人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題3.3 冪函數(shù)-重難點題型精講及檢測（教師版）

第第頁專題3.3冪函數(shù)-重難點題型精講1．冪函數(shù)的概念(1)冪函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)冪函數(shù)的特征：①xα的系數(shù)為1；

②xα的底數(shù)是自變量；

③xα的指數(shù)為常數(shù).

只有同時滿足這三個條件，才是冪函數(shù).2．常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)溫馨提示：冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)a>0時，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α<0時，y＝xα是減函數(shù)．3．一般冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)一般冪函數(shù)的圖象：①當(dāng)α=1時，y=x的圖象是一條直線.

②當(dāng)α=0時，y=SKIPIF1<0=1(x≠0)的圖象是一條不包括點(0,1)的直線.

③當(dāng)α為其他值時，相應(yīng)冪函數(shù)的圖象如下表：(2)一般冪函數(shù)的性質(zhì)：通過分析冪函數(shù)的圖象特征，可以得到冪函數(shù)的以下性質(zhì)：

①所有的冪函數(shù)在(0,+SKIPIF1<0)上都有定義，并且圖象都過點(1,1).

②α>0時，冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0,+SKIPIF1<0)上是增函數(shù).

③α<0時，冪函數(shù)在區(qū)間(0,+SKIPIF1<0)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+SKIPIF1<0時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

④任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點，或不相交，任何冪函數(shù)的圖象都不過第四象限.

⑤任何兩個冪函數(shù)的圖象最多有三個公共點.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一點都不是兩個冪函數(shù)的公共點.4．對勾函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與性質(zhì)參考冪函數(shù)的性質(zhì)，探究函數(shù)SKIPIF1<0的性質(zhì).(1)圖象如圖：與直線y=x，y軸無限接近.(2)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0；

(3)函數(shù)SKIPIF1<0的值域為(-SKIPIF1<0,-2]∪[2,+SKIPIF1<0).

(4)奇偶性：SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù).

