2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程（十一大題型）講義（解析版）

第07講函數(shù)與方程

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1:函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:二分法...............................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間............................................................6

題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍......................................................9

題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題...................................................12

題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題...................................................................17

題型五：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.......................................................................21

題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型.......................................................24

題型七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)￡.....................................................................26

題型八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題...................................................................29

題型九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題.........................................................................34

題型十：等高線問(wèn)題...........................................................................38

題型十一：二分法..............................................................................43

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................45

05課本典例?高考素材...........................................................47

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................50

易錯(cuò)點(diǎn)：不理解函數(shù)圖象與方程根的聯(lián)系.........................................................50

答題模板：數(shù)形結(jié)合法解決零點(diǎn)問(wèn)題.............................................................52

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

從近幾年高考命題來(lái)看，高考對(duì)函數(shù)與方程

2023年天津卷第15題，5分也經(jīng)常以不同的方式進(jìn)行考查，比如：函數(shù)零點(diǎn)

(1)零點(diǎn)存在性定理2022年天津卷第15題，5分的個(gè)數(shù)問(wèn)題、位置問(wèn)題、近似解問(wèn)題，以選擇

(2)二分法2021年天津卷第9題，5分題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的不同

2021年北京卷第15題，5分位置，且考查得較為靈活、深刻，值得廣大師生

關(guān)注.

復(fù)習(xí)目標(biāo):

(1)理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.

(2)理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

(3)了解用二分法求方程的近似解.

，-T函數(shù)零點(diǎn)的概念一)(對(duì)于函數(shù)片/(.v),我們把使/(.\)=0的實(shí)數(shù).V叫做函數(shù)尸/(.v)的庫(kù)點(diǎn).)

函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解):方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系)~~(方程/(.v)=0仃實(shí)數(shù)根Q函數(shù)i'=/(.v)的圖像與a?軸有公共點(diǎn)o函數(shù)尸/代)有零點(diǎn).

如果函數(shù)J=/(X)在區(qū)間［見(jiàn)加上的圖像是連續(xù)不斷的條曲線,

T〔零點(diǎn)存在性定理并且在/"(辦/如。,那么函數(shù)j，=/(x)在區(qū)間(處。)內(nèi)布r零點(diǎn)，

即存在cG(a,b),使得/(c)=O,c也就是方程/(2=0的根.

函數(shù)與方程

對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且/(。>/(6)<0的函數(shù)/(x),

通過(guò)不斷地把函數(shù)/住)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，

使僅間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做.分法.

確定區(qū)間口⑶，驗(yàn)證/⑷給定精度￡.)

二分法

T［求區(qū)間(a,B)的中點(diǎn)Xr)

/計(jì)算/g).若/(M)=0,則M就是函數(shù)/(<)的零點(diǎn);一

O［一.分法求函數(shù)/(X)零點(diǎn)近似值的步驟

—：若/(。)?/口1)<0,則令b=s(此時(shí)零戊匕€(%?)).

若/SA/(xJ<。，則令"W(此時(shí)零點(diǎn)W/))

判斷是否達(dá)到精確度“即若|叱。|<￡，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為。(或b);

否則用復(fù)第(2)~(4)步.

老占空曲?題理探去

f知識(shí)固本JJ

知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于函數(shù)〉=f(x),我們把使〃尤)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)>=的零點(diǎn).

2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

方程〃尤)=0有實(shí)數(shù)根。函數(shù)y=〃x)的圖像與x軸有公共點(diǎn)O函數(shù)y=有零點(diǎn).

3、零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=〃x)在區(qū)間[凡可上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有“a)"伍)<0,那么函數(shù)

4=/(彳)在區(qū)間(。,8)內(nèi)有零點(diǎn),即存在ce(a,b),使得〃c)=0,c也就是方程〃x)=0的根.

【診斷自測(cè)】已知函數(shù)“無(wú))是定義在R上的偶函數(shù)且滿足/(2-x)=〃x),當(dāng)xe[0,2]時(shí)，

/(x)=-x2+2x-l,則函數(shù)g(?=f(%)Tog1(國(guó)T)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

3

【答案】4

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)且滿足/(2-X)=/(%),

所以/(2—x)=/(x)=/(-x),所以f(x+2)=/(x),

所以函數(shù)的周期為2.

