人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題1.5 全稱量詞與存在量詞-重難點(diǎn)題型精講及檢測(cè)（原卷版）

第第頁專題1.5全稱量詞與存在量詞-重難點(diǎn)題型精講1．全稱量詞與全稱量詞命題2.存在量詞與存在量詞命題3．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．4．命題的否定與原命題的真假一個(gè)命題的否定，仍是一個(gè)命題，它和原命題只能是一真一假．【題型1全稱量詞命題與存在量詞命題的理解】【方法點(diǎn)撥】判定命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要方法是看命題中含有全稱量詞還是存在量詞．要注意的是有些全稱量詞命題并不含有全稱量詞，這時(shí)我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷．【例1】下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為（）①正方形的對(duì)角線互相平分；②每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等．A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-1】下列命題中，是全稱量詞命題的是（）A．?x∈R，x2≤0 B．當(dāng)a＝3時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax+b是增函數(shù) C．存在平行四邊形的對(duì)邊不平行 D．平行四邊形都不是正方形【變式1-2】下列命題是全稱量詞命題的是（）A．有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù) B．至少存在一個(gè)奇數(shù)能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°【變式1-3】下列命題中（1）有些自然數(shù)是偶數(shù)；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的數(shù)也能被3整除；（4）對(duì)于任意x∈R，總有1x存在量詞命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【題型2全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】【方法點(diǎn)撥】判斷全稱量詞命題真假的方法：要判定一個(gè)全稱量詞命題為真命題，需要進(jìn)行推理證明，或用前面已經(jīng)學(xué)過的定義、定理作證明，而要判斷其為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．判斷存在量詞命題真假的方法：判斷存在量詞命題“?x∈M，p(x)”的真假性的關(guān)鍵是探究集合M中x的存在性．若找到一個(gè)元素x∈M，使p(x)成立，則該命題是真命題；若不存在x∈M，使p(x)成立，則該命題是假命題．【例2】下列結(jié)論中正確的是（）A．?n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命題 B．?n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題 C．?n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題 D．?n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命題【變式2-1】下列命題為真命題的是（）A．對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù) B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+2x+4＝0 C．有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù) D．所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)【變式2-2】下列四個(gè)命題中的真命題為（）A．?x0∈Z，1＜4x0＜3 B．?x0∈Z，4x0+1＝0 C．?x∈R，x2﹣1＝0 D．?x∈R，x2﹣2x+2≥0【變式2-3】下列命題中是假命題是（）A．?x∈R，|x|+1＞0 B．?x∈R，1|x|+1＝C．?x∈R，|x|＜1 D．?x∈N*，（x﹣1）2＞0【題型3根據(jù)命題的真假求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】(1)全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱量詞命題為真時(shí)，意味著命題對(duì)應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，所以利用代入可以體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì)；也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)來解決．(2)存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述．解答這類問題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了假設(shè)．【例3】已知命題p：?x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p為假命題，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【變式3-1】若命題p：?x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1【變式3-2】若“?x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，1] C．[1，+∞） D．[0，1]【變式3-3】已知命題“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣4]∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞） C．（﹣∞，﹣4）∪[6，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）【題型4全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】【方法點(diǎn)撥】對(duì)全稱量詞命題否定的兩個(gè)步驟：①改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~．即：全稱量詞(?)eq\o(→,\s\up7(改為))存在量詞(?)．②否定結(jié)論：原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等．對(duì)存在量詞命題否定的兩個(gè)步驟：①改變量詞：把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞．即：存在量詞(?)eq\o(→,\s\up7(改為))全稱量詞(?)．②否定結(jié)論：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等．【例4】全稱命題：?x∈R，x2+5x＝4的否定是（）A．?x∈R，x2+5x＝4 B．?x∈R，x2+5x≠4 C．?x∈R，x2+5x≠4 D．以上都不正確【變式4-1】命題“?x∈R，使x＞1”的否定是（）A．?x∈R，都有x＞1 B．?x∈R，使x＜1 C．?x∈R，都有x≤1 D．?x∈R，使x≤1【變式4-2】命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．?x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．?x∈R，x3﹣x2+1＞0 C．?x∈R，x3﹣x2+1≤0 D．?x∈R，x3﹣x2+1＞0【變式4-3】設(shè)x∈Z，集合A為偶數(shù)集，若命題p：?x∈Z，2x∈A，則￢p（）A．?x∈Z，2x?A B．?x?Z，2x∈A C．?x∈Z，2x∈A D．?x∈Z，2x?A【題型5命題否定的真假判斷】【方法點(diǎn)撥】(1)弄清命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，是正確寫出命題的否定的前提；(2)當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為判斷原命題的真假，當(dāng)原命題為真時(shí)，命題的否定為假，當(dāng)原命題為假時(shí)，命題的否定為真.