(5)單調(diào)性：由函數(shù)SKIPIF1<0的圖象可知，函數(shù)SKIPIF1<0在(-SKIPIF1<0,-1)，(1,+SKIPIF1<0)上單調(diào)遞增，在(-1,0)，(0,1)上單調(diào)遞減.【題型1冪函數(shù)的概念、解析式】【方法點撥】(1)判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：①指數(shù)為常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1.(2)對于冪函數(shù)過已知的某一點，求冪函數(shù)解析式問題：先設(shè)出冪函數(shù)的解析式y(tǒng)＝xα(α為常數(shù))，再將已知點代入解析式，求出α，即可得出解析式.【例1】（2022春?楊陵區(qū)校級期末）現(xiàn)有下列函數(shù)：①y＝x3；②y=(12)x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由題意，利用冪函數(shù)的定義，得出結(jié)論．【解答過程】解：∵形如y＝xα（α為常數(shù)）的函數(shù)叫做冪函數(shù)，∴①y＝x3、⑥y＝x是冪函數(shù)，故①⑥滿足條件；而②y=(12)x、⑦y＝ax（a＞1）是指數(shù)函數(shù)，故②⑦不滿足條件；顯然，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是冪函數(shù)，故③④⑤不滿足條件；故其中冪函數(shù)的個數(shù)為【變式1-1】（2021秋?陽春市校級月考）已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(3，3)，則fA．﹣2 B．1 C．2 D．4【解題思路】設(shè)冪函數(shù)的解析式為f（x）＝xα，代入點可求α的值，從而可求f（4）的值．【解答過程】解：設(shè)冪函數(shù)的解析式為f（x）＝xα，因為冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(3，3)，所以3α=3，解得α=12．所以f（x）=x，f（【變式1-2】（2022春?榆林期末）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝x3 D．y＝2x【解題思路】由題意，利用冪函數(shù)的定義，得出結(jié)論．【解答過程】解：根據(jù)形如y＝xα（α為常數(shù)）的函數(shù)為冪函數(shù)，由選項可知，C符合．故選：C．【變式1-3】（2022春?廣陵區(qū)校級月考）若冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(2，316)，則函數(shù)A．f(x)=x43 B．f(x)=x13 C【解題思路】由題意，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出它的解析式．【解答過程】解：∵冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(2，∴2a=316=234，解得a=【題型2冪函數(shù)的定義域、值域】【方法點撥】根據(jù)冪函數(shù)的解析式，可以將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化成根式形式，依據(jù)根式有意義求定義域，再根據(jù)定義域來求冪函數(shù)的值域.【例2】（2021秋?房山區(qū)期末）下列函數(shù)中，值域是R的冪函數(shù)是（）A．y=x13 B．y=(13)x 【解題思路】由題意，利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，得出結(jié)論．【解答過程】解：在R上，函數(shù)y=x13=3由于函數(shù)y=(13)x的值域為（0，由于函數(shù)y=x23=3x2的值域為由于函數(shù)y=(23)x的值域為（0，+∞【變式2-1】（2021秋?呂梁期末）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(2，2)，則fA．R B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【解題思路】先利用待定系數(shù)法求出函數(shù)f（x）的解析式，從而得到f（x）的定義域．【解答過程】解：設(shè)f（x）＝xα，因為f（x）的圖象過點(2，2)，所以2則f(x)=x，所以f（x）的定義域為[0，+∞），故選：C【變式2-2】（2021秋?廣南縣校級期中）已知冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象過點(2，12)，則函數(shù)A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的圖象過點（2，12【解答過程】解：∵2α=12=2﹣1，解得α＝﹣1，∴f（x故函數(shù)的值域是：（﹣∞，0）∪（0，+∞），故選：C．【變式2-3】（2021秋?天山區(qū)校級期中）若冪函數(shù)y=(m2?2m?2)x?m2+m+3的定義域為{x∈A．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3【解題思路】根據(jù)函數(shù)y是冪函數(shù)得出m2﹣2m﹣2＝1，求出m的值再驗證是否滿足定義域為{x∈R|x≠0}即可．【解答過程】解：函數(shù)y=(m2?2m?2)x?m2+m+3是冪函數(shù)，則m2即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝3或m＝﹣1；當(dāng)m＝3時，﹣m2+m+3＝﹣3，冪函數(shù)y＝x﹣3的定義域為{x∈R|x≠0}，滿足題意；當(dāng)m＝﹣1時，﹣m2+m+3＝1，冪函數(shù)y＝x的定義域為R，不滿足題意；所以m的值是3．故選：D．【題型3冪函數(shù)的圖象】【方法點撥】根據(jù)一般冪函數(shù)的圖象特征，對所給的冪函數(shù)解析式或圖象進行分析，即可得解；溫馨提示：①若冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點.

②無論SKIPIF1<0為何實數(shù)，冪函數(shù)的圖象最多只能出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)，且一定經(jīng)過第一象限，一定不經(jīng)過第四