由g(x)=/(x)-logj(國(guó)-1)=°可得f(x)=logj(禺-1),所以函數(shù)g(尤)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(X)的圖像與

33

g)=log](|x|T)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

3

對(duì)于〃(無(wú))=logI(|x|T)的定義域?yàn)?9,_1)。(1,+8),

3

因?yàn)閔(-x)=logj(|-x|-l)=logi(|x|-l)=h(x),

33

所以h(x)=log,(|x|-1)為偶函數(shù),

所以畫(huà)出/a)和川龍)在y軸右側(cè)的圖像如圖所示，有2個(gè)交點(diǎn),

又/（X）和/i（x）都是偶函數(shù)，所以y軸左邊也有2個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，的圖像與“（X）=l°gdN—l）的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,

3

即g（x）=/（x）-logi（|x|-l）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.

3

故答案為：4.

知識(shí)點(diǎn)2：二分法

1、二分法的概念

對(duì)于區(qū)間［a,b］上連續(xù)不斷且了⑷"㈤＜0的函數(shù)/（%）,通過(guò)不斷地把函數(shù)/（x）的零點(diǎn)

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求

方程=0的近似解就是求函數(shù)f（x）零點(diǎn)的近似值.

2、用二分法求函數(shù)“X）零點(diǎn)近似值的步驟

（1）確定區(qū)間6］,驗(yàn)證/（°）"（6）＜0,給定精度￡.

（2）求區(qū)間（。,6）的中點(diǎn)玉.

（3）計(jì)算〃為）.若/（為）=0,則占就是函數(shù)的零點(diǎn)；若〃°）"（占）＜0,貝U令人"（此時(shí)零點(diǎn)

毛）.若/⑻"（占）＜0,則令°=占（此時(shí)零點(diǎn),?占,6））

（4）判斷是否達(dá)到精確度￡,即若,-耳＜￡,則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為。（或6）；否則重復(fù)第（2）~

（4）步.

用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.

【診斷自測(cè)】用二分法研究函數(shù)〃幻=爐+8x3-1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算得/⑼＜0,/（0.5）＞0,則

其中一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（）

A.（0,0.5）,/（0.125）B.（0,0.5）,/（0.375）

C.（0.5,1）,/（0.75）D.（0,0.5）,/（0.25）

【答案】D

【解析】因?yàn)?（0）/（。5）＜0,

由零點(diǎn)存在性知：零點(diǎn)Me（0,0.5）,

根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計(jì)算了1吟3,即/（025）,

故選：D.

解題方法總結(jié)

函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧：

①若連續(xù)不斷的函數(shù)/（X）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則“X）至多有一個(gè)零點(diǎn).

②連續(xù)不斷的函數(shù)/（X）,其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).

③連續(xù)不斷的函數(shù)/（元）通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).

④連續(xù)不斷的函數(shù)/（X）在閉區(qū)間團(tuán)，田上有零點(diǎn)，不一定能推出ym）/s）<o.

題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

/、\x（x+3],x<0,/、

【典例1-1】已知函數(shù)〃x）=、八則函數(shù)“X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】當(dāng)xvO時(shí)，由x（x+3）=。，得x=—3或0（舍去）；

當(dāng)工之0時(shí)，由—3）=。解得％=0或x=3.

故共有3個(gè)零點(diǎn).

故選：C.

【典例1-2】函數(shù)〃x）=ln（2尤）-工的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】因?yàn)?（x）的定義域?yàn)椋?,+“），且y=ln（2x）,y=-工在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞增,

X

可知“X）在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，

5./（l）=ln2-l<0,/（2）=ln4-1>0,

所以函數(shù)/(X)的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).

故選：B.

【方法技巧】

求函數(shù)/(X)零點(diǎn)的方法：

(1)代數(shù)法，即求方程/'(6=0的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；(2)幾何法，即利用函數(shù)

y=f(x)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).

