浙江省浙南名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（10月）數(shù)學(xué)試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期浙南名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題審題溫州二高潘曉雷溫州中學(xué)林慶望考生須知：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號．3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．選擇題部分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法及乘法化簡,得出復(fù)數(shù)即可求出對應(yīng)點,進(jìn)而得出所在象限即可.【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,點位于第四象限.故選：D．2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解方程組，得出點的坐標(biāo)即可得出交集.【詳解】，解得，或，所以，故選：B．3.“其身正，不令而行；其身不正，雖令不從”出自《論語·子路》．意思是：當(dāng)政者本身言行端正，不用發(fā)號施令，大家自然起身效法，政令將會暢行無阻；如果當(dāng)政者本身言行不正，雖下命令，大家也不會服從遵守．根據(jù)上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】結(jié)合題意判斷“身正”和“令行”之間的邏輯關(guān)系，即得答案.【詳解】由題意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分條件；又其身不正，雖令不從，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要條件，綜合知“身正”是“令行”的充要條件，故選：C．4.已知為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以，若上單調(diào)遞減，故只需，即，故選：A．5.將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（）A.20種 B.40種 C.80種 D.160種【答案】C【解析】【分析】先分步計算兩側(cè)的排法，再結(jié)合分步計數(shù)原理計算即可.【詳解】一側(cè)的種植方法有種排法，另一側(cè)的種植方法有種排法再由分步計數(shù)原理得不同的種植方法共有種排法，故選:C.6.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若在上只有一個極大值點，則ω的最大值為（）A2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)伸縮變換規(guī)則可得，再由余弦函數(shù)圖象性質(zhì)以及極值點個數(shù)解不等式可得結(jié)果.【詳解】由題可知，當(dāng)時，，若在上只有一個極大值點，則由的圖像可得，解得，因為，所以的最大值為3.故選：B.7.已知雙曲線的左焦點為，為坐標(biāo)原點，若在的右支上存在關(guān)于軸對稱的兩點，使得為正三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用幾何關(guān)系得到，又，得到，再結(jié)合雙曲線的定義得到，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，右焦點為，直線交于點，連接，因為為正三角形，，所以為的中點，所以，故，易知，所以，由雙曲線定義知，即，得.故選：D．8.已知為函數(shù)的零點，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由題意確定為方程的根，構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性即可求解.【詳解】由得，即，即，因為，所以，所以為方程的根，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，即，故選：B．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．）9.已知非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若則C.若，則 D.向量與向量垂直【答案】ABD【解析】【分析】選項A，根據(jù)條件，利用數(shù)乘向量的定義得到，即可判斷選項A的正誤；選項B，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算及模的定義，即可判斷選項B的正誤；選項C，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，得到，即可求解；選項D，根據(jù)條件，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，得到，即可求解.【詳解】對于選項A，因為為非零向量，若，則，故，所以選項A正確，對于選項B，若，故，所以選項В正確，對于選項C，若，則，得到，不能確定，所以選項C錯誤，對于選項D，，故，所以選項D正確，故選：ABD．10.如圖，在正三棱柱中，M，N，D，Q分別為棱的中點，，則以下結(jié)論正確的是（）A.平面 B.C.點Q到平面的距離為 D.三棱錐的外接球表面積為【答案】AC【解析】【分析】應(yīng)用線面平行判定定理判斷A,應(yīng)用勾股定理計算判斷B,應(yīng)用等體積求出點Q到平面的距離判斷C,利用補(bǔ)形及直三棱柱的外接球公式計算外接球半徑即可判斷D.