山東省青島市青島第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末檢測試題含解析

山東省青島市青島第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是A. B.C. D.2．已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積可能等于A. B.C. D.23．已知直線，與平行，則的值是（）A0或1 B.1或C.0或 D.4．函數(shù)在區(qū)間的圖象大致是（）A. B.C. D.5．已知直二面角,點，,為垂足,，,為垂足．若，則到平面的距離等于A. B.C. D.16．如圖，在正四棱柱中，，點為棱的中點，過，，三點的平面截正四棱柱所得的截面面積為（）A.2 B.C. D.7．如果全集,,,則A. B.C. D.8．下圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形為正方形，，，，為全等的等邊三角形，分別為的中點.在此幾何體中，下列結(jié)論中錯誤的為A.直線與直線共面 B.直線與直線是異面直線C.平面平面 D.面與面的交線與平行9．若斜率為2的直線經(jīng)過，，三點，則a，b的值是A.， B.，C.， D.，10．函數(shù)，值域是()A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知集合（1）當(dāng)時，求的非空真子集的個數(shù)；（2）當(dāng)時，若，求實數(shù)的取值范圍12．若，則___________13．函數(shù)的部分圖像如圖所示，軸，則_________，_________14．梅州城區(qū)某公園有一座摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑30米，最高點距離地面70米，勻速運行一周大約18分鐘.某人在最低點的位置坐上摩天輪，則第12分鐘時，他距地面大約為___________米.15．設(shè)x，．若，且，則的最大值為___16．若冪函數(shù)的圖象過點，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.18．已知函數(shù)，，.（1）若，求函數(shù)的解析式；（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明.19．直線l經(jīng)過兩直線l1:2x-y+4=0與l2:x-y+5=0的交點,且與直線x-2y-6=0垂直.(1)求直線l的方程.(2)若點P(a,1)到直線l的距離為,求實數(shù)a的值.20．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在使得成立，求實數(shù)m的取值范圍.21．如圖所示,是圓柱的母線,是圓柱底面圓的直徑,是底面圓周上異于的任意一點,.(1)求證:；(2)求三棱錐體積的最大值,并寫出此時三棱錐外接球的表面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】詳解】，，，故選B點睛：利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面注意特殊值的應(yīng)用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大小2、C【解析】如果主視圖是從垂直于正方體的面看過去，則其面積為1；如果斜對著正方體的某表面看，其面積就變大，最大時，（是正對著正方體某豎著的棱看），面積為以上表面的對角線為長，以棱長為寬的長方形，其面積為，可得主視圖面積最小是1，最大是，故選C.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.3、C【解析】由題意得：或，故選C.考點：直線平行的充要條件4、C【解析】判斷函數(shù)非奇非偶函數(shù)，排除選項A、B，在計算時的函數(shù)值可排除選項D，進而可得正確選項.【詳解】因為，且，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，排除選項A、B，因為，排除選項D，故選：C【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.5、C【解析】如圖，在平面內(nèi)過點作于點因為為直二面角，，所以，從而可得．又因為，所以面，故的長度就是點到平面的距離在中，因為，所以因為，所以．則在中，因為，所以．因為，所以，故選C6、D【解析】根據(jù)題意畫出截面，得到截面為菱形，從而可求出截面的面積.【詳解】取的中點，的中點，連接，因為該幾何體為正四棱柱，∴故四邊形為平行四邊形，所以，又，∴，同理，且，所以過，，三點平面截正四棱柱所得的截面為菱形，所以該菱形的面積為.故選：D7、A【解析】根據(jù)題意,先確定的范圍,再求出即可.【詳解】,,故選:A.【點睛】本題考查集合的運算,屬于簡單題.8、C【解析】畫出幾何體的圖形，如圖，由題意可知，A，直線BE與直線CF共面，正確，因為E，F(xiàn)是PA與PD的中點，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直線BE與直線CF是共面直線；B，直線BE與直線AF異面；滿足異面直線的定義，正確C，因為△PAB是等腰三角形，BE與PA的關(guān)系不能確定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正確D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD與面PBC的交線與BC平行，正確故答案選C9、C【解析】根據(jù)兩點間斜率公式列方程解得結(jié)果.【詳解】斜率為直線經(jīng)過，，三點，∴，解得，．選C.【點睛】本題考查兩點間斜率公式，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】令，求出g(t)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求f(x)值域.