【變式1-1]定義在+e)上的單調(diào)函數(shù)“X)滿足：Vxe(0,+?),/[/(x)-log2x]=3,貝ij方程

無(wú))—-=2的解所在區(qū)間是()

A.(0,；]B.gJC.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【解析】由題設(shè)r=/(x)-log2X>0為定值，且/⑺=3,

所以〃尤)=r+log2X,貝(j/(t)=f+k)g2r=3,易知f=2,(^/(x)=2+log2x,

111

由/(x)--=2+log2X—-=2,則logzx=—,顯然在第一象限有一個(gè)交點(diǎn),

X~無(wú)X

又y=log2x,y=’在(0,+8)上分別單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，

X

X￡

1Og2<1

i2T,log2l<-,log22>-,故方程解在(1,2)上.

212

故選：C

【變式1-2】已知函數(shù)〃x)=2*+x-2,g(x)=log2x+x-2,=2的零點(diǎn)分別為a,b,

貝Ua+Z?+c=.

【答案】3

【解析】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，作函數(shù)y=2:y=log2x,/的圖象，它們的圖象與函數(shù)

因?yàn)閥=2',y=logzX互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，y=-x+2與y=x垂直，所以

a+b=2.

又硒=1+1-2=0,所以c=l.

以a+b+c=3.

故答案為：3

【變式1-3](2024?高三?山西太原?期中)已知%是函數(shù)/(xA/e'+lnx的零點(diǎn)，則

x

e°-lnx0=___.

【答案】-1

【解析】由題可知，。)二*e%+lnx0=0,

所以XOQX°=-In毛=>=-I"'。=—In—>0,

X。X()%0

(1)

令/⑺=xe，,(x>0)廁單調(diào)遞增，且〃尤°”，In-

IxoJ

I1區(qū)1I

所以/=ln一,所以e與=一/口/=_/，

/%o

所以e"In/=—(-％)=-1.

%

故答案為：-1

【變式1?4](2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=cos3x-3cos2%-3cosx+l,XG[0,2TI],

則函數(shù)的零點(diǎn)是—.

【答案】■和兀和費(fèi)

【解析】由于cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx—sin2xsinx

=(2cos2%-1)cosX-2(1-cos2x)cos%

=4cos3x-3cos,

^/(x)=4COS3X-3COSX-3(2COS2X-1)-3COSX+1

=4cos3x-6cos2x-6cosx+4

=4(cos3x+l)-6cosx(cosx+1)

cosx-g](cosx

=4(cosx+l)一2）,

令/（尤）=。，則cosx=-l或cosx=；或cosx=2（舍去）,

又因?yàn)榱四?,2兀］,所以》=?；騲J或戶用，

故函數(shù)的零點(diǎn)是2和兀和g,

故答案為：§和兀和不

【變式1-5］設(shè)X。是函數(shù)“力=抽2%一2-*的一個(gè)零點(diǎn)，若0<%<尤2<尤3且/（不）〃%）/（毛）<0,則

下列結(jié)論一定錯(cuò)誤的是（）

A.Xo6（0,^2）B.x0￡（^,^2）

C.x0e（O,jq）D.xQe（%3,+oo）

【答案】C

【解析】由=定義域?yàn)椋?,+s）,

貝IJ尸（無(wú)）=」--flTln--—+f-Tln2>0,所以函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,y）上單調(diào)遞增，

xln2^2）2xln2^2）

又因?yàn)橛?。?（無(wú)）的零點(diǎn)，所以/（x0）=0,所以當(dāng)尤<x°,/（x）</（^）=0.

對(duì)A：當(dāng).€（0,%2）,可知/<3<工3，所以/（%）=。</（尤2）<〃W），

只有占<與時(shí)/（為）</（毛）=0,從而滿足題意，故A不一定錯(cuò)誤；

1

對(duì)B：當(dāng)血€（冷了2），貝］〃%）</（%）=0,/（xo）=O</（x2）</（x3）,從而滿足題意，故B一定正

確；

對(duì)C：當(dāng).?0,石）,則〃為）=0</&）</仁）<〃毛），不滿足題意，故C一定錯(cuò)誤;

對(duì)D：當(dāng)為e（w，4w）,貝!］/&）</（%2）</（￡）</（%）=。，滿足題意，故D一定正確；

綜上所述：故C正確.

故選：C.

