循環(huán)如何利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行程序開發(fā)海量資源

SimpRead我們在上一講提到程序有順序、選擇、循環(huán)的一種結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)可以用短短幾行代碼，執(zhí)行成千上萬次的運(yùn)算。從計(jì)算機(jī)編程的視角來看，循環(huán)結(jié)構(gòu)又有三種實(shí)現(xiàn)方法，分別是forSimpRead我們在上一講提到程序有順序、選擇、循環(huán)的一種結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)可以用短短幾行代碼，執(zhí)行成千上萬次的運(yùn)算。從計(jì)算機(jī)編程的視角來看，循環(huán)結(jié)構(gòu)又有三種實(shí)現(xiàn)方法，分別是for循環(huán)、while循環(huán)和dowhile循環(huán)；而從數(shù)學(xué)視角來看，循環(huán)結(jié)構(gòu)很像是納法。牌還會撞倒第三個(gè)骨牌。以此類推，即使骨牌數(shù)量再多，也會逐一被放倒。第一，對于任意第i個(gè)骨牌而言，它的倒下能帶動(dòng)第i+1個(gè)骨牌倒下；“循環(huán)”的思想也存在我們的古文化中，《愚公移山》的“又有子，子又有孫；子子孫孫無窮匱也?！焙喍灾褪牵矣袃鹤?，我兒子也有兒子，我兒子的兒子也會有兒子。以此類推，子子孫孫無窮盡。第一，任意一代男子（或者說是兒子），第二，愚公有個(gè)兒子。一下。最簡單常見的數(shù)學(xué)歸納法是，用來證明當(dāng)n等于任意一個(gè)自然數(shù)時(shí)某個(gè)命題成立，其證明步驟可以分下第一，當(dāng)n=1第二，假設(shè)對于任意一個(gè)數(shù)字i命題成立，可以推導(dǎo)出在對于i+1后代，至少有一個(gè)兒子?！纠?】證明對于任意一個(gè)正整數(shù)n，它的2n是偶數(shù)。第一步，當(dāng)n=1時(shí)，2n=2×1=2是偶數(shù)。第二步，假設(shè)對于某個(gè)正整數(shù)i而言，2i是偶數(shù)，則2(i+1)=2i+2。其中2i為偶數(shù)，2為偶數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)之和也是偶數(shù)，因此2(i+1)也是偶數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可以知道，對于任意一個(gè)正整數(shù)n，2n【例2】求證1+3+5+...+(2k-1)=k2第一步，當(dāng)k=1時(shí)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可以知道，對于任意一個(gè)正整數(shù)n，2n【例2】求證1+3+5+...+(2k-1)=k2第一步，當(dāng)k=1時(shí)，1=12第二步，假設(shè)對于任意一個(gè)正整數(shù)i而言，1+3+5+...+(2i-1)=i2，則1+3+5+...+(2i-1)+[2(i+1)-1]=i2+[2(i+1)-1]=i2+2i+2-1=i2+2i+1=(i+1)2原命題依然成立。因此1+3+5+...+(2k-1)=k2綜上這兩個(gè)例子，你會發(fā)現(xiàn)它們都是要證明“下一張多米諾骨牌”能夠倒下，也就是在證明“i推進(jìn)到i+1的過程”。具體而言，這兩個(gè)例子的第二步都分別在求證2(i+1)是偶數(shù)，以及(i+1)2成立，這種數(shù)學(xué)歸到一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序中。我們在大學(xué)C語言的課程中曾經(jīng)學(xué)過，循環(huán)結(jié)構(gòu)的實(shí)現(xiàn)方法有三種，分別是for循環(huán)、while循環(huán)和do-while循環(huán)。為了簡潔，下面我們定義s1是初始表達(dá)式，s2是條件表達(dá)式，s3叫作末尾循環(huán)體，s4是中間循環(huán)體，并將其代入這三個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)中，對比學(xué)習(xí)它們之間的聯(lián)系與不同。