,

又?：BD=BD,

：._CeD^Z4fi￡>(SAS),

CD=AXD,

AD+CD-A.D+A|Z),

.?.當(dāng)A、D、A三點(diǎn)共線時，AO+AQ最小，即此時AD+CD,最小值為人4，

：AD+CD的最小值為5,

A4=5,

AB=-AA=-,

2"2

.?.等邊三角形ABC的邊長為|,

2

故答案為：

c

16.如圖，3。是等邊AABC的中線，以。為圓心，D2的長為半徑畫弧交BC的延長線于E,連接DE,

貝.

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì).根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得54=3C,ZABC=60°,然后利用等

腰三角形的三線合一性質(zhì)可得"3C=30。，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得NDBE=NE=30。，從而利用三

角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：是等邊三角形，

:.BA=BC,ZABC=6O°,

QBD是ABC的中線，

:.ZDBC=-ZABC=30°,

2

由題意得：DB=DE,

:.ZDBE=ZE=30°,

ZBDE=180°-ZDBE-ZE=120°,

故答案為：120°.

17.如圖，△QAC和EBC均是等邊三角形，AE、3D分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N,且A、C、2在同

一直線上，有如下結(jié)論：①ACEMDCB；?CM=CN-③AC=DN；?ZAPD=60°.其中不正確結(jié)

論的結(jié)論是.

B

【答案】③

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握知識點(diǎn)

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定逐一證明即可得到答

案.

【詳解】解：△7MC和均是等邊三角形，

.\ZACD=ZBCE=60°,

，ZACE=NDCB=120。,

在"CE,中，

AC=DC

<NACE=NDCB,

CB=CE

「.△AC石四△OCRSAS),故①正確；

:./CAM=/CDN,

在Z\ACM,DCN中,

/AM=ZCDN

<AC=DC,

ZACM=ZDCN=60°

/.ACM^DCN(ASA),

：,CM=CN,故②正確；

:,DN=AM,

在/AMC中.AC>AMf

:.AC手DN,故③錯誤；

/.ACE^DCB,

:.ZAEC=NDBC,

:.ZECB=60%

/.ZEAC+ZAEC=ZECB=60°,

,\ZAPD=ZAC+ZABP=ZEAC+ZAEC=60°f故④正確.

故答案為：③.

18.如圖，等邊ABC.等邊OBD,若NAOC=130。，則當(dāng)N5O。為度時，△AOD是等腰三角

形.

A

【答案】130。或115。或100°

【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，設(shè)

/BOC=X。,先證明QB/g—OBaSAS),從而表示出4400=廿-60。,，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分別

假設(shè)AO=AD,OA=OD,OD=AD,從而求出a.

【詳解】解：設(shè)N30C=x。，

；_OBD與一ABC是等邊三角形，

:.ZABC=ZDBO=60°,AB=BC,BD=BO,

：._DBA^OBCCSAS),

NBDA=NBOC=x。,

-03。是等邊三角形，

.-.ZBDO=ZBOD=60°,

.-.ZADO=xa-60°,

AOD為等腰三角形，

當(dāng)AO=OD時，ZDOA=180。-2ZADO=180°-2(x°-60°)=300°-,

即130°+廿+60°+300°-2廿=360°,

解得x=130。，

當(dāng)AO=AD時，ZAOD=ZODA=jf-60°,

即130。+y+60。+y-60。=360。，

解得x=115。，

當(dāng)OD=AD時，ZAOD=90°(x°-60°)=120°-1x°,

即130。+X。+600+120。-#=360°,

解得x=100。

所以當(dāng)/BOC為130?；?15?；?00。時，△AOD是等腰三角形；

故答案為：130?；?15?；?00。

19.如圖，點(diǎn)、D,E分別在等邊三角形ABC的邊AB,8C上，將一SDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)8落在巴

處.若NA￡>4=70。，貝|NCE4=.

【答案】50。/50度

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，由等邊三角形的性質(zhì)得到

-3=60。，由折疊的性質(zhì)可得=ZBED=ZB^ED,根據(jù)平角的定義求出NBDE=55。，則

由三角形內(nèi)角和定理得到/2瓦>=々ED=65%再由平角的定義即可求出答案.

【詳解】解：；ABC是等邊三角形，

4=60°,

由折疊的性質(zhì)可得N2DE=ZB.DE,ZBED=ZB,ED,

?：ZADBl=70°,

180°-ZA￡>B,

/BDE=々1DE==55°

2

/.ZBED=NB\ED=180°-ZB-ZBDE=65°,

NCEB[=180°-ZBED-NB、ED=50°,

故答案為：50°.

20.如圖，已知ABC和VADE均為等邊三角形，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，連接OE,EC,則NACE=

。，OE取最小值時OE與5c滿足位置關(guān)系為.

【答案】30OE//BC

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的

關(guān)鍵.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OC=；AC,ZABD=30°,根據(jù)“SAS”可證,可得

ZACE=30°=ZABD,當(dāng)OE_LEC時，0E的長度最小，根據(jù)N3CE=90。，ZOEC=90°,從而得到

OE//BC.

【詳解】解：：.ABC為等邊三角形，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

/.OC^-AC,ZABD=30°,

2

ABC和VADE均為等邊三角形，

AB^AC,AD=AE,

：.NBAD=NCAE,

...一ABD四一ACE(SAS),

ZACE=30°=ZABD,

當(dāng)OE1.EC時，OE的長度最小,

VZACE=30°,ZACB=60°,

NBCE=90°,

又：ZOEC=90°,

：.OE//BC,

故答案為：30；OE//BC.