題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍

【典例2-1】（2024?高三?浙江紹興?期末）已知命題P：函數(shù)/（尤）=2/+彳-”在（1,2］內(nèi)有零點(diǎn),

則命題。成立的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.3<61<18B.3<6i<18C.a<18D.a>3

【答案】D

【解析】函數(shù)=在R上單調(diào)遞增，由函數(shù)/。）=2/+X-0在（1,2］內(nèi)有零點(diǎn)，

r/（l）=3-a<0_

得［二1O、c，解得3<a418,即命題。成立的充要條件是3<a418,

［/⑵=18-。20

顯然3<aV18成立，不等式3Va<18、3<a<18>a<18都不一定成立，

而3<。418成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)aN3時(shí)，3<aW18不一定成立,

所以命題"成立的一個(gè)必要不充分條件是。之3.

故選：D

【典例2-2](2024?四川巴中?一模)若函數(shù)/(x)=262+3x-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)。的取值集合為()

9

A.{?|-1<</<2)B.{a\a=——或一Iva〈2}.

8

9

C.{a\-l<a<2}D.{a\a=——或一

8

【答案】D

【解析】由函數(shù)〃x)=2ar2+3x-l,

若a=0,可得/(同=3>1,令/(無(wú))=0,即3x-l=0,解得x=；,符合題意；

若。力0,令/(x)=O,即2金2+3萬(wàn)一1=0,可得A=9+8a,

992

當(dāng)A=0時(shí)，即9+8〃=0,解得〃=—耳，止匕時(shí)/(%)=—]%2+3%一1,解得x=§,符合題意；

當(dāng)A>0時(shí),即且”0,則滿足〃-L)-"l)=(2a—4)(2a+2)W0,

o

解得-且〃wO,

若a=-l,可得〃x)=—2f+3x—l,令/(尤)=0,即2/一3》+1=0，

解得x=l或無(wú)=；,其中x=ge(-l,l),符合題意；

若a=2,可得〃x)=4f+3x—l,令〃x)=0,即4f+3x-1=0,

解得x=-l或尤=1，其中尤=ge(-l,l),符合題意；

44

9

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a=弓或-1<a42}.

O

故選：D.

【方法技巧】

本類(lèi)問(wèn)題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)的等量關(guān)系，列關(guān)于參

數(shù)的不等式，解不等式，從而解決.

【變式2-1](2024?山西陽(yáng)泉?三模)函數(shù)"xAlogzX+d+m在區(qū)間(1,2)存在零點(diǎn).則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍是()

A.(—00,—5)B.(―5,—1)C.(1,5)D.(5,+8)

【答案】B

【解析】由m=10g2尤在(。，+8)上單調(diào)遞增，％=/+冽在(。,+8)上單調(diào)遞增，得函數(shù)

/(尤)=lOg2X+無(wú)?+機(jī)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)/(力=1082%+彳2+m在區(qū)間(1,2)存在零點(diǎn)，

所以凰I'即怛+D解得―

2

［/(2)>0^log22+2+77i>0

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-5,-1).

故選：B.

【變式2-2】設(shè)函數(shù)/(x)=e，+a(x-l)+b在區(qū)間工刃上存在零點(diǎn)，則/+〃的最小值為()

2

A.—eB.eC.e—D./

22

【答案】D

【解析】設(shè)零點(diǎn)為3則4力-1)+人+e'=。，

產(chǎn)

因止匕<?+〃2:——~~-!?e［l,3］,

(t-1)-+1L」

考慮函數(shù)g(x)=(x2—2x+2)e-2)其導(dǎo)函數(shù)g'(x)=(-2尤2+6x—6)e-2，<0,

因此函數(shù)g(x)在［1,3］上單調(diào)遞減，從而1+匕2的最小值為-7K=e2.

g⑴

故選：D.

【變式2-3］若方程x|x-a|+左=0在區(qū)間［0,2］上有解，其中一4+4后Wq<4,則實(shí)數(shù)上的取值范圍

為—.(結(jié)果用。表示)

~2~

【答案】-一,。

【解析】因?yàn)榉匠?L4+左=0,即乂彳一"=一女在區(qū)間［0,2］上有解，

設(shè)函數(shù)〃x)=#-a|=,則函數(shù)/(x)的圖象與直線y=—左在區(qū)間［0,2］上有交點(diǎn).