象限.【例3】（2021秋?成都校級期中）冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c＞d B．d＞b＞c＞a C．d＞c＞b＞a D．b＞c＞d＞a【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的圖象判斷即可．【解答過程】解：由圖象得：b＞c＞d＞a，故選：D．【變式3-1】（2021秋?涼山州期末）如圖，①②③④對應(yīng)四個冪函數(shù)的圖像，其中①對應(yīng)的冪函數(shù)是（）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．y=【解題思路】由題意，根據(jù)①對應(yīng)的冪函數(shù)圖象是上凸型的，故有冪指數(shù)α∈（0，1），從而得出結(jié)論．【解答過程】解：由于①對應(yīng)的冪函數(shù)圖象是上凸型的，故有冪指數(shù)α∈（0，1），故選：D．【變式3-2】（2021秋?湖北期末）冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點（4，2），則冪函數(shù)y＝f（x）的圖象是（）A．B． C．D．【解題思路】設(shè)出函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點（4，2），構(gòu)造方程求出指數(shù)的值，再結(jié)合函數(shù)的解析式研究其性質(zhì)即可得到圖象．【解答過程】解：設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xa，∵冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點（4，2），∴2＝4a，解得a=12，∴y=x，其定義域為[0，當(dāng)0＜x＜1時，其圖象在直線y＝x的上方．對照選項．故選：C．【變式3-3】（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）如圖是冪函數(shù)y＝xα的部分圖像，已知α分別取13、3、﹣3、?13這四個值，則與曲線C1、C2、C3、C4A．3，13，?13，﹣3 B．﹣3，?13C．?13，3，﹣3，13 D．3，13，【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)：圖象越靠近x軸的指數(shù)越小，即可判斷出．【解答過程】解：根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，當(dāng)x＞1時，圖象越靠近x軸的指數(shù)越小，因此相應(yīng)于曲線C1、C2、C3、C4相應(yīng)的α依次為3，13，?13，﹣3【題型4比較冪值的大小】【方法點撥】(1)直接法：當(dāng)冪指數(shù)相同時，可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比較.

(2)轉(zhuǎn)化法：當(dāng)冪指數(shù)不同時，可以先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù)，再運用單調(diào)性比較大小.

