【課件】高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換階段提升課課件新人教A必修4

階段提升課第四章三角恒等變換

思維導(dǎo)圖·構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)考點(diǎn)整合·素養(yǎng)提升

題組訓(xùn)練一三角函數(shù)式求值

1.求值:【分析】切化弦,然后通分,利用和差公式,約去非特殊角,得到結(jié)果.【解析】原式2.(1)設(shè)α為銳角,若求的值.(2)已知0<β<<α<π,且

求cos(α+β)的值.【解析】(1)因?yàn)棣翞殇J角且所以

所以(2)因?yàn)?<β<<α<π,所以

所以

所以

所以

3.已知0<α<,0<β<,且3sinβ=sin(2α+β),4tan=1-tan2,求α+β的值.【分析】本題主要考查三角函數(shù)式的恒等變形及已知三角函數(shù)值求角,因?yàn)?α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,可先將條件式3sinβ=sin(2α+β)展開后求α+β的正切值.【解析】因?yàn)?sinβ=sin(2α+β),即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),整理得2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.即tan(α+β)=2tanα.又4tan=1-tan2,所以tanα=tan(α+β)=2tanα=2×=1.又0<α<,0<β<,所以α+β∈所以α+β=.【方法技巧】三角函數(shù)求值的三種情況(1)“給角求值”:一般給出的角都是非特殊角,從表面看是很難的,但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定的關(guān)系,解題時(shí),要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.(2)“給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,一般用已知角表示所求角.(3)“給值求角”:實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再根據(jù)角的范圍,確定角.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.的值為 (

)

【解析】選B.原式=

2.已知求的值.【解析】因?yàn)?/p>

所以又因?yàn)樗?/p>

題組訓(xùn)練二三角函數(shù)式化簡

1.化簡:-2cos(α+β)=__________.

【解析】原式=

答案:

2.化簡:【解析】原式=【方法技巧】三角函數(shù)式的化簡,主要有以下幾類:(1)對(duì)三角函數(shù)的和式,基本思路是降冪、消項(xiàng)和逆用公式;(2)對(duì)三角函數(shù)的分式,基本思路是分子與分母的約分和逆用公式,最終變成整式或較簡式子;(3)對(duì)二次根式,則需要運(yùn)用倍角公式的變形形式.在具體過程中體現(xiàn)的則是化歸的思想,是一個(gè)“化異為同”的過程,涉及切弦互化,即“函數(shù)名”的“化同”;角的變換,即“單角化倍角”“單角化復(fù)角”“復(fù)角化復(fù)角”等具體手段,以實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的化簡.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知sin(3π+θ)=,求的值.【解析】因?yàn)閟in(3π+θ)=-sinθ=,所以sinθ=-,原式=

題組訓(xùn)練三三角恒等式的證明

證明:【證明】方法一:

方法二:【方法技巧】三角函數(shù)等式的證明包括無條件三角函數(shù)等式的證明和有條件三角函數(shù)等式的證明.對(duì)于無條件三角函數(shù)等式的證明,要認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn),找出差異,化異角為同角,化異次為同次,化異名為同名,尋找證明的突破口.對(duì)于有條件三角函數(shù)等式的證明,要認(rèn)真觀察條件式與被證式的區(qū)別與聯(lián)系,靈活使用條件等式,通過代入法、消元法等方法進(jìn)行證明.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】證明:【證明】方法一:左邊==tanθ=右邊.方法二:左邊==右邊.

方法三:左邊=

==tanθ=右邊.

題組訓(xùn)練四三角恒等變換的綜合應(yīng)用

1.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3,tan2B=tanA·tanC,則B=________.

【解析】tanB=-tan(A+C)=

所以tan3B=3,所以tanB=,又因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角,所以B=.答案:

2.設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+cos.(1)求函數(shù)f(x)的最大值及此時(shí)x的取值集合.(2)設(shè)A,B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角,已知cosB=,f=-,且C為銳角,求sinA的值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=

所以當(dāng)sin2x=-1時(shí),f(x)max=,此時(shí)2x=2kπ-(k∈Z),x=kπ-(k∈Z),所以x的取值集合為(2)因?yàn)樗詓inC=,因?yàn)镃為銳角,所以C=.由cosB=,得

所以

【方法技巧】利用三角恒等變換研究函數(shù)性質(zhì)的方法步驟(1)運(yùn)用和、差、倍角公式化簡.(2)統(tǒng)一把f(x)化成f(x)=asinωx+bcosωx+k的形式.(3)利用輔助角公式化為f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性質(zhì).

【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)平面向量b=(cosx,-1),函數(shù)f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期,并求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)若銳角α滿足求cos的值.【解析】(1)由題意得f(x)=a·b=sinx·cosx+-cos2x=sin2x-cos2