for如剛剛所定義的，s1是初始表達(dá)式，s2是條件表達(dá)式，s3叫作末尾循環(huán)體，s4for循環(huán)的執(zhí)行順序是s1、(s2,s4,s3)、(s2,s4,s3)、...、(s2,s4,s3)、s2例如，求解1到50所有整數(shù)之和，可以用forintresult=for(inti=1;i<=50;result+=體，最后第4行運(yùn)算對應(yīng)的是s4中間循環(huán)體。先執(zhí)行i=1，再判斷i≤50與否，如果為真，則執(zhí)行第4行的運(yùn)算，最后執(zhí)行i++；接著循環(huán)，再判斷i≤50與否，如果為真，則執(zhí)行第4行的運(yùn)算，最后執(zhí)行i++；經(jīng)過多次循環(huán)后，再判斷i≤50與否，直到結(jié)果為假，跳出循環(huán)結(jié)束。for循環(huán)還有很多變種，具體而言就是s1、s2和s4都可以被省略或部分省略。圍繞上面的例子，s1的2fors1的部分，這樣新的代碼可以寫作：intresult=inti=for(;i<=50;result+=intresult=inti=for(;i<=50;result+=根據(jù)代碼執(zhí)行的順序，可以發(fā)現(xiàn)s3的執(zhí)行永遠(yuǎn)是在s4之后。因此，可以把s3和s4s4intresult=inti=for(;i<=50;result+=同樣，s2的執(zhí)行永遠(yuǎn)在s4之前，也就意味著s2可以被放在循環(huán)體中的s4之前，而把for語句中s2的位置空閑出來。但最后一次的s2執(zhí)行，還肩負(fù)著結(jié)束循環(huán)的任務(wù)，因此需要結(jié)合if條件判斷語句和break語句，完成最后跳出循環(huán)的實(shí)現(xiàn)，這樣新的代碼可以寫作：intresult=inti=for(;;if(i>result+=2.whileif(i>result+=2.while循環(huán)的另外一個(gè)實(shí)現(xiàn)方式是while循環(huán)，while循環(huán)的代碼結(jié)構(gòu)如下：如剛剛所定義的，s2是條件表達(dá)式，s4是中間循環(huán)體。真，則執(zhí)行s4；繼續(xù)循環(huán)判斷s2是否成立，如果為真，則執(zhí)行s4；如此循環(huán)多次后，直到s2不再成我們繼續(xù)使用while循環(huán)來實(shí)現(xiàn)1～50inti=intresult=while(i<result+=同樣地，如for循環(huán)一樣，while循環(huán)也有一些變種。具體而言，s2也是可以被省略而用其他方法實(shí)現(xiàn)。從循環(huán)執(zhí)行的順序可以發(fā)現(xiàn)，s2的執(zhí)行總是在s4之前；而最后一次s2循環(huán)的任務(wù)。這就需要if條件語句和breakinti=intresult=whileif(i>resultintresult=whileif(i>result+=3.dowhile最后一種循環(huán)實(shí)現(xiàn)的方法是dowhile循環(huán)，dowhile循環(huán)的基本結(jié)構(gòu)如下：如剛剛所定義的，s2是條件表達(dá)式，s4是中間循環(huán)體。dowhile循環(huán)與while循環(huán)相比，區(qū)別就是執(zhí)行順序的調(diào)整。dowhile循環(huán)中，無論s2是真是假，都會至少執(zhí)行一次s4。這樣它的執(zhí)行順序就是(s4,s2)、(s4,s2)...(s4,s2)。具體而言就是：先執(zhí)行s4，再來判斷s2是真是假，如果為真，則執(zhí)行s4；再來判斷s2是真是假，如果為真，則執(zhí)行s4；再來判斷s2是真是假……如此循環(huán)多次之后，直到s2為假，跳出循環(huán)結(jié)束。我們?nèi)砸?～50所有整數(shù)求和為例，看一下dowhileinti=intresult=doresult+=}while(i<=dowhile循環(huán)也有一些變種，其s2語句也可以被調(diào)整到其循環(huán)體中，可以考慮用if條件語句和inti=intresult=inti=intresult=doresult+=if(i>從代碼執(zhí)行的順序來看，while循環(huán)與for循環(huán)都是先判斷條件，再執(zhí)行循環(huán)體。