【詳解】令，則，則，故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）30（2）或【解析】（1）當(dāng)時，可得中元素的個數(shù)，進而可得的非空真子集的個數(shù)；（2）根據(jù)，可分和兩種情況討論，可得出實數(shù)的取值范圍【小問1詳解】當(dāng)時，，共有5個元素，所以的非空真子集的個數(shù)為【小問2詳解】（1）當(dāng)時，，解得；（2）當(dāng)時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或解得：或綜上可得，實數(shù)的取值范圍是或12、【解析】只需對分子分母同時除以，將原式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的表達式，最后利用方程思想求出．再利用二倍角的正切公式，即可求得結(jié)論【詳解】解：，即，故答案為：【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，考查二倍角的正切公式，正確運用公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題13、①.2②.##【解析】根據(jù)最低點的坐標(biāo)和函數(shù)的零點，可以求出周期，進而可以求出的值，再把最低點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，最后求出的值.【詳解】通過函數(shù)的圖象可知，點B、C的中點為，與它隔一個零點是，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，而，把代入函數(shù)解析式中，得.故答案為：；14、55【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，第分鐘時所在位置的高度為，設(shè)出其三角函數(shù)的表達式，由題意，得出其周期，求出解析式，然后將代入，可得答案.【詳解】如圖設(shè)為地面，圓為摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑30米，最高點距離地面70米.則摩天輪的最低點離地面10米，即以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.某人在最低點的位置坐上摩天輪，則第分鐘時所在位置的高度為則由題意，,則，所以當(dāng)時，故答案為：5515、##1.5【解析】由化簡得，再由基本不等式可求得，從而確定最大值【詳解】，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時即取等號，，解得，故，故的最大值為，故答案為：16、27【解析】代入已知點坐標(biāo)求出冪函數(shù)解析式即可求,【詳解】設(shè)代入，即，所以，所以.故答案為：27.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為，最小值為..【解析】（1）根據(jù)最小正周期的計算公式求解出的最小正周期；（2）先求解出的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解出在區(qū)間上的最值.【詳解】（1）因為，所以；（2）因為，所以，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.18、（1）（2）見解析.【解析】(1)由求a的值即可；(2)根據(jù)a的大小分類討論即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】任取，且，則，，，①時，，在單調(diào)遞增；②時，(i)時，單調(diào)遞減；(ii)時，單調(diào)遞增；即時，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③時，，在單調(diào)遞減.綜上所述，時，在單調(diào)遞增；時，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時，在單調(diào)遞減.19、（1）；（2）或【解析】（1）解方程組可得直線的交點為(1,6)，然后根據(jù)垂直可得直線l的斜率，由點斜式可得l的方程；（2）有點到直線的距離公式可得，解得a=1或a=6，即為所求試題解析：(1)由得所以直線l1與l2的交點為(1,6),又直線l垂直于直線x-2y-6=0所以直線l的斜率為k=-2，故直線l的方程為y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0(2)因為點P(a,1)到直線l的距離等于,所以=,解得a=1或a=6.所以實數(shù)a的值為1或6.20、（1）偶函數(shù)，證明見解析（2）【解析】（1）為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)定義證明即可；（2）轉(zhuǎn)化為，利用均值不等式可求解的最大值，利用一次函數(shù)性質(zhì)求解的最大值，分析即得解.【小問1詳解】為偶函數(shù)證明：，故，解得的定義域為，關(guān)于原點對稱，為偶函數(shù)【小問2詳解】若對任意的，總存在，使得成立則又，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號所以所求實數(shù)m的取值范圍為21、(1)見解析；(2).【解析】（1）由圓柱易知平面，所以，由圓的性質(zhì)易得，進而可證平面；（2）由已知得三棱錐的高,當(dāng)直角的面積最大時,三棱錐的體積最大,當(dāng)點在弧中點時最大,此時外接球的直徑即可得解.試題解析：(1)證明:∵已知是圓柱的母線,.∴平面∵是圓柱底面圓的直徑,是底面圓周上異于的任意一點,∴,又,∴平面又平面(2)解:由已知得三棱錐的高,當(dāng)直角的面積最大時,三棱錐的體積最大,當(dāng)點在弧中點時最大,,結(jié)合(1)可得三棱錐的外接球的直徑即為,所以此時外接球的直徑..點睛：一般外接球需要求球心