(3)中間量法：當(dāng)?shù)讛?shù)不同且冪指數(shù)也不同時，不能運用單調(diào)性比較大小，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g值，從而達到比較大小的目的.【例4】（2021秋?岳陽期中）設(shè)a=(34)12，b=(A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a【解題思路】先判斷b＞1，再化a、c，利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷a、c的大?。窘獯疬^程】解：a=(34)12=(916且0＜827＜916＜1，函數(shù)y=x1所以c＜a；綜上知，c＜a＜b．故選：A．【變式4-1】（2021秋?武昌區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)y＝xa的圖象過點(3，19)，則下列兩函數(shù)的大小關(guān)系為：（x2﹣2x+4）a（）（A．≤ B．≥ C．＜ D．＞【解題思路】冪函數(shù)y＝xa的圖象過點(3，19)，解得a＝﹣2，從而（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣【解答過程】解：冪函數(shù)y＝xa的圖象過點(3，19)，∴3a=19∴（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2?19≤0．∴（x2﹣2x+4）a≤（﹣3）a【變式4-2】（2021?湖北開學(xué)）若a=(2)25，b=325，A．a(chǎn)＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a(chǎn)＞b＞d＞c【解題思路】由題意根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答過程】解：∵a=(2)25，b=325，3＞2＞12＞13，∴b＞a＞c【變式4-3】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）三個數(shù)a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解題思路】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答過程】解：∵冪函數(shù)y＝x0.3在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴20.3＞1.90.3＞1.90，即c＞b＞1，∵a＝0.32＜0.30＝1，∴c＞b＞a，故選：B．【題型5利用冪函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)】【方法點撥】①根據(jù)所給函數(shù)解析式是冪函數(shù)，可列式求出參數(shù)的值；②結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性或奇偶性，進行分析，得出滿足條件的參數(shù)值.【例5】（2021秋?張掖期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣4m﹣4）?xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則m＝（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【解題思路】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得m的值．【解答過程】解：∵冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣4m﹣4）?xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴m2﹣4m﹣4＝1，且m＜0，求得m＝﹣1，故選：C．【變式5-1】（2022春?延吉市校級期末）若函數(shù)y=(m2?3m+3)xm2+2m?4為冪函數(shù)，且在（A．0 B．1或2 C．1 D．2【解題思路】利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)列方程組，能求出m．【解答過程】解：∵函數(shù)y=(m2?3m+3)xm2∴m2?3m+3=1m2+2m?4＜0【變式5-2】（2021秋?凌河區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m?2在（0，+∞）上是減函數(shù)，則f（A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解題思路】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)可得m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，由此求得m的值，可得f（x）的解析式，從而求得f（m）的值．【解答過程】解：∵冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m?2在（0，+∞）上是減函數(shù)，則m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，求得m＝﹣1，故f（x）＝x﹣2=1x2，故f（m）＝f（﹣故選：C．【變式5-3】（2021秋?廣陵區(qū)校級月考）冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值為（）A．﹣2 B．0或2 C．0 D．2【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求解．【解答過程】解：由題意可知m2﹣2m+1＝1，解得m＝0或2，又∵冪函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴2m﹣1＞0，∴m＝2，故選：D．【題型6利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式】【方法點撥】利用冪函數(shù)解不等式，實質(zhì)是已知兩個函數(shù)值的大小，判斷自變量或冪指數(shù)的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題.求解步驟如下:(1)確定可以利用的冪函數(shù)；(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，將不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量或冪指數(shù)的大小關(guān)系；(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用.【例6】（2021秋?安徽期中）已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（13，9），且f（a+1）＜f（2），則aA．