【詳解】由題，，所以平面,不在平面內(nèi)，故平面，A正確；由題可得，，設(shè)，易得，，因為，即，解得，故，B錯誤；因為，所以，所以平面,平面,得出平面，，所以，又，設(shè)點Q到平面的距離為d，則，得，C正確；將三棱錐補(bǔ)成以為底面的直三棱柱，則該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，其球心O位于上下底面外心的中點，，故的外接圓半徑，設(shè)外接球半徑為R，則，所以三棱錐的外接球表面積，D錯誤．故選：AC．11.已知拋物線的焦點為F，A，B，P為拋物線C上的點，，若拋物線C在點A，B處的切線的斜率分別為，且兩切線交于點M．N為拋物線C的準(zhǔn)線與y軸的交點．則以下結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.直線PN的傾斜角C.若，則直線AB的方程為 D.的最小值為2【答案】BCD【解析】【分析】先根據(jù)向量夾角設(shè)直線再結(jié)合拋物線定義得出焦半徑公式即可判斷A,設(shè)點，分兩種情況討論判斷B,求導(dǎo)函數(shù)得出直線的斜率即可得出直線方程判斷C,先寫出切線再聯(lián)立得出，結(jié)合焦半徑公式計算最小值判斷D.【詳解】由題，則向量的夾角為，故F，A，B三點共線，設(shè)，與C的方程聯(lián)立得，設(shè)，則，，故，由拋物線的定義得，故，，所以A錯誤；設(shè)，，當(dāng)時，直線PN傾斜角大于等于，當(dāng)時，，所以直線PN的傾斜角，B正確；記直線AB的斜率為k，令，則，則，又，所以，所以，又直線AB過點，故直線AB的方程為正確；，又，所以，同理，聯(lián)立解得，即，又，所以，當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為2，D正確；故選:BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵點是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率進(jìn)而得出切線方程，再分別得出直線方程及焦半徑的最小值.非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知______________．【答案】##【解析】分析】利用輔助角公式得到，再整體法用誘導(dǎo)公式求出答案.【詳解】，即，．故答案為：13.已知某中學(xué)的3個年級各有學(xué)生300，300，400人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從3個年級的學(xué)生中抽取10人，對他們的體重進(jìn)行了統(tǒng)計．若3個年級被抽到的學(xué)生體重的平均值分別為48，52，55kg，方差分別為4，10，1．將這10名學(xué)生體重W（kg）作為樣本，則樣本的方差為______．【答案】13【解析】【分析】先根據(jù)分層抽樣平均數(shù)公式求出平均數(shù)為52，再代入方差公式計算得出方差.【詳解】3個年級抽取的學(xué)生數(shù)分別為3，3，4人，則，故．故答案為：13.14.“四進(jìn)制”是一種以為基數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)，使用數(shù)字，，，來表示數(shù)值．四進(jìn)制在數(shù)學(xué)和計算的世界中呈現(xiàn)出多個維度的特性，對于現(xiàn)代計算機(jī)科學(xué)和技術(shù)發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響．四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的方法是通過將每一位上的數(shù)字乘以的相應(yīng)次方（從開始），然后將所有乘積相加．例如：四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)為；四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)為；四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)為；現(xiàn)將所有由，，組成的位（如：，）四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，在這些十進(jìn)制數(shù)中任取一個，則這個數(shù)能被整除的概率為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)四進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換規(guī)則，利用二項式定理將的高次方展開并求得除以之后的余數(shù)，令余數(shù)能被整除即可得出所有數(shù)字組合種類數(shù)，可求得概率.【詳解】設(shè)，則位四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制為，若這個數(shù)能被3整除，則能被整除．當(dāng)這個四進(jìn)制數(shù)由，，，組成時，有個；當(dāng)這個四進(jìn)制數(shù)由，，，組成時，有個；這個四進(jìn)制數(shù)由，，，組成時，有個；這個四進(jìn)制數(shù)由，，，組成時，有個；這個四進(jìn)制數(shù)都由組成時，有個．因為由，，組成的位四進(jìn)制數(shù)共有個，所以能被整除的概率．故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于將進(jìn)制轉(zhuǎn)化為10進(jìn)制之后，利用二項式定理來求解能否被整除的問題，得出所有可能的組合即可求得相應(yīng)概率.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）15.