［-X+ax,x<a

因?yàn)門(mén)+4^2<QV4，所以°<一2+2^2<—<2,

所以函數(shù)/(X)在0,-|上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)2<”4時(shí)，在區(qū)間［0,2］上，“X).=/［］=：，/⑴1111n=40)=0，

a

當(dāng)-4+40＜々＜2時(shí)，因?yàn)椤?)=/伍)=。，f“2)=4一2a.

22

乂—4+4A/2<a<2y所以—24—2〃，

4

44

2.

綜上，實(shí)數(shù)%的取值范圍為-^0.

一2

故答案為：一》

題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題

【典例3-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(無(wú))=(x2-ox+a)ln(x+l)aeR的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象

限，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】

【解析】〃幻=(爐一or+^lna+l)的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，/(0)=0,

且當(dāng)x￡(-l,0)/n(x+l)<0,x￡(0,+oo),ln(x+l)>0,

令g(%)=x2-ax+a,

g(x)=0在(T,o)和(0,+oo)上均至少存在一個(gè)實(shí)根.

又g⑴=1>0,

[g(-l)>0f2a+l>01c

<=><=——<a<0.

[g(0)<0[a<02

，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-1，0).

故答案為：(——,0).

【典例3-2】設(shè)函數(shù)〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意xeR,都有〃l+x)=〃lr),且當(dāng)

%40,1]時(shí)，/(x)=2v-l,若函數(shù)g(x)=〃x)-log.x(其中0>1)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)°的取

值范圍為

【答案】5<a<9

【解析】?."(l+x)=〃l一X),則函數(shù)“X)關(guān)于直線X=1對(duì)稱(chēng)，

又?..函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，則〃1+X)=〃1T)=—/(X—1),

即/(x+2)=—/(x),貝I]/(X+4)=—/(X+2)=—[一/(x)]=/(X),

故函數(shù)/⑴是以4為周期的周期函數(shù)，

又?.?〃X+2)=-〃T-2)=-〃T+2),即〃X+2)+/(-X+2)=0,

故函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，

令g(X)=/(X)Tog.x=。，則/(x)=log.X，

原題等價(jià)于y="X)與y=10gliX有3個(gè)交點(diǎn)，且y=logflx(a>1)的定義域?yàn)?0,+e),

log.5<1

如圖所示，貝阿得log”9>1,解得5<a<9,

a>\

3=1.....燈翼J二二三

…不正亭箕…不再

oA591^\//

■y=-l

故答案為：5<?<9

【方法技巧】

方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)

的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果

不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類(lèi)似做出判斷.

【變式3-1】(2024?河南?二模)已知函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，對(duì)任意xeR,均有〃x)=〃x+2),當(dāng)

xe[0,l]時(shí),/(x)=l-x,則函數(shù)g(x)=/(x)Tog5(x+l)的零點(diǎn)有____個(gè).

【答案】4

【解析】函數(shù)“X)是偶函數(shù)，說(shuō)明函數(shù)“X)的圖象關(guān)于〉軸對(duì)稱(chēng)，/(x)=/(x+2)說(shuō)明/(尤)的周期

是2,

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=/(x)的圖象與y=bg5(x+i)的圖象，如圖所示：

如圖所示，共有4個(gè)不同的交點(diǎn)，即g(x)=/(x)-log5(龍+1)有4個(gè)零點(diǎn).

故答案為：4.

【變式3-2]已知函數(shù)=優(yōu)-6x+m)(e-3+e?-*-小的四個(gè)零點(diǎn)是以0為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則

m+n=___.