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣3，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解題思路】由條件先求出f（x）的解析式，顯然f（x）為偶函數(shù)，所以有f（a+1）＝f（|a+1|），從而不等式轉(zhuǎn)化為f（|a+1|）＜f（2），借助f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性可得a的取值范圍．【解答過程】解：設(shè)f（x）＝xα，因為圖象過（13，9），所以（13）α＝9，所以α＝﹣故f（x）=1x2，因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（a+1）＝f（|a+1|），所以由f（a+1）＜f得f（|a+1|）＜f（2），當(dāng)x≥0時，f（x）為減函數(shù)，所以|a+1|＞2，解得a＜﹣3或a＞1，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），故選：D．【變式6-1】（2021秋?迎江區(qū)校級期中）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則滿足f（a﹣1）＞1的實數(shù)a的范圍為（）A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解題思路】先由冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求出m的值，得到函數(shù)f（x）的解析式，再解不等式即可．【解答過程】解：由冪函數(shù)的定義可知m2﹣2m﹣7＝1，解得m＝﹣2或4，又∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴m﹣2＞0，∴m＝4，∴f（x）＝x2，由f（a﹣1）＞1可得（a﹣1）2＞1，∴a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，∴a＜0或a＞2，即實數(shù)a的范圍為（﹣∞，0）∪（2，+∞），故選：D．【變式6-2】（2021秋?江蘇月考）已知冪函數(shù)f（x）＝xα（α∈R）的圖象經(jīng)過點(12，4)，且f（a+1）＜f（A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） D．（﹣4，2）【解題思路】根據(jù)已知條件可求出α的值，得到函數(shù)f（x）的解析式，再利用函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性求解．【解答過程】解：∵冪函數(shù)f（x）＝xα（α∈R）的圖象經(jīng)過點(12，4)，∴4=(12)∴f（x）＝x﹣2=1x2，∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣∞∵f（a+1）＜f（3），∴|a+1|＞3，解得：a＜﹣4或a＞2，即a的取值范圍為（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．故選：C．【變式6-3】（2021秋?雁塔區(qū)校級期中）已知f（x）=(m2?2m?7)xm?23是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則滿足f（a﹣A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解題思路】由冪函數(shù)的定義先求出m的值，得到函數(shù)f（x）的解析式，進而得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求出滿足f（a﹣1）＞1的實數(shù)a的范圍即可．【解答過程】解：∵f（x）=(m2?2m?7)xm?23∴m2?2m?7=1m?23＞0，解得m＝4，∴f（∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，又∵f（﹣1）＝f（1）＝1，f（0）＝0，∴由f（a﹣1）＞1可得：a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，解得a＜0或a＞2，∴實數(shù)a的范圍為（﹣∞，0）∪（2，+∞），故選：D．專題3.3冪函數(shù)-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022春?無錫期末）已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖像過點(2，22)，則A．?14 B．14 C．﹣4 【解題思路】設(shè)出函數(shù)的解析式，代入點的坐標(biāo)，求出函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)值即可．【解答過程】解：令f（x）＝xα，將點(2，22)代入函數(shù)的解析式得：2α=故f（x）=x?12，f（16）2．（3分）（2022春?愛民區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)f（x）＝k?xα（k∈R，α∈R）的圖象經(jīng)過點(4，12)，則A．12 B．1 C．32 D【解題思路】由冪函數(shù)f（x）＝k?xα（k∈R，α∈R）的圖象經(jīng)過點(4，12)，得k=14α=1【解答過程】解：冪函數(shù)f（x）＝k?xα（k∈R，α∈R）的圖象經(jīng)過點(4，∴k=14α=12，解得k＝1，α=?12，∴k3．（3分）（2021秋?新鄉(xiāng)期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（3m2﹣11）xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則f（4）＝（）A．2 B．16 C．12 D．【解題思路】由題意，利用冪函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，可得要求函數(shù)的值．【解答過程】解：由題意得，3m2﹣11＝1，且m＜0，解得m＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2，故f（4）＝4﹣2=116，故選：4．（3分）（2021秋?渝中區(qū)校級期末）“m2+4m＝0”是“冪函數(shù)f(x)=(m3?A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得冪函數(shù)f（x）中m的值，解m2+4m＝0，求得m值，利用充要條件的定義即可判斷答案．【解答過程】解：∵冪函數(shù)f(x)=(m∴m3﹣m2﹣20m+1＝1，且m?23為偶數(shù)，求得m＝﹣4，由m2+4m＝0，解得m＝0或﹣4故由“m2+4m＝0”不能推出“冪函數(shù)f(x)=(m3?