2025屆吉林省吉林地區(qū)普通高中友好學(xué)校聯(lián)合體高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2025屆吉林省吉林地區(qū)普通高中友好學(xué)校聯(lián)合體高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.2．已知直線，若異面，，則的位置關(guān)系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面3．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則A.-6 B.-4C.-2 D.24．定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差．設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為4，，則數(shù)列的前24項(xiàng)和為（）A. B.3C. D.65．為調(diào)查學(xué)生的課外閱讀情況，學(xué)校從高二年級(jí)四個(gè)班的182人中隨機(jī)抽取30人了解情況，若用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)數(shù)分別為（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，26．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則共面D.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，若，則A，B，C，D四點(diǎn)共面7．已知直線，兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則8．已知某班有學(xué)生48人，為了解該班學(xué)生視力情況，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本已知3號(hào)，15號(hào)，39號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中另外一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是（）A.26 B.27C.28 D.299．甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)從教室出發(fā)去體育館打球（路程相等），甲一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果兩人步行速度、跑步速度均相等，則（）A.甲先到體育館 B.乙先到體育館C.兩人同時(shí)到體育館 D.不確定誰(shuí)先到體育館10．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，是平面的一個(gè)法向量，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.11．設(shè)命題甲：，命題乙：直線與直線平行，則（）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件12．已知函數(shù)，.若存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線上不同于、的動(dòng)點(diǎn)，直線、與軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，則________14．如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A、B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后又回到原點(diǎn)P.若光線QR經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，則___________.15．已知函數(shù)，則的值為______16．直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求到平面的距離18．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列(1)求的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）已知，兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速（單位：）應(yīng)滿足.假設(shè)油價(jià)是7元/，以的速度行駛時(shí)，汽車的耗油率為，當(dāng)車速為時(shí)，汽車每小時(shí)耗油，司機(jī)每小時(shí)的工資是91元.（1）求的值；（2）如果不考慮其他費(fèi)用，當(dāng)車速是多少時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低？21．（12分）設(shè)：，：.（1）若命題“，是真命題”，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.22．（10分）給出以下三個(gè)條件：①；②，，成等比數(shù)列；③．請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并完成作答．若選擇多個(gè)條件分別作答，以第一個(gè)作答計(jì)分已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，______（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項(xiàng)公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.2、D【解析】以正方體為載體說明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線，，；和是異面直線，，與是異面直線.所以兩直線與是異面直線，，則的位置關(guān)系是相交或異面.故選：D3、A【解析】由已知得解得故選A考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式4、C【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭欠焦顬?的等方差數(shù)列，所以，，∴，∴，∴，故選：C5、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人，除以,商余，故抽樣的間隔為，需要隨機(jī)剔除人.故選：A.6、D【解析】對(duì)于A，利用空間向量基本定理判斷，對(duì)于B，利用向量的定義判斷，對(duì)于C，舉例判斷，對(duì)于D，共面向量定理判斷【詳解】對(duì)于A，若三個(gè)向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)橄蛄渴亲杂上蛄?，是可以自由平移，所以?dāng)所在的直線是異面直線時(shí)，有可能共面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)三個(gè)向量?jī)蓛晒裁鏁r(shí)，如空間直角坐標(biāo)系中的3個(gè)基向量?jī)蓛晒裁?，但這3個(gè)向量不共面，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，，且，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以D正確，故選：D7、A【解析】根據(jù)線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，A選項(xiàng)正確，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，和可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A8、B【解析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個(gè)容量為4的樣本時(shí),將48人按順序平均分為4組,由已知編號(hào)可得所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號(hào)為,則,進(jìn)而求解即可【詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個(gè)容量為4的樣本時(shí),將48人分為4組,第一組編號(hào)為1號(hào)至12號(hào)；第二組編號(hào)為13號(hào)至24號(hào)；第三組編號(hào)為25號(hào)至36號(hào)；第四組編號(hào)為37號(hào)至48號(hào),故所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號(hào)為,則,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號(hào),屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】設(shè)出總路程與步行速度、跑步速度，表示出兩人所花時(shí)間后比較不等式大小【詳解】設(shè)總路程為，步行速度，跑步速度對(duì)于甲：，得對(duì)于乙：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故，乙花時(shí)間多，甲先到體育館故選：A10、B【解析】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為，由可得，進(jìn)而可得滿足的方程，將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)即可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為(不與點(diǎn)重合)，則，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，所以，即，對(duì)于A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：，故選項(xiàng)D不正確，故選：B.11、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線方程為，此時(shí)，直線與直線平行，即甲乙；直線和直線平行，則，解得或，即乙甲；則甲是乙的充分不必要條件.故選：.12、B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榇嬖谌齻€(gè)零點(diǎn)，所以方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由得，解得，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】求得坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，設(shè)，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：14、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得△的內(nèi)心坐標(biāo)，根據(jù)△內(nèi)心以及關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)三點(diǎn)共線，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，如下所示：則，不妨設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，且，整理得，解得，即點(diǎn)，又；設(shè)△的內(nèi)切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內(nèi)心坐標(biāo)為，由及△的內(nèi)心三點(diǎn)共線，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.15、【解析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，然后將代入可得答案.【詳解】，所以故答案為：16、6【解析】利用弦心距、半徑與弦長(zhǎng)的幾何關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線距離公式即可求弦長(zhǎng).【詳解】由題設(shè)，圓心為，則圓心到直線距離為，又圓的半徑為，故.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法可求得到平面的距離.【小問1詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的坐標(biāo)系則、、、、、、，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，取，可得，所以，，直線與平面所成角的正弦為小問2詳解】解：設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，即，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離為即到平面的距離為18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別表示出與，由等比中項(xiàng)定義即可求得首項(xiàng)，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式（2）根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，求出的前n項(xiàng)和，進(jìn)而可知，再用裂項(xiàng)法可求得【詳解】（1）由題意，得，，所以由，得，解得，所以，即（2）由（1）知，則，，【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，等比中項(xiàng)的定義，裂項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題19、（1）當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；（2）問題轉(zhuǎn)化為，，，令，求出的最大值，從而求出的范圍即得解【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，，，在定義域上單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，，不等式在，上恒成立，，，，令，，，，在，上單調(diào)遞增，（1），，的范圍為，20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題中給出的車速和油耗之間的關(guān)系式，結(jié)合已知條件，待定系數(shù)即可；（2）根據(jù)題意求得以行駛所用時(shí)間，構(gòu)造費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)槠囈缘乃俣刃旭倳r(shí)，汽車的耗油率為，又當(dāng)時(shí)，，解得.【小問2詳解】若汽車的行駛速度為，則從地到地所需用時(shí)，則這次行車的總費(fèi)用，則，令，解得，則當(dāng)，，單調(diào)遞減，即.故時(shí)，該次行車總費(fèi)用最低.21、（1）（2）【解析】（1）解不等式得到解集，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍；（2）先解不等式，再根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集，進(jìn)而求出的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，由可得：，因?yàn)椤埃睘檎婷}，所以，即，解得：.即的取值范圍是.【小問2詳解】因?yàn)?，由可得：，，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，所以