【答案】e+，或8+e'+!

ee

[解析】因?yàn)?(%)=卜2_6%+時(shí)⑹"+e3r-〃)=[(九一3『+加一9]^e%-3+e3T-,

所以"6-x)=[(3-4+機(jī)-可廣+1―止/⑴，所以〃力關(guān)于直線％=3對(duì)稱(chēng)，

令/(%)=°得/一6光+根=0或ex~3+e3f一〃二0，

由題意這兩個(gè)方程各有兩個(gè)根，且四個(gè)根是以0為首項(xiàng)的等差數(shù)列，

①若0為12_6%+機(jī)=0的根，則另一個(gè)根為6,貝iJ/n=0x6=0,

又/(X)關(guān)于直線尤=3對(duì)稱(chēng)，且四個(gè)根是以0為首項(xiàng)的等差數(shù)列，所以等差數(shù)列的公差為=2,

所以/-3+63-*-〃=0的兩根為2,4,所以e2-3+e3-2-"=o,所以〃=e+1,

e

所以機(jī)+幾=e+^；

e

②若0為eA3+e3T-〃=0的根，則另一個(gè)根為6,則e-3+e3—〃=0即〃=e3+!，

e一

又/(X)關(guān)于直線x=3對(duì)稱(chēng)，且四個(gè)根是以0為首項(xiàng)的等差數(shù)列，所以等差數(shù)列的公差為平=2,

所以彳2-6苫+機(jī)=0的兩根為2,4,所以7"=2X4=8,所以根+"=8+e3+[.

e

綜上，m+n=e+工或8+e，+[.

ee

故答案為：e+工或8+e'+［

ee

【變式3-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)=f一^3+2恁2日有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是—.

【答案】

【解析】令/(x)=f—依e'，2ae2i=0,得［土］一竺+即=0；

［e)exe

設(shè)ug(x)=、則方程/：一?+?=0,即〃_〃+==0,

1_1

易知夕（同=三r，所以g（x）在（-8,1）上單調(diào)遞增，在（I,+8）上單調(diào)遞減，可得g（尤）__=：,

易知當(dāng)尤＞0時(shí)，g（x）＞0,當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜0,且當(dāng)X趨近于+co時(shí)，g（x）趨近于0,當(dāng)X趨近于

-00時(shí)，8（%）趨近于一0°,

作出g（x）的大致圖象如圖所示.

數(shù)形結(jié)合可得’《且方程，2"+/°在工：〕上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

解法一:

由A=Q2-4x網(wǎng)＞0,得號(hào)或。＜0.

ee

當(dāng)〃〉號(hào)時(shí)，此時(shí)方程--成+網(wǎng)=0在1-％一］上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，

e2ee卜e_

當(dāng)。＜0時(shí)，設(shè)方程產(chǎn)-加+幺=0在（-鞏］上的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為討2,貝卜也=生＜0,

e\eJe

所以需「［一烏+的＞0,得-工＜4＜0,故實(shí)數(shù)0的取值范圍是IL。］.

（ejeee\eJ

解法二：

設(shè)方程產(chǎn)-成+%=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根分別為＜28氣），

貝°0＜4（一，q=一或（＜°，0＜t2＜—.

①當(dāng)。<%<!，q=,時(shí)，由二一處+2=0,得〃"一,，

eeeeee

則』一點(diǎn)十四=o在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即『+J/；。在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

eIeee卜e

t9171t二」矛盾.

由/H------7=0,得/=一或/=—，與0<%<一2

eeeeee

②當(dāng)4<0,0<f2<1時(shí)，若方程+生=0在卜8,1上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

eeVe_

2a

一<0

解得,<。<。.

a2a八e

——+——>0

ee

故答案為:

【變式3-4]（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程％=/'（4>0且awl）有兩個(gè)不等實(shí)根,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.l,e;B.0,e;C.（l,7e）D.e;,7e

k7V7\7

【答案】A

【解析】關(guān)于x的方程無(wú)=/（a>0且。x1）有兩個(gè)不等實(shí)根，

即關(guān)于無(wú)的方程a，=log“x（a>0且a*1）有兩個(gè)不等實(shí)根，

即函數(shù)V=/與尸loga%（a>0且。*1）函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知，

當(dāng)0<“<1時(shí)，函數(shù)與y=bg,x(a>0旦awl)函數(shù)的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn),

:.a>l,聯(lián)立卜:，得R,:.ay+y=a'+x.