由“冪函數(shù)f(x)=(m3?m2?20m+1)xm?23為偶函數(shù)”能夠推出故“m2+4m＝0”是“冪函數(shù)f(x)=(m3?m25．（3分）（2022春?憑祥市校級月考）冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的值為（）A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3【解題思路】依據(jù)題意根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于實數(shù)m的方程即可求得實數(shù)m的值．【解答過程】解：因為f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2是冪函數(shù)，故m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝3或﹣1，又因為冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以需要m﹣2＜0，則m＝﹣1．故選：A．6．（3分）（2021春?金臺區(qū)期末）已知a=243，b=A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解題思路】利用冪函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【解答過程】解：∵a=243=423＞b=323，c=25127．（3分）（2021?博野縣校級開學(xué)）函數(shù)y＝x，y＝x2和y=1①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果③如果1a＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；④如果a其中正確的是（）A．①④ B．① C．①② D．①③④【解題思路】先求出三個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，再結(jié)合圖象判斷即可．【解答過程】解：易知函數(shù)y＝x，y＝x2和y=1x的圖象交點坐標(biāo)為（1，函數(shù)y＝x與y=1x的圖象還有一個交點（﹣1，﹣1），當(dāng)三個函數(shù)的圖象依y=1x，y＝x，y＝x2次序呈上下關(guān)系時，0＜x＜當(dāng)三個函數(shù)的圖象依y＝x2，y＝x，y=1x次序呈上下關(guān)系時，﹣1＜x＜0或x＞1，故由于三個函數(shù)的圖象沒有出現(xiàn)y=1x，y＝x2，y＝x次序的上下關(guān)系，故當(dāng)三個函數(shù)的圖象依y＝x2，y=1x，y＝x次序呈上下關(guān)系時，x＜﹣1，故④正確，所以正確的有故選：A．8．（3分）（2021秋?鏡湖區(qū)校級期中）已知冪函數(shù)y＝f（x）圖象過點(2，A．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減 B．f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) C．f（x）的值域為[0，+∞） D．f（x）圖象與坐標(biāo)軸沒有交點【解題思路】先利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再利用冪函數(shù)的性質(zhì)解題．【解答過程】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα（α為常數(shù)），∵冪函數(shù)y＝f（x）圖象過點(2，∴2α=22，∴α=?12，∴冪函數(shù)f（x∴冪函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以選項A正確，∵冪函數(shù)f（x）＝x?12=1x的定義域為（∴冪函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，所以選項B正確，∵x＞0，∴1x＞0，∴冪函數(shù)f（x）＝x?12=∵冪函數(shù)f（x）＝x?12=1x的定義域為（0，+∞），值域為（0，+∞），所以f（x二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021秋?光明區(qū)期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣2）xm，則（）A．m＝3 B．定義域為[0，+∞） C．（﹣1.5）m＜（﹣1.4）m D．f(2)【解題思路】由題意，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答過程】解：對于冪函數(shù)f（x）＝（m﹣2）xm，應(yīng)有m﹣2＝1，求得m＝3，可得f（x）＝x3，故A正確；由于它的定義域為R，故B錯誤；由于函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，﹣1.5＜﹣1.4，∴（﹣1.5）3＜（﹣1.4）3，故C正確；由于f(2)=8=22，故D10．（4分）（2022秋?泉州期中）已知冪函數(shù)y＝xα的圖象如圖所示，則a值可能為（）A．13 B．12 C．15 【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的圖象特征得出0＜α＜1，且為奇函數(shù)，求出得出a的可能取值．【解答過程】解：根據(jù)冪函數(shù)y＝xα的圖象在第一象限內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，且關(guān)于原點對稱，通過與直線y＝x的圖象比較知，0＜α＜1，且冪函數(shù)為奇函數(shù)；所以由選項知，a值可能為13和15．故選：11．（4分）（2021秋?寶應(yīng)縣期中）已知冪函數(shù)f(x)=(m+9A．f(?32)=1B．f（x）的定義域是R C．f（x）是偶函數(shù) D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]【解題思路】先利用冪函數(shù)的定義求出m的值，得到函數(shù)f（x）的解析式，可判定選項A，B的正確，利用偶函數(shù)的定義判定選項C的正誤，利用函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性解選項D的不等式．【解答過程】解：冪函數(shù)f(x)=(m+95)xm，∴m+9∴f（x）=x?45，定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∵f（﹣32）=(?32)?4f（x）=x?45=15x4，定義域（﹣∞，又∵f（﹣x）=15(?x)4=15x4=∵f（x）=x?45，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（不等式f（x﹣1）≥f（2）等價于f（|x﹣1|）≥f（2），∴x?1≠0|x?1|≤2解得：﹣1≤x＜1，或1故選項D正確，故選：ACD．12．（4分）（2021秋?