甘肅省武威第五中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

甘肅省武威第五中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20492．已知橢圓與橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.焦距相等 D.離心率相等3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則的值為（）A.8 B.C.16 D.±164．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.35．設(shè)集合，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知，若是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)，則的值為()A.0 B.C.1 D.7．命題：，否定是（）A.， B.，C.， D.，8．已知點(diǎn)A、是拋物線：上的兩點(diǎn)，且線段過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若的中點(diǎn)到軸的距離為3，則（）A.3 B.4C.6 D.89．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.內(nèi)含C.相切 D.相交10．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)等于（）A1 B.2C. D.11．下列求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.12．若在直線上，則直線的一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長(zhǎng)方體中，若，，則異面直線與所成角的大小為_(kāi)_____.14．命題“任意，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.15．已知向量，，若與垂直，則___________.16．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列公差不為0，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿(mǎn)足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值19．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿(mǎn)足(且)，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E為AB中點(diǎn)，D為上一點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，求平面ADC與平面所成角的正弦值21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，（1）若（i）求；（ii）求證數(shù)列成等差數(shù)列（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，且，試求滿(mǎn)足條件的所有正整數(shù)的值22．（10分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓于A，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求直線l的方程；（2）求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即所以，解得或，因?yàn)?，所?所以，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以故選：B2、C【解析】利用，可得且，即可得出結(jié)論【詳解】∵，且，橢圓與橢圓的關(guān)系是有相等的焦距故選：C3、A【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)的公比為，則，，兩式相除可得，所以，所以，故選：A.4、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：C5、A【解析】解不等式求集合，然后判斷兩個(gè)集合的關(guān)系【詳解】，解得，故，可化為或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要條件故選：A6、A【解析】首先根據(jù)題意求出，然后設(shè)函數(shù)，利用以及的單調(diào)性，并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設(shè)，()，故，從而，易知在上單調(diào)遞增，故，即，從而.故選：A.7、D【解析】根據(jù)給定條件利用全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫(xiě)出作答.【詳解】命題：，是全稱(chēng)量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題：，的否定是：，.故選：D8、D【解析】直接根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求結(jié)果【詳解】設(shè)，，則的中點(diǎn)到軸的距離為，則故選：D9、D【解析】先由圓的方程得出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求出兩圓心間的距離與兩半徑之和與差比較可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為圓的圓心為，半徑為兩圓心間的距離為由，所以?xún)蓤A相交.故選：D10、C【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實(shí)數(shù)等于.故選：C11、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】、、運(yùn)算正確.，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B12、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個(gè)向量，即可得到它的一個(gè)方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個(gè)方向向量，又∵，∴是直線的一個(gè)方向向量故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】畫(huà)出長(zhǎng)方體,再將異面直線與利用平行線轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形內(nèi)求解角度即可.【詳解】畫(huà)出長(zhǎng)方體可得異面直線與所成角為與之間的夾角,連接.則因?yàn)?則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線與所成角的大小為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中異面直線的角度問(wèn)題,一般的處理方法是將異面直線經(jīng)過(guò)平行線的轉(zhuǎn)換構(gòu)成三角形求角度,屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】分離常數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值問(wèn)題.【詳解】任意，恒成立恒成立，故只需，記，，易知，所以.故答案為：15、【解析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可求出的值，結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法，即可得出結(jié)果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.16、【解析】求解定義域，由導(dǎo)函數(shù)小于0得到遞減區(qū)間，進(jìn)而得到不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】顯然，且，由，以及考慮定義域x>0，解得:.在區(qū)間，上單調(diào)遞減，∴，解得:.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)分式的合分比性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求出【小問(wèn)1詳解】由題意：，即，又∵，∴，∴，∴，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?18、，因此.,當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元【解析】解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為.再由，得，因此.而建造費(fèi)用為最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元19、（1），；（2）.【解析】(1)根據(jù)，列方程組即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求該數(shù)列前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，∵，∴，∵公差，∴.由得，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，∴；【小問(wèn)2詳解】∵，∴，.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即證；（2）利用坐標(biāo)法即求.【小問(wèn)1詳解】∵，E為AB中點(diǎn)，∴，∵平面ABC，平面ABC，∴，又，，∴平面，平面，∴；【小問(wèn)2詳解】以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則平面的法向量為，設(shè)平面ADC法向量為，則，∴，即，令，則∴平面ADC與平面所成角的余弦值為，所以平面ADC與平面所成角的正弦值.21、（1）；詳見(jiàn)解析；（2）5.【解析】（1）由題可得，由條件可依次求各項(xiàng)，即得；猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即得；（2）設(shè)，由題可得，進(jìn)而可得，結(jié)合條件即求.【小問(wèn)1詳解】（i）∵，且，，，∴，，，∴，，，又，，，∴，∴，解得，，解得，，解得，，解得，∴；（ii）由，，，，猜想數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，等式也成立，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由，，即，∴，又，，，∴，，，，，，∴，，，∴，又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，∴，解得，由，∴，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問(wèn)的關(guān)鍵是由條件猜想，然后數(shù)學(xué)歸納法證明，第二問(wèn)求出，，即