[y=log?x[ay=x

令〃x)="+x,則〃x)=/(y),且/(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，，x=y,

口"X..luxA/\IHA：,/\1-lnx

K|Ja=x,xlna=Inx,Rn|Jilna=——,令g(x)=,g(1)=，

當(dāng)0<x<e時(shí)，g'(x)>0,當(dāng)x>e時(shí)，g'(x)<0,

.?.g(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

則g(x)皿,=g(e)=:,又當(dāng)x>l時(shí)，g(尤)=->0,且g(l)=O,

InV

若要ln“=上>lnl=O,則需要無(wú)>1,

x

畫(huà)出g(x)大致圖象如圖所示，

由圖知，0<Ina<—,解得]<°<

故選：A.

題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

13%-2|,x<2

【典例4-1】設(shè)函數(shù)/(x)=7，若方程/2(尤)-叭尤)-。+3=。有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)

----,x>2

、%—1

數(shù)”的取值范圍為()

A.GTB.?C.[I]D.(3,4)

【答案】B

【解析】畫(huà)出/(%)的圖象如下圖所示，由圖可知要使=f有3個(gè)解，則需fe(O,2),

依題意，方程產(chǎn)⑺-叭尤)-a+3=0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

令s=/(x),則--磁-“+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根MM，

且0<S]<S2<2,令g（s）=s2-sa-a+3,

A=〃-4（-〃+3）>0

g（0）=-〃+3>07

則42）=4—2。一〃+3>0，解得

0<-T<2

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（2彳

【典例4-2]（2024?高三?河南?期末）已知函數(shù)〃x）=也±L若方程

X

"（無(wú)）『-（3MI+2）/（X）+2〃Z+1=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.一；,+8

(\

C,[—00,----2---

【答案】C

【解析】由函數(shù)/（x）=巴士，可得/'（無(wú)）=一半，

XX

當(dāng)xe（0,l）時(shí)，/'（無(wú)）＞0；當(dāng)xe（l,+oo）時(shí)，「（尤）＜0,

所以“X）在（。，1）上單調(diào)遞增，在（L+◎上單調(diào)遞減，所以函數(shù)〃“3=/（1）=1，

當(dāng)x-+8時(shí)，y（x）fO,且y（x）＞o,

畫(huà)出函數(shù)y=/（x）的圖象，如圖所示，

令t=/（x）,要使得"（x）f_（3加+2）/（x）+2m+1=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

則產(chǎn)-（3根+2?+2根+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根%和馬，

且0e(0,1),Z2e(-oo,0)或L=1,

若％e(0,D且夕=1時(shí),此時(shí)無(wú)解；

若40(。，。且芍e(-00,0)時(shí)，令--(3m+2y+2m+l,

〃⑼=2m+l<0

只需要，/i(l)=-m>0解得相V-g.

A=[—(3%+2)1一4產(chǎn)(2m+l)>0

故選：C.

y=f(x)

【方法技巧】

1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問(wèn)題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來(lái)確定取值范圍.

2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過(guò)參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功一定要扎實(shí)、過(guò)關(guān).

【變式4-1](2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)已知函數(shù)/(x)=Wr，若關(guān)于X的方程

e

"(%)/+時(shí)(%)—1+根=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.fl—[1—,—00)C.(―8,2)u(2,+GO)D.(1，/)

【答案】A

【解析】因?yàn)榭?/p>

I—x

所以/''(尤)=常，令廣(x)=0,得x=l,

當(dāng)尤<1時(shí)，-(x)>0,〃x)遞增；當(dāng)x>l時(shí)，((為<0,〃x)遞減;

所以當(dāng)x=l時(shí)，〃x)取得極大值e一，圖象如圖所示:

y=f(x)

方程"(尤)f+時(shí)(尤)T+，w=。，即為(*x)+l)("x)T+〃z)=。，

解得/(勸=-1或/(x)=l-m,

由函數(shù)的圖象知：/(x)=-l只有一個(gè)解，

所以/(x)=l-相有兩個(gè)解，

所以0<l—m<e~2>解得1-曉<<1,

故選：A

【變式4-2】已知函數(shù)/(無(wú))=(；一,0,若方程"(尤)]2-2叭x)+4=0有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則

2x-2,x<0,

實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

A.(一沁B.g,2_C.

【答案】A

【解析】函數(shù)/■(%)的大致圖象如圖所示，

令t=f(x),則"(x)f-⑺+4=0可化