峨山縣校級期中）已知函數(shù)f(x)=(m2?m?1)xm2+m?3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足f(x1)?f(x2)x1?A．a(chǎn)+b＞0，ab＜0 B．a(chǎn)+b＜0，ab＞0 C．a(chǎn)+b＜0，ab＜0 D．a(chǎn)+b＞0，ab＞0【解題思路】利用冪函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)出f（x）＝x3，從而求得f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2），然后檢驗各個選項是否正確．【解答過程】解：∵函數(shù)f(x)=(m2?m?1)xm2+m?3是冪函數(shù)，∴m2﹣m﹣1＝1，求得m＝對任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足f(x1)?f(x2)x1?x∴m2+m﹣3＞0，∴m＝2，f（x）＝x3．若a，b∈R，且f（a）+f（b）＝a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）的值為負(fù)值．若A成立，則f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＞0，不滿足題意；若B成立，則f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[(a?b2)若C成立，則f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＜0，滿足題意；若D成立，則f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[(a?b2)故選：BC．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022?宣城開學(xué)）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點（2，14），則f（7）＝17【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的一般解析式y(tǒng)＝xa，因為其過點（2，14），求出冪函數(shù)的解析式，從而求出f（7【解答過程】解：∵冪函數(shù)的一般解析式y(tǒng)＝xa，∵冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點（2，14），∴14=2a，解得a＝﹣2，∴y＝x∴f（7）＝（7）﹣2=17，故答案為：14．（4分）（2021春?浙江月考）已知冪函數(shù)f（x）＝xα滿足f（3）=33，則該冪函數(shù)的定義域為（0，+∞【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)f（x）＝xα滿足f（3）=33，可求出α，然后根據(jù)偶次方根被開發(fā)數(shù)大于等于0，分式分母不等于0，求法f（【解答過程】解：因為冪函數(shù)f（x）＝xα滿足f（3）=33，所以f（3）＝3α=33所以f（x）=x?12=1x，該冪函數(shù)的定義域為（0，+15．（4分）（2022秋?遼寧月考）當(dāng)x∈（0，+∞）時，冪函數(shù)y=(m2?m?1)xm2?2m?3【解題思路】利用冪函數(shù)的定義與性質(zhì)列出不等式組，求解即可．【解答過程】解：∵當(dāng)x∈（0，+∞）時，冪函數(shù)y=(m∴m2?m?1=1m2?2m?3＜0，16．（4分）（2021秋?宛城區(qū)校級月考）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）?xm+1為奇函數(shù)，則不等式f（2x﹣3）+f（x）＞0的解集為（1，+∞）．【解題思路】根據(jù)已知條件和冪函數(shù)的定義，指數(shù)為奇數(shù)，系數(shù)為1，列方程可求得m的值，再根據(jù)f（x）的單調(diào)性與奇偶性，脫去f，求得不等式的解集即可．【解答過程】解：∵冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）?xm+1為奇函數(shù)，∴m2﹣3m+3＝1且m+1為奇數(shù)；解得m＝2；∴f（x）＝x3，且f（x）在R上為增函數(shù)；由不等式f（2x﹣3）+f（x）＞0，∴f（2x﹣3）＞﹣f（x）；不等式?f（2x﹣3）＞f（﹣x）；不等式?2x﹣3＞﹣x；∴x＞1．所以不等式的解集為（1，+∞）．故答案為：（1，+∞）．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春?玉林月考）已知冪函數(shù)y＝（m2﹣m﹣1）xm【解題思路】首先運用冪函數(shù)的定義求出m的值，在根據(jù)冪函數(shù)求定義域．【解答過程】解：由冪函數(shù)定義可得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1．當(dāng)m＝2時，冪函數(shù)為y＝x﹣3，且x≠0，當(dāng)m＝﹣1時，冪函數(shù)為y＝x0，且x≠0，故定義域都是{x|x≠0}．18．（6分）（2021秋?黃浦區(qū)校級期中）已知冪函數(shù)y＝f（x）經(jīng)過點（4，18（1）求此冪函數(shù)的表達式和定義域；（2）若f（a+2）＜f（3﹣2a），求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）由題意利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，可得它的定義域．（2）由題意利用冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，求得a的范圍．【解答過程】解：（1）設(shè)冪函數(shù)y＝f（x）＝xα，∵它的經(jīng)過點（4，18∴4α=18，∴α=?32，∴f（x）=x（2）由于函數(shù)f（x）在其定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減，故由f（a+2）＜f（3﹣2a），可得a+2＞解得13＜a＜32，故不等式的解集為（19．（8分）（2021秋?南關(guān)區(qū)校級期中）已知函數(shù)y=x（1）求定義域；（2）判斷奇偶性；（3）已知該函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，試補全圖象，并由圖象確定單調(diào)區(qū)間．【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)分別求出函數(shù)的定義域和奇偶性．【解答過程】解：（1）∵函數(shù)y=x23=3（2）∵f（﹣x）=3(?x)2=（3）∵函數(shù)y=x∴函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，且（﹣∞，0]為減函數(shù)，[0，+∞）為增函數(shù)，對應(yīng)