【例5】寫出下列命題的否定，并判斷真假．（1）正方形都是菱形；（2）?x∈R，使4x﹣3＞x；（3）?x∈R，有x+1＝2x；（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【變式5-1】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，請(qǐng)寫出它們的否定，并判斷其真假：（Ⅰ）p：對(duì)任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；（Ⅱ）q：?x∈R，使x2+3x+5≤0．【變式5-2】判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：（1）?x∈N，x3＞x2；（2）所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；（3）?x0∈R，x02﹣x0+1≤0；（4）存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直．【變式5-3】判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，寫出這些命題的否定，并說出這些否定的真假，不必證明．（1）存在實(shí)數(shù)x，使得x2+2x+3≤0；（2）有些三角形是等邊三角形；（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一個(gè)根都不是奇數(shù)．【題型6根據(jù)命題否定的真假求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合題目條件，根據(jù)命題的否定的真假與原命題的真假之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，進(jìn)而求出參數(shù)即可.【例6】已知命題p：?a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有實(shí)根；若￢p是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，2） C．（﹣4，4） D．（﹣2，4）【變式6-1】若命題“?x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【變式6-2】若命題“?x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【變式6-3】命題p：?x∈R，ax2+ax+1≥0，若?p是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，4] B．[0，4] C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）專題1.5全稱量詞與存在量詞-重難點(diǎn)題型檢測(cè)一．選擇題1．下列命題是全稱量詞命題的是（）A．有些平行四邊形是菱形 B．至少有一個(gè)整數(shù)x，使得x2+3x是質(zhì)數(shù) C．每個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180° D．?x∈R，x2+x+2＝02．命題p：?x∈（0，+∞），3x+1＜0，則命題p的否定為（）A．?x∈（0，+∞），3x+1＞0 B．?x∈（0，+∞），3x+1＞0 C．?x?（0，+∞）3x+1≥0 D．?x∈（0，+∞），3x+1≥03．已知對(duì)?x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，則m的取值范圍為（）A．m≥3 B．m＞3 C．m＞1 D．m≥14．若命題“存在x0∈R，使x2﹣2x﹣m＝0”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣1，+∞）5．下列全稱命題的否定形式中，假命題的個(gè)數(shù)是（）（1）所有能被3整除的數(shù)能被6整除（2）所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)（3）?x∈Z，x2的個(gè)位數(shù)不是2．A．0 B．1 C．2 D．36．下列命題中，是真命題且是全稱量詞命題的是（）A．對(duì)任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0 B．菱形的兩條對(duì)角線相等 C．?x∈R，x2＝x D．一次函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)7．若命題“?x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）8．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；②命題“?x∈R，x2+1＜0”是全稱量詞命題；③命題“?x∈R，x2+2x+1≤0”的否定為“?x∈R，x2+2x+1≤0”；④命題“a＞b是ac2＞bc2的必要條件”是真命題．A．0 B．1 C．2 D．3二．多選題9．下列命題中是假命題的有（）A．?x∈R，x3≥0 B．?x∈R，x3＝3 C．?x∈R，x2﹣1＝0 D．?x∈Z，1＜4x＜310．下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（）A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四邊形 C．?x∈R，3x+2＞0 D．至少有一個(gè)整數(shù)m，使得m2＜111．已知命題p：?x∈R，ax2﹣4x﹣4＝0，若p為真命題，則a的值可以為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．312．下列命題的否定中，是全稱命題且為真命題的有（）A．?x0∈R，x02﹣x0+14B．所有的正方形都是矩形 C．?x0∈R，x02+2x0+2＝0 D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3+1＝0三．填空題13．選擇適當(dāng)?shù)姆?hào)“?”“?”表示下列命題：有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+2x+3＝0：．14．命題“存在實(shí)數(shù)x，使x＞1”的否定是．15．已知命題P：?x≤3，2x﹣1≥a是真命題，則a的最大值為．16．若命題“?x∈R，3x2+2ax+1≥0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a取值范圍是．四．解答題17．判斷下列語句是不是命題，如果是，說明是全稱命題還是特稱命題．（1）任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)數(shù)；（2）三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？（3）有一個(gè)實(shí)數(shù)x，x不能取倒數(shù)；（4）有的三角形內(nèi)角和不等于180°．18．判斷下列命題屬于全稱命題還是特稱命題，并用數(shù)學(xué)量詞符號(hào)改寫下列命題：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0無實(shí)數(shù)根；（2）存在一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）存在一個(gè)三角形沒有外接圓；（4）實(shí)數(shù)的平方大于等于0．19．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假．（1）有理數(shù)都是實(shí)數(shù)