三、解答題(本題共3小題，共40分)

21(12分).已知ABC中，ZA=90°,AB^AC,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn).

C

(1)如圖1,點(diǎn)E,歹分別為線段AB,AC上的點(diǎn)，當(dāng)3E=AF時，易得一。即的形狀為一三角形;

(2)如圖2,若點(diǎn)E,尸分別為AB,C4延長線上的點(diǎn)，且=其他條件不變，貝I(1)中的結(jié)論仍然

成立，請證明這個結(jié)論;

(3)如圖3,若把一塊三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處轉(zhuǎn)動，三角尺的兩條直角邊與線段AB,AC分別交于點(diǎn)

E,F,請判斷的形狀，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)等腰直角

(2)成立，見解析

(3)等腰直角三角形，見解析

【分析】本題考查等腰三角形判定及性質(zhì)，全等三角形判定及性質(zhì).

(1)根據(jù)題意連接AD,證明△&)￡點(diǎn)八40尸即可得到本題答案；

(2)同(1)中證明方法已知，即可得到本題答案；

(3)證明ABDE^^ADF即可得到本題答案.

【詳解】(1)解：連接AD,

VZA=90°,AB=AC,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

/.AD±CB,AD=DB=DC,ZB=ZC=45°,ZBAD=ZCAD45°,

：.ZB=ZDAF=45°,

在ABDE和尸中，

BD=DA

<ZB=NDAF,

BE=AF

.?…BDE^ADF(SAS),

:.NBDE=ZADF,DE=DF,

：.ZEDF=ZBDA=90°,

.DEF是等腰直角三角形；

故答案為：等腰直角；

(2)解：(1)中結(jié)論成立，理由如下：

連接AD,如圖，

F

A

VZA=90°,AB=AC,點(diǎn)。為5c的中點(diǎn),

AADLCB,AD=DB=DC,ZABD=ZC=45°,ZBAD=ZCAD=45°,

：.ZABD=ZDAC=45°,

：.ZDBE=ZDAF=135°,

在△/?力氏和△ADF中，

BD=DA

</DBE=ZDAF,

BE=AF

：.二BDEmLADF(SAS),

：.ZBDE=ZADF9DE=DF,

：.ZEDF=NBDA=90°,

??.，D斯是等腰直角三角形；

(3)解：結(jié)論：刀即是等腰直角三角形，理由如下:

連接的＞,

???NA=90。，AB=AC,點(diǎn)。為3c的中點(diǎn)，

AADLCB,AD=DB=DC,ZB=ZC=45°,ZBAD=ZCAD=45°,

：.ZB=ZDAF=45°f

???ZEDF=NBDA=90°,

JZBDE=ZADF,

在A6Z)石和AADF中,

ZB=ZDAF

<DB=DA

ZBDE=ZADF

：..BDE^ADF{SAS),

：.DE=DF,

/.DEF是等腰直角三角形.

22（14分）.完成下列各題

問題初探

如圖1,.ABC中，ABAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。是3C上一點(diǎn)，連接AD,以AD為一邊作VADE,使

ZDAE=90°,AD=AE,連接BE,猜想助和CO有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

類比再探

如圖2,一MC中，ABAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M是A8上一點(diǎn)，點(diǎn)。是5c上一點(diǎn)，連接MD,以MD為

一邊作二MDE,使/DME=90。，MD=ME,連接BE,則N￡BD=.（直接寫出答案，不寫過程，

但要求作出輔助線）

方法遷移

如圖3,—MC是等邊三角形，點(diǎn)。是3c上一點(diǎn)，連接AD,以AD為一邊作等邊VADE,連接班，則

808E8C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出答案）

圖3

拓展創(chuàng)新

如圖4,ABC是等邊三角形，點(diǎn)M是A3上一點(diǎn)，點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，連接M。，以為一邊作等邊

_MDE,連接班，猜想NEBD的度數(shù)并說明理由.

圖4

【答案】問題初探：3E=CD理由見解析

類比再探：NEBD=90°,圖形見解析

方法遷移：BD+BE=BC

拓展創(chuàng)新：ZEBD=120°,理由見解析

【分析】問題初探：證明得到3E=CD；

類比再探：過點(diǎn)M作簡〃AC交BC于點(diǎn)/，推出=/BMF=NBFM=45。,證明

一MDF'MEB,得到/MBE=/MFD=45。，tg?ZEBD=ZEBM+ZMBF,即可得解；

方法遷移：證明，C4DgA4￡（&4S）,得到DC=3E,即可得至I」8。=8。+防；

拓展創(chuàng)新：過點(diǎn)M作MG〃AC交8c于點(diǎn)G,得到△BMG是等邊三角形，再證明.3ME■均GMD,得到

ZMBE=ZMGB=60°,tgigZEBD=ZMBE+ZMBG,即可得解.

【詳解】解：問題初探：BE=CD

理由如下：

ZBAC=ZDAE=90°f

：.ZBAE=ZCADf

VAD=AE,AB=AC,

：.BAE=CAD,

：.BE=CD.

類比再探：NEBD=90。,

理由如下：過點(diǎn)M作MF〃AC交5c于點(diǎn)R則：ZBMN=ZA=90°f

在MABC中，AB=AC,

：.ZABC=ZC=45°f

:?NBMF=/BFM=45。,

:?BM=MF,

同（1）可得：MDF=?MEB,

：.ZMBE=ZMFD=45°,

：.ZEBD=ZEBM+ZMBF=450+45°=90°,

故答案為：90°；

方法遷移：BD+BE=