綿陽中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

綿陽中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.命題:存在實(shí)數(shù),對任意實(shí)數(shù),使得恒成立;:,為奇函數(shù),則下列命題是真命題的是()A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.正的邊長為2,將它沿邊上的高翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時(shí)四面體的外接球表面積為()A. B. C. D.4.已知集合,,則()A. B. C. D.5.已知曲線且過定點(diǎn),若且,則的最小值為().A. B.9 C.5 D.6.已知函數(shù),其中,,其圖象關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.7.已知函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.8.已知集合,,,則()A. B. C. D.9.在四面體中,為正三角形,邊長為6,,,,則四面體的體積為()A. B. C.24 D.10.如圖,在中,,是上一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.11.已知為等差數(shù)列,若,,則()A.1 B.2 C.3 D.612.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù),則使得不等式成立的的取值范圍為_________.14.在平行四邊形中,已知,,,若,,則____________.15.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_______.16.在平面直角坐標(biāo)系中,圓.已知過原點(diǎn)且相互垂直的兩條直線和,其中與圓相交于,兩點(diǎn),與圓相切于點(diǎn).若,則直線的斜率為_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.19.(12分)如圖,過點(diǎn)且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D,直線AC、BD分別交直線于點(diǎn)E、F,求證:是定值.20.(12分)已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若,且,證明:.21.(12分)已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,(1)求的值與拋物線的方程;(2)拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè),拋物線上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足,求直線的斜率范圍.22.(10分)已知橢圓:(),四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為.是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),求的正切的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

分別判斷命題和的真假性,然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】對于命題,由于,所以命題為真命題.對于命題,由于,由解得,且,所以是奇函數(shù),故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查函數(shù)的奇偶性,考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】所對應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2)位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念,屬于簡單題.3、D【解析】

如圖所示,設(shè)的中點(diǎn)為,的外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,利用正弦定理可得,利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形,最后利用勾股定理可求外接球的半徑,從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示,設(shè)的中點(diǎn)為,外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,則平面,.因?yàn)?,故,因?yàn)?,?由正弦定理可得,故,又因?yàn)?,?因?yàn)?,故平面,所以,因?yàn)槠矫?,平面,故,故,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以,故外接球的半徑為,外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計(jì)算,還考查正弦定理和余弦定理,折疊問題注意翻折前后的變量與不變量,外接球問題注意先確定外接球的球心的位置,然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計(jì)算,本題有一定的難度.4、B【解析】

求出集合,利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,則集合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點(diǎn),確定,再根據(jù)條件,利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即時(shí)取得最小值.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及基本不等式求最值,意在考查轉(zhuǎn)化與變形,基本計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題型.6、B【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)兩個(gè)對稱軸的距離也即是半周期,由此求得的值,結(jié)合其對稱軸,求得的值,進(jìn)而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得的解析式,再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法,求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:已知函數(shù),其中,,其圖像關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對稱,可得,.∴,∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像.令,求得,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式,考查三角函數(shù)圖像變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,屬于中檔題.7、C【解析】

根據(jù)題意,知當(dāng)時(shí),,由對稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,當(dāng)時(shí),,∴由對稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.8、D【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

推導(dǎo)出,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,推導(dǎo)出,從而,進(jìn)而四面體的體積為,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:在四面體中,為等邊三角形,邊長為6,,,,,,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,且,,,,平面,平面,,四面體的體積為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法,考查空間中線線,線面,面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.10、C【解析】

由題意,可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵,本題屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出.【詳解】∵{an}為等差數(shù)列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.12、C【解析】

函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

分,兩種情況代入討論即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí),,符合;當(dāng)時(shí),,不滿足.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算,考查了分類討論的思想.14、【解析】

設(shè),則,得到,,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,設(shè),則,又由,,所以為的中點(diǎn),為的三等分點(diǎn),則,,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則,以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.15、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè):,:,利用點(diǎn)到直線的距離,列出式子,求出的值即可.【詳解】解:由圓,可知圓心,半徑為.設(shè)直線:,則:,圓心到直線的距離為,,.圓心到直線的距離為半徑,即,并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用,可列式得到,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用,并結(jié)合圓的方程,垂徑定理的基本知識(shí),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)【解析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比,即得到結(jié)論;(2)利用分組求和法,由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列前n項(xiàng)和.試題解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得d===1.∴an=a1+(n﹣1)d=1n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q,則q1===8,∴q=2,∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1,∴bn=1n+2n﹣1(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=1n+2n﹣1,∵數(shù)列{1n}的前n項(xiàng)和為n(n+1),數(shù)列{2n﹣1}的前n項(xiàng)和為1×=2n﹣1,∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為;考點(diǎn):1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用;2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用;1.數(shù)列求和.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(1)由拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時(shí),最??;(2)設(shè)點(diǎn),,分別代入拋物線方程和得到三個(gè)方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解:(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,,根據(jù)拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時(shí),最小,最小值為,即為4.(2)由題意,設(shè)點(diǎn),,其中,.則,①,②因?yàn)?,,,所?③由①②③,得,由,且,得,解不等式,得點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題,考查運(yùn)算能力,此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等,易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)解.19、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)由題意求得的坐標(biāo),代入橢圓方程求得,由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,可得關(guān)于的一元二次方程,設(shè)出的坐標(biāo),分別求出直線與直線的方程,從而求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo),利用根與系數(shù)關(guān)系可化簡證得為定值.【詳解】(1)由已知可得:,代入橢圓方程得:橢圓方程為;(2)設(shè)直線CD的方程為,代入,得:設(shè),,則有,則AC的方程為,令,得BD的方程為,令,得,證畢.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,是難題.20、(1)極大值為;極小值為;(2)見解析【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo),進(jìn)而可求出單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的極值;(2)構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得,從而在上恒成立,再結(jié)合,,可得到,即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.(2)證明:由(1)知,設(shè)函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,又,則,即在上恒成立.因?yàn)?所以,又,則,因?yàn)?且在上單調(diào)遞減,所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.21、(1)1;(2)【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,利用拋物線的定義得,再根據(jù)點(diǎn)在拋物線上有,列方程組求解,(2)設(shè),根據(jù),再由,求得,當(dāng),即時(shí),直線斜率不存在;當(dāng)時(shí),,令,利用導(dǎo)數(shù)求解,【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,得,又,解得,所以拋物線方程為(2)設(shè),由由,則當(dāng),即時(shí),直線斜率不存在;當(dāng)時(shí),令,所以

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