在極端情況下，第一次判斷條件就不成功，循環(huán)體就有可能一次也不被執(zhí)行；而dowhile循環(huán)則相反，它先執(zhí)行循環(huán)體，從編碼的視角來看，while循環(huán)和dowhile循環(huán)，在條件判斷的括號中只需要寫循環(huán)條件；而for循環(huán)while循環(huán)至少會執(zhí)行一次循環(huán)體，它如何能被其他循環(huán)結(jié)構(gòu)替代呢？這就要借助break語句提前跳出在不考慮代碼結(jié)構(gòu)的美觀時(shí)，這三種循環(huán)語句可以在功能上實(shí)現(xiàn)彼此之間的切換，我們以for向dowhile如下是任意一個(gè)for循環(huán)其執(zhí)行順序?yàn)閟1、(s2,s4,s3)、(s2,s4,s3)...(s2,s4,s3)、s2它可以用下面的while循環(huán)根據(jù)其執(zhí)行順序?yàn)閟1、(s2,s4,s3)、(s2,s4,s3)...(s2,s4,s3)、s2它可以用下面的while循環(huán)根據(jù)while語句的執(zhí)行順序可知，這段代碼的執(zhí)行順序?yàn)閟1、(s2,s4,s3)、(s2,s4,s3)...(s2,s4,s3)、因此可以得知，兩段代碼的功能結(jié)果完全一致。而如果非要采用dowhile循環(huán)do在這里，我們補(bǔ)充一下break語句的知識。break語句的作用是，終止并跳出循環(huán)，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)語句以上面的代碼為例，一旦第3行的條件判斷通過，則需要執(zhí)行beak語句。b以上面的代碼為例，一旦第3行的條件判斷通過，則需要執(zhí)行beak語句。beak當(dāng)前循環(huán)，這樣程序就會從第4行跳轉(zhuǎn)至第10行繼續(xù)執(zhí)行?；赽eak語句，再根據(jù)dowhile語句的執(zhí)行順序可知，這段代碼的執(zhí)行順序?yàn)閟1、(s2,s4,s3)、(s2,s4,s3)...(s2,s4,s3)、s2，因此可以得知兩段代碼的功能結(jié)果完全一致。這里要給大家提個(gè)醒：如果是在技術(shù)面試時(shí)，千萬不要說某某功能的開發(fā)，只能用for循環(huán)、while循環(huán)或dowhile循環(huán)，這一定是錯(cuò)的。因?yàn)?，功能上這三種循環(huán)的實(shí)現(xiàn)是完全可以實(shí)現(xiàn)互換的；只不數(shù)學(xué)歸納法和循環(huán)結(jié)構(gòu)有很多相似之處，它們都是動(dòng)作集合。數(shù)學(xué)歸納法不關(guān)注歸納過程的結(jié)束而循環(huán)結(jié)構(gòu)作為一種程序開發(fā)邏輯，則必須要關(guān)注循環(huán)過程的結(jié)束或死機(jī)。歸納法的問題增加一個(gè)截止條件的限制，那就是k小于100時(shí)。這道例題是：證明在k<100時(shí)，1+3+5+...+(2k-1)=k2證明k=1假設(shè)k=i時(shí)等式成立后，k=i+1令s1為k=，s4為等式成立，s3為k=i或k=i+1，再補(bǔ)充題目的終止條件k<100為s2。這樣，根據(jù)for循環(huán)執(zhí)行的邏輯，把這些動(dòng)作按照s1、(s2,s4,s3)、(s2,s4,s3)...(s2,s4,s3)、s2基本的for循環(huán)代碼框架。在這個(gè)框架中，最開始的s1、s2、s4，即為當(dāng)k=1在這個(gè)框架中，任意相鄰的兩組(s2,s4,s3)、(s2,s4,s3)，就是假設(shè)k=i時(shí)等式成立后，k=i+1等式也就是說，此時(shí)的數(shù)學(xué)歸納法證明和for循環(huán)實(shí)現(xiàn)，在功能上是等價(jià)的，我們給出for循環(huán)的代碼如intleft=intleft_temp=intright=for(intk=1;k<100;left_temp=2*k-leftrightk*if(leftprintf("%disleftrightk*if(leftprintf("%dis代碼的前三行定義了3個(gè)變量，分別是left、left_temp和right，其中l(wèi)eft和right分別用來存儲等式兩邊的結(jié)果，left_temp用來存儲公式中每輪增加的一項(xiàng)；第4行，進(jìn)入for循環(huán)，得到對應(yīng)的s1、s2和s3；第6行，計(jì)算出當(dāng)前一輪的left_temp值；第7行，把left_temp作為增量，增