如圖，三棱臺中，是正三角形，平面ABC，，M，N分別為棱的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先應(yīng)用線面垂直判定定理得出平面再應(yīng)用線面垂直性質(zhì)得出線線垂直，即可證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量法求線面角正弦值即可.【小問1詳解】因為是正三角形，M為AB中點，所以，因為平面平面ABC，所以，又平面所以平面又因為平面，所以，連接，易得，所以，所以，又因為，所以，因為，平面，所以平面.【小問2詳解】取AC中點O，連接，易知三條直線兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（1）知平面的一個法向量為，又，所以，因為直線與平面所成的角為直線與所成角的余角，所以直線與平面所成的角的正弦值為．16.已知，函數(shù)在點處的切線過點.（1）求實數(shù)b的值；（2）證明：在上單調(diào)遞增；（3）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再寫出切線方程代入點得出參數(shù)值；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出即可證明單調(diào)性；（3）根據(jù)函數(shù)解析式分和兩種情況化簡轉(zhuǎn)化為恒成立，再求的單調(diào)性得出最值即可求出參數(shù)范圍.【小問1詳解】的定義域為，故，又，所以在點處的切線方程為，將點代入得，解得．【小問2詳解】由（1）知，則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增．【小問3詳解】對恒成立，即對恒成立，當(dāng)時，上式顯然恒成立；當(dāng)時，上式轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增；所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為．17.如圖，四邊形中，．（1）求；（2）為邊上一點，且的面積為，求的外接圓半徑．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，在和中，利用余弦定理，分別求得的表達(dá)式，兩式作差求得，即可求解；（2）由（1）求得，利用余弦定理求得，結(jié)合題意，求得，進(jìn)而求得，再在和中，求得，進(jìn)而得到，得到，利用正弦定理，即可求解.【小問1詳解】解：因為，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，兩式作差得：，解得，因為，所以．【小問2詳解】解：因為由（1）知，可得，且，則所以，在中，可得，所以，在中，可得，在中，可得，可得,所以，則，所以，解得，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，解得，所以的外接圓半徑為．18.已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且直線與的斜率之積為．（1）求C的方程；（2）直線與C交于M，N兩點，與y軸交于點A，與x軸交于點B．（?。┤鬉，B恰為弦MN的兩個三等分點，求直線l的方程；（ⅱ）若點B與點重合，線段MN的垂直平分線與x軸交于點Q，求的值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)點在橢圓上及斜率積列方程組計算即可得出橢圓方程；（2）（i）設(shè)結(jié)合，向量關(guān)系列方程求出點的坐標(biāo)，即可求出直線方程；（ⅱ）設(shè)方程聯(lián)立方程組，韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式計算求解.【小問1詳解】將點代入C的方程得：①，設(shè)C的焦距為，則，故，解得②，又③，由①②③解得或，所以C的方程為．【小問2詳解】（?。┯深}，，設(shè)，O為坐標(biāo)原點，因為A，B恰為弦MN的兩個三等分點，所以,則，即，解得，所以，又，即，解得，所以將點M，N的坐標(biāo)代入C的方程得，解得，因為，所以，所以直線l的方程為．（ⅱ）由題直線l過點，所以，與橢圓方程聯(lián)立，得，，設(shè)，則，所以，又，所以MN中點為，所以MN的垂直平分線方程為，令得，故，所以，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：（2）（i）解題的關(guān)鍵點是應(yīng)用向量關(guān)系列方程求出點的坐標(biāo)即可求出直線方程；19.密碼學(xué)是研究編制密碼和破譯密碼的技術(shù)科學(xué)．研究密碼變化的客觀規(guī)律，應(yīng)用于編制密碼以保守通信秘密的，稱為編碼學(xué)；應(yīng)用于破譯密碼以獲取通信情報的，稱為破譯學(xué)，總稱密碼學(xué)．20世紀(jì)70年代，一些學(xué)者提出了公開密鑰體制，即運(yùn)用單向函數(shù)的數(shù)學(xué)原理，以實現(xiàn)加、脫密密鑰的分離．加密密鑰是公開的，脫密密鑰是保密的．這種新的密碼體制，引起了密碼學(xué)界的廣泛注意和探討．某數(shù)學(xué)課外小組研究了一種編制密碼的方法：取任意的正整數(shù)n，將小于等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)從小到大排列，即為密碼．記符合上述條件的正整數(shù)的個數(shù)為．（1）求數(shù)列的前5項和；（2）求的表達(dá)式和的值；（3）記，數(shù)列的前n項和，證明．【答案】（1）（2），（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列定義求出前5項即可求和；（2）先根據(jù)定