2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊階段拔尖專訓(xùn)第7招三角形中的等面積法習(xí)題課件新版浙教版

浙教版八年級(jí)上第7招三角形中的等面積法01典例剖析02分類訓(xùn)練目

錄CONTENTS教你一招

在求三角形的高線長或點(diǎn)到直線的距離時(shí)，常常會(huì)運(yùn)用

三角形的面積不變性，同一個(gè)三角形面積可以用不同方法求

解，得到等量關(guān)系進(jìn)行解決.

如圖，

E

是邊長為1的正方形

ABCD

的對(duì)角線上一

點(diǎn)，且

BE

＝

BC

，

P

為

CE

上任意一點(diǎn)，

PQ

⊥

BC

于點(diǎn)

Q

，

PR

⊥

BE

于點(diǎn)

R

，求

PQ

＋

PR

的值.

利用等面積法求兩條垂線段的長度之和，同

一個(gè)三角形面積一定，等底時(shí)高也相等.解：連結(jié)

BP

，過點(diǎn)

C

作

CM

⊥

BD

于點(diǎn)

M

.

易知

S△

BEC

＝

S△

BEP

＋

S△

BCP

，

∵

BC

＝

BE

，∴

PQ

＋

PR

＝

CM

.

利用等面積法求解三角形的高線1.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝4，

AC

＝

3，

AD

⊥

BC

，求

AD

的長.1234【解】在Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝4，

AC

＝3，∴

BC2＝

AB2＋

AC2＝25.∵

BC

＞0，∴

BC

＝5.又∵

AD

⊥

BC

，∴3×4÷2＝5×

AD

÷2，∴

AD

＝2.4.12342.

如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長均為1，△

ABC

的頂

點(diǎn)在格點(diǎn)上.請求出

AC

邊上的高線的長度

h

.1234

12343.

如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊

AC

＝6

cm，

BC

＝8

cm，現(xiàn)將直角邊

AC

沿直線

AD

折疊，使它落在斜

邊

AB

上，且與

AE

重合，求

CD

的長.【解】在Rt△

ABC

中，

AC

＝6

cm，

BC

＝8

cm，∴

BA

＝10

cm.∵

AC

沿

AD

折疊得到

AE

，∴

DE

＝

CD

.

用等面積法得6×8÷2＝10×

DE

÷2＋6×

CD

÷2，∴

CD

＝3

cm.1234

利用等面積法證等腰三角形中線段的關(guān)系4.

[新視角過程探究題]【問題情境】張老師提出這樣一個(gè)問題：如圖①，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，點(diǎn)

P

為邊

BC

上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)

P

作

PD

⊥

AB

，

PE

⊥

AC

，垂足分別為

D

，

E

，過點(diǎn)

C

作

CF

⊥

AB

，垂足為

F

.

求證：

PD

＋

PE

＝

CF

.

1234小軍的證明思路是：如圖②，連結(jié)

AP

.

由△

ABP

與△

ACP

的面積之和等于△

ABC

的面積可以證得：

PD

＋

PE

＝

CF

.

請運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：1234【變式探究】如圖③，當(dāng)點(diǎn)

P

在

BC

延長線上時(shí)，其余條件不變，求證：

PD

－

PE

＝

CF

；1234【證明】連結(jié)

AP

，如圖①.∵

PD

⊥

AB

，

PE

⊥

AC

，

CF

⊥

AB

，且

S△

ABC

＝

S△

ABP

－

S△

ACP

，

∵

AB

＝

AC

，∴

PD

－

PE

＝

CF

.

1234【結(jié)論運(yùn)用】如圖④，將長方形

ABCD

沿

EF

折疊，使點(diǎn)

D

落在點(diǎn)

B

上，

點(diǎn)

C

落在點(diǎn)C'處，點(diǎn)

P

為折痕

EF

上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)

P

作

PG

⊥

BE

，

PH

⊥

BC

，垂足分別為

G

，

H

，若

AD

＝8，

CF

＝

3，求

PG

＋

PH

的值.1234【解】如圖②，過點(diǎn)

E

作

EQ

⊥

BC

，垂足為

Q

.

∵四邊形

ABCD

是長方形，∴

AD

＝

BC

，∠

C

＝90°，

AD

∥

BC

.

∵

AD

＝8，

CF

＝3，∴

BF

＝

BC

－

CF

＝

AD

－

CF

＝5.由折疊可得

DF

＝

BF

，∠

BEF

＝∠

DEF

.

∴

DF

＝5.1234

∵

AD

∥

BC

，

EQ

⊥

BC

，∴∠

DEF

＝∠

EFB

，

EQ

＝

DC

＝4.∴∠

BEF