廣西欽州市示范性高中2025屆高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西欽州市示范性高中2025屆高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故選：C.2.下列四個命題中，是真命題的為（）A.任意，有 B.任意，有C.存在，使 D.存在，使〖答案〗C〖解析〗由于對任意，都有，因而有，故A為假命題．由于，當(dāng)x=0時，不成立，故B為假命題．由于，當(dāng)x=-1時，，故C為真命題．由于使成立的數(shù)只有，而它們都不是有理數(shù)，因此沒有任何一個有理數(shù)的平方等于3，故D是假命題．故選：C.3.若都為非零向量，且，，則向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，即，化簡得，所以．所以．因為，所以．故選：D．4.下列命題中正確的是()A.一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù)B.對一組數(shù)據(jù)，如果將它們變?yōu)椋渲?，則平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生改變C.有甲?乙?丙三種個體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個體數(shù)為9，則樣本容量為30D.若隨機變量X服從正態(tài)分布，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)是3，中位數(shù)是，眾數(shù)等于中位數(shù)，故A錯誤；對于B，數(shù)據(jù)，如果將它們變?yōu)?，其中，則平均數(shù)增加C，標(biāo)準(zhǔn)差不變，故B錯誤；對于C，有甲?乙?丙三種個體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個體數(shù)為9，則樣本容量為，故C錯誤；對于D，若隨機變量X服從正態(tài)分布，，則，故D正確．故選：D．5.已知，，動點滿足，則點的軌跡方程是（）A.（） B.（）C.（） D.（）〖答案〗A〖解析〗∵點，，∴，又∵動點滿足，∴點的軌跡方程是射線：（），故選A.6.函數(shù)圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)是R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，選項A，C不滿足；當(dāng)時，，即有，選項D不滿足，B符合題意.故選：B.7.2020年12月4日，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)宣布該校潘建偉教授等人成功構(gòu)建76個光子的量子計算原型機“九章”（命名為“九章”是為了紀(jì)念中國古代最早的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》），求解數(shù)學(xué)算法高斯玻色取樣只需200秒，而目前世界最快的超級計算機要用6億年，這一突破使我國成為全球第二個實現(xiàn)“量子優(yōu)越性”的國家．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上衰二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”意思為：“今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體（如圖）”，下底面寬丈，長丈，上棱丈，與平面平行．與平面的距離為1丈，則它的體積是（）A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.8立方丈〖答案〗B〖解析〗如圖，過點作平面，垂足為，過點作平面，垂足為，過作，交于，交于，過作，交于，交于，所以，，且四邊形與四邊形都是矩形；所以它的體積（立方丈），故選：B.8.若，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗法一：由，，消去得到，令，，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為．當(dāng)時，，不成立，當(dāng)時，，故的最大值為.綜上所述：的最大值為．方法二：由，，可消去得到，則，令，，當(dāng)時，，故的最大值為．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若函數(shù)則（）A.的最小正周期為10 B.的圖象關(guān)于點對稱C.在上有最小值 D.的圖象關(guān)于直線對稱〖答案〗AD〖解析〗，A正確.因為，所以的圖象不關(guān)于點對稱，B錯誤.因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，D正確.若，則，由的圖象可知，在上有最大值，沒有最小值，C錯誤.故選：AD.10.過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，過點作拋物線的切線，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.當(dāng)時，C.以線段為直徑的圓與直線相切D.當(dāng)最小時，切線與準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，依題意可設(shè)直線的方程為，，，，則，，聯(lián)立，消整理得，則，代入得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，故A正確；對于B，結(jié)合A可得，，由，得，解得，，故B錯誤；對于C，由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，則，，，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故C正確；對于D，結(jié)合A可得，當(dāng)最小時，不妨取，則可設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，消整理得，則，解得，所以切線的方程為，聯(lián)立，解得，，即切線與準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先關(guān)于軸對稱，然后再向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A. B.C.函數(shù)奇函數(shù) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得A＝2，，∴ω＝2，對于A選項，結(jié)合五點法作圖，可得，故A正確，，將函數(shù)的圖象平移后得到函數(shù)的圖象，則，對于B選項，由，得到的對稱軸為，顯然不是其對稱軸，故，故B錯誤，對于C選項，函數(shù)顯然不是奇函數(shù)，故C錯誤，對于D選項，，的遞增區(qū)間即的遞減區(qū)間，令，解得，故的遞增區(qū)間是，當(dāng)時，的遞增區(qū)間是，故D正確，故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有,解得：，所以.13.已知角的終邊過點P（1，2），則___________.〖答案〗〖解析〗因為角的終邊過點P（1，2），所以，所以.14.某學(xué)校圍棋社團(tuán)組織高一與高二交流賽，雙方各挑選業(yè)余一段、業(yè)余二段、業(yè)余三段三位選手，段位越高水平越高，已知高二每個段位的選手都比高一相應(yīng)段位選手強一些，比賽共三局，每局雙方各派一名選手出場，且每名選手只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利，在比賽之前，雙方都不知道對方選手的出場順序．則第一局比賽高一獲勝的概率為______，在一場比賽中高一獲勝的概率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)為高一出場選手，為高二出場選手，其中表示段位，則第一局比賽中，共有，共9個基本事件，其中高一能取得勝利的基本事件為，，，共3個，所以第一局比賽高一獲勝的概率為，在一場三局比賽中，共有不同種安排方法，其中高一能獲勝的安排方法為，，，，，，共6種，故在一場比賽中高一獲勝的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大?。唬?）D是線段上的點，且，，求的面積.解：（1）因為，由正弦定理得.因為，所以，所以，即.因為，所以，即.（2）設(shè)，因為，所以.因為，所以，，，在中，由正弦定理可知，即，即，化簡可得，即，,所以.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，由，得，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；當(dāng)時，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；②若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，函數(shù)無極值，不合題意，所以的取值范圍為.17.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，過棱的中點E作于點，連接．（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值．（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，點E是的中點，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）解：如圖，因兩兩垂直，故可以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，P0,0,1，，D∴，．由（1）可知，可看成平面的一個法向量，可看成平面的一個法向量．設(shè)平面與平面的所成角為，∴，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為．18.在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進(jìn)入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進(jìn)行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對陣的結(jié)果相互獨立.（1）若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁；①求甲獲得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.解：（1）①記“甲獲得第四名”為事件，則；②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量，則的所有可能取值為2，3，4，連敗兩局：，可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負(fù)；負(fù)勝負(fù)；勝負(fù)負(fù)；，；故的分布列如下：234故數(shù)學(xué)期望；（2）“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率，在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為，由，且所以時，，“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；時，，“單敗淘汰制”對甲奪冠有利；時，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.19.牛頓（1643－1727）給出了牛頓切線法求方程的近似解：如圖設(shè)是y=fx的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點x0,fx0作曲線y=fx的切線，與軸的交點為橫坐標(biāo)為，稱為的1次近似值，過點x1,fx1作曲線y=fx的切線，與軸的交點為橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值．一般地，過點作曲線y=fx的切線，與軸的交點為橫坐標(biāo)為，就稱為的次近